随伴公理

数学の集合論において、随伴公理とは、任意の2つの集合x , yに対して、集合yを集合xに「随伴」させることで得られる集合w  =  x  ∪ { y } が存在することを述べています。これは次のように述べられます。

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\big (}z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y){\big )}.}$

バーネイズ （1937、68ページ、公理II（2））は、1929年頃に導入した集合論体系の公理の一つとして、随伴公理を導入した。これは弱公理であり、一般集合論や有限集合論といった一部の弱集合論体系で用いられる。随伴演算は、原始再帰集合関数の演算の一つとしても用いられる。

算術の解釈可能性

TarskiとSzmielewは、ロビンソン算術（ ）は、外延性、空集合の存在、随伴公理を公理とする弱集合論で解釈できることを示した（ Tarski 1953、p.34）。実際、随伴の関数記号を用いて拡張された集合論の言語では、空集合の公理と随伴の公理のみ（外延性は含まない）で を解釈するのに十分である。^{[ 1 ]}（これらは相互に解釈可能である。） ${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$

空集合と随伴法にイプシロン帰納法を加えると、ペアノ算術（ ）と相互解釈可能な理論が得られる。また、別の公理スキームも、（）と相互解釈可能な理論をもたらす：^{[ 2 ]} ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\Big (}z\in w\leftrightarrow {\big (}(z\in x\lor z=y)\land \phi {\big )}{\Big )}}$、

ここで、は自由を持つことは許されません。これは集合論の公理を組み合わせたものです。 に対しては自明に真であり、 に対しては分離公理を与えます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (z\neq y)\land P}$ ${\displaystyle P}$

参考文献

1. Mancini, Antonella; Montagna, Franco (1994年春). 「極小述語集合論」 . Notre Dame Journal of Formal Logic . 35 (2): 186– 203. doi : 10.1305/ndjfl/1094061860 . 2021年11月23日閲覧。
2. Friedman, Harvey M. (2002年6月2日). 「数学の基礎における諸問題」(PDF) .オハイオ州立大学数学部. 2023年1月18日閲覧.

• バーネイズ、ポール（1937）「公理的集合論の体系――第1部」、記号論理学ジャーナル、2（1）、記号論理協会：65-77、doi：10.2307/2268862、JSTOR  2268862
• カービー、ローレンス（2009）「有限集合論」、ノートルダム大学形式論理学会誌、50（3）：227-244、doi：10.1215/00294527-2009-009、MR  2572972
• タルスキ、アルフレッド（1953）「決定不能理論」『論理学と数学の基礎研究』アムステルダム：ノースホランド出版社、MR  0058532
• タルスキ、アルフレッド、ギヴァント、スティーブン・R. (1987). 『変数を用いない集合論の形式化』 AMSコロキウム出版, 第41巻. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1041-5。

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