五角形六十面体

五角形六十面体
タイプ	カタルーニャの堅実さ
顔	60
エッジ	150
頂点	92
対称群	二十面体対称性
二面角（度）	153.2°
二重多面体	スナブ十二面体
ネット

幾何学において、五角形六十面体はカタラン立体であり、切頂十二面体の双対である。互いに鏡像（または「鏡像体」）となる2つの異なる形状を持つ。92個の頂点を持ち、60個の五角面にまたがる。カタラン立体の中で最も頂点数が多い。カタラン立体とアルキメデス立体の中では、120個の頂点を持つ切頂二十十二面体に次いで2番目に頂点数が多い。

プロパティ

五角形六十面体の3Dモデル

面は2つの長辺と3つの短辺を持つ不規則五角形です。を多項式 の実数零点とします。すると、辺の長さの比は次のように与えられます。面には4つの等しい鈍角と1つの鋭角（2つの長辺の間）があります。鈍角は、鋭角は です。二面角は です。 ${\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}$ ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{2}}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74.}$$ ${\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos(-\phi ^{2}\xi /2+\phi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos(-\xi /(2-\xi ))\approx 153.2^{\circ }}$

スナブ十二面体の面心は、五角形六十面体の頂点として直接機能しないことに注意してください。4つの三角形の中心は同一平面上にありますが、五角形の中心は同一平面上にありません。そのため、五角形六十面体の頂点はすべて同一球面上にはなく、定義上、ゾノヘドロンではありません。

五角形六十面体の体積と表面積を求めるには、五角形の面の1つの短い辺を とし、定数^{[ 1 ]}を設定します。すると、表面積 ( ) は次のようになります。また、体積 ( ) は次のようになります。これらを使用して、この形状の球形度の尺度を計算できます。 ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\phi (9+{\sqrt {81\phi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\phi (9-{\sqrt {81\phi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.472.}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698b^{2}.}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789b^{3}.}$$ $${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.982}$$

工事

原点を中心とする単位円周半径20面体（12）と、同じ非単位円周半径20の12面体と組み合わせたキラルスナブ12面体（60）を組み合わせて、五角形六十面体を構築する。

五角形六十面体は、スナブ十二面体から双対を取らずに構成できる。スナブ十二面体の12個の五角形面に五角錐を、五角形と辺を共有しない20個の三角形面に三角錐を追加する。ピラミッドの高さは、スナブ十二面体の他の60個の三角形面と面一になるように調整する。こうして五角形六十面体が得られる。^{[ 2 ]}

代替の構築方法では、四元数と60次のワイル群軌道の二十面体対称性を使用します。 ^{[ 3 ]}これは右の図に示されています。 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{3})/C_{2}\approx A_{5}=I}$

具体的には、2元20面体群の四元数（ は、 および の共役）を用いると、コクセター群が600 セルと120セルの14400位の対称群であるのと同様に、次数120のが得られます。は、 の偶数順列として定義され、 は60個のねじれカイラルスナブ12面体座標を与えます（ は、上記の最初の12個の順列のうちの1つ）。 の正確な座標は 、の解（ 、 ）を取り、 の正規化に適用することで得られます。 ${\displaystyle (p,q)\in I_{h}}$ ${\displaystyle q={\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$ ${\displaystyle W(H_{3})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace =A_{5}\times C_{2}=I_{h}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{h}}$ ${\displaystyle [I,{\bar {I}}]:r}$ ${\displaystyle r\approx -0.389662e_{1}+0.267979e_{2}-0.881108e_{3}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-\phi =0}$ ${\displaystyle x\approx 1.94315}$ ${\displaystyle r=(-1+x^{2}(-1-2/\phi -x\phi )e_{1}+(3-x^{2}+3x\phi )e_{2}+((x^{3}-1/\phi )\phi ^{3})e_{3}}$

直交座標

60次のワイル群の軌道における正20面体対称性^{[ 4 ]}を用いると、黄金比を持つ 次の直交座標が得られる。 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{3})/C_{2}\approx A_{5}}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

• 原点を中心とし、単位円周半径を持つ正二十面体の12の頂点の座標は $${\displaystyle {\frac {(0,\pm 1,\pm \phi )}{\sqrt {\phi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm 1,\pm \phi ,0)}{\sqrt {\phi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm \phi ,0,\pm 1)}{\sqrt {\phi ^{2}+1}}}.}$$
• 原点を中心とする単位円周半径の正十二面体の20頂点を、方程式の正確な解の係数で拡大したもの。これにより、座標は次のようになる。 ${\displaystyle R\approx 0.95369785218}$ ${\displaystyle 700569-1795770x^{2}+1502955x^{4}-423900x^{6}+14175x^{8}-2250x^{10}+125x^{12}=0}$

$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1){\frac {R}{\sqrt {3}}}}$$そして $${\displaystyle (0,\pm \phi ,\pm {\frac {1}{\phi }}){\frac {R}{\sqrt {3}}},(\pm {\frac {1}{\phi }},0,\pm \phi ){\frac {R}{\sqrt {3}}},(\pm \phi ,\pm {\frac {1}{\phi }},0){\frac {R}{\sqrt {3}}}.}$$

• 単位円周半径を持つカイラルスナブ十 二面体の60個の頂点を で拡大したもの。12個の頂点が5組存在し、すべて偶数順列（つまりパリティシグネチャ=1）である。 ${\displaystyle R}$

12 個のセットを 2 つ集めたグループには、マイナス記号が 0 個または 2 個 (つまり、プラス記号が 1 個または 3 個) あります。 また、12 個のセットを 3 つ集めた別のグループには、プラス記号が 0 個または 2 個 (つまり、マイナス記号が 1 個または 3 個) あります。 両方のグループのすべての頂点を反転すると、カイラル スナブ十二面体のミラーが得られますが、結果は同じ五角形の六十面体の凸包になります。 $${\displaystyle (\pm 0.267979,\pm 0.881108,\pm 0.389662)R,}$$ $${\displaystyle (\pm 0.721510,\pm 0.600810,\pm 0.344167)R,}$$ $${\displaystyle (\pm 0.176956,\pm 0.824852,\pm 0.536941)R,}$$ $${\displaystyle (\pm 0.435190,\pm 0.777765,\pm 0.453531)R,}$$ $${\displaystyle (\pm 0.990472,\pm 0.103342,\pm 0.091023)R.}$$

バリエーション

等面体のバリエーションは、3 辺の長さを持つ五角形の面で構築できます。

ここに示すバリエーションは、スナブ十二面体の 12 個の五角形の面と 20 個の三角形の面にピラミッドを追加して、新しい三角形の面が他の三角形と平行になり、五角形の面に結合することができるように構築できます。

角錐と面が結合された スナブ十二面体

例のバリエーション

ネット

直交投影

五角形の六十面体には、頂点に 2 つ、中間辺に 1 つの合計 3 つの対称位置があります。

直交投影

射影対称性	[3]	[5] +	[2]
画像
二重像

関連する多面体とタイリング

球面五角形六十面体

均一な二十面体多面体の族 v t e
対称性：[5,3]、(*532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
均一多面体の双対
バージョン5.5.5	バージョン3.10.10	バージョン3.5.3.5	バージョン5.6.6	V3.3.3.3.3	バージョン3.4.5.4	バージョン4.6.10	V3.3.3.3.5

この多面体は、面配置(V3.3.3.3. n )を持つ多面体および五角形のタイリングの列の一部として位相的に関連付けられている。(この列は、任意のnへの双曲平面のタイリングへと進む。)これらの面推移図形は(n32)回転対称性を持つ。

n 32 スナブタイリングの対称性変異: 3.3.3.3. n v t e
対称性n 32	球状				ユークリッド	コンパクト双曲型		パラコンプ。
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
スナブフィギュア
設定。	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
ジャイロフィギュア
設定。	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

参照

• 切頂五角形六十面体
• アマゾンスフィア

参考文献

1. 「五角形六十面体 - 幾何学計算機」 rechneronline.de . 2020年5月26日閲覧。
2. 参考文献
3. コジャ, メフメット; オズデス・コジャ, ナジフェ; アル・シュエイリック, ムナ (2011). 「コクセター図と四元数から導かれるキラル多面体」. arXiv : 1006.3149 [ math-ph ].
4. Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). 「3次元ルートシステムとクォータニオンから導出されるカタラン立体」. Journal of Mathematical Physics . 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi : 10.1063/1.3356985 . S2CID 115157829 . 

• ウィリアムズ、ロバート（1979）『自然構造の幾何学的基礎：デザインの原典』ドーバー出版ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208（13個の半正凸多面体とその双対多面体、29ページ、五角形六十面体）
• 物事の対称性2008年、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、ISBN 978-1-56881-220-5[1]（第21章、アルキメデスとカタルーニャの多面体とタイリングの命名、287ページ、五角形六十面体）

外部リンク

• Weisstein, Eric W.、「五角形六十面体」（「カタラン立体」）、MathWorldにて。
• 五角形六面体- インタラクティブ多面体モデル

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