解析力学

Overview of mechanics based on the least action principle

理論物理学と数理物理学において、解析力学、あるいは理論力学は、古典力学の密接に関連した定式化の集合体です。解析力学は、系全体を表す運動のスカラー特性、通常は運動エネルギーと位置エネルギーを用います。運動方程式は、スカラー量から、スカラーの変化に関する何らかの基本原理によって導出されます。

解析力学は、ニュートン力学の後、18世紀以降、多くの科学者や数学者によって発展しました。ニュートン力学は、系の構成要素の運動のベクトル量、特に加速度、運動量、力を考慮します。ベクトル力学とも呼ばれます。^[1]スカラーは量であり、ベクトルは量と方向によって表されます。これら2つの異なるアプローチの結果は同等ですが、解析力学のアプローチには複雑な問題に対して多くの利点があります

解析力学は、システムの制約条件を利用して問題を解決します。制約条件は、システムが持つことができる自由度を制限し、運動を解くために必要な座標の数を減らすために使用できます。この形式論は、文脈では一般化座標として知られる任意の座標選択に適しています。システムの運動エネルギーと位置エネルギーは、これらの一般化座標、つまり運動量を用いて表現され、運動方程式は容易に設定できるため、解析力学は多くの力学的問題を完全なベクトル法よりも効率的に解くことを可能にします。解析力学は、非保存力や摩擦のような散逸力に対しては必ずしも機能するとは限りません。その場合は、ニュートン力学に戻ることができます

解析力学の2つの主要な分野は、ラグランジュ力学（配置空間における一般化座標と対応する一般化速度を使用）とハミルトン力学（位相空間における座標と対応する運動量を使用）です。どちらの定式化も、一般化座標、速度、運動量に関するルジャンドル変換によって同等であるため、どちらも系のダイナミクスを記述するための同じ情報を含んでいます。ハミルトン・ヤコビ理論、ルーシアン力学、アペルの運動方程式などの他の定式化もあります。粒子と場のすべての運動方程式は、どのような形式においても、最小作用の原理と呼ばれる広く適用可能な結果から導くことができます。その結果の1つがネーターの定理であり、これは保存則とそれに関連する対称性を結び付けるものです

解析力学は新しい物理学を導入するものではなく、ニュートン力学よりも一般化しているわけでもありません。むしろ、幅広い応用を持つ同等の形式論の集合です。実際、同じ原理と形式論は、相対論的力学や一般相対論、そして多少の修正を加えれば量子力学や場の量子論にも使用できます。

解析力学は、基礎物理学から応用数学、特にカオス理論まで、広く用いられています。

解析力学の手法は、それぞれ有限の自由度を持つ離散粒子に適用されます。それらは、無限の自由度を持つ連続場や流体を記述するように修正することができます。定義と方程式は、力学のものと密接な類似性を持っています。

動機

力学理論の目的は、物理学や工学で生じるような力学的な問題を解決することです。メカニズムや恒星系などの物理系から出発して、微分方程式の形で数学モデルが開発されます。このモデルは、数値的または解析的に解くことで、系の運動を決定することができます

ニュートンのベクトル力学アプローチは、力、速度、加速度などのベクトル量を用いて運動を記述します。これらの量は、「質点」または質量が付着した単一の点として理解される「粒子」として理想化された物体の運動を特徴付けます。ニュートンの方法は、地球の重力場における粒子の運動や太陽の周りの惑星の運動など、幅広い物理的問題に効果的に適用されてきました。このアプローチでは、ニュートンの法則は微分方程式によって運動を記述し、問題はその方程式を解くことに帰着します

しかし、機械システムが多数の粒子を含む場合（複雑な機構や流体など）、ニュートンのアプローチを適用するのは困難です。適切な予防措置、すなわち個々の粒子を他の粒子から分離し、それらに作用するすべての力を決定することを行えば、ニュートンのアプローチを用いることは可能です。しかし、このような分析は、比較的単純なシステムであっても煩雑です。ニュートンは、彼の第三法則「作用は反作用に等しい」がすべての複雑な問題を解決できると考えていました。^{[要出典]これは}、固体の回転のような単純なシステムでさえ誤りです。^[要説明]より複雑なシステムでは、ベクトルアプローチでは適切な説明を行うことができません。

解析的アプローチは、各粒子を独立した単位としてではなく、互いに相互作用する粒子の集合体として機械システムを扱うことで問題を単純化します。ベクトル的アプローチでは、各粒子に対して個別に力を決定する必要がありますが、解析的アプローチでは、システム内およびシステムに作用するすべての力を暗黙的に含む単一の関数を知るだけで十分です。このような単純化は、多くの場合、事前に述べられた特定の運動学的条件を用いて行われます。しかし、解析的処理ではこれらの力の知識は必要なく、これらの運動学的条件は当然のこととみなされます。^[要出典]

それでも、複雑な機械システムの運動方程式を導くには、それらが従う統一的な基礎が必要である。^{[説明が必要]これはさまざまな}変分原理によって提供される。つまり、各方程式セットの背後には、セット全体の意味を表現する原理がある。作用と呼ばれる基本的かつ普遍的な量が与えられると、この作用は他の力学的量の小さな変化に対して定常であるという原理から、必要な微分方程式セットが生成される。この原理の記述には特別な座標系は必要なく、すべての結果は一般化座標で表現される。これは、解析的な運動方程式が座標変換によって変化しないということを意味し、これはベクトル運動方程式には欠けている不​​変性である。[ ^2]

微分方程式を「解く」とはどういうことか、完全には明らかではありません。時刻tにおける粒子の座標が、 tと、初期位置および速度を定義するパラメータの単純な関数として表されるとき、問題は解決されたとみなされます。しかし、「単純な関数」は明確に定義された概念ではありません。今日では、関数 f ( t ) は、ニュートンの時代のようにtにおける正式な表現(基本関数) ではなく、最も一般的にはtによって決定される量と見なされており、「単純な」関数と「単純でない」関数の間に明確な線引きをすることはできません。単に「関数」について語るならば、初期条件とtが与えられればtにおける座標が決定されるため、あらゆる機械的問題は微分方程式で適切に表現されればすぐに解決されます。これは特に現在、機械的問題に対する算術解を任意の精度で提供する最新のコンピュータモデリング手法において事実であり、微分方程式は差分方程式に置き換えられています。

正確な定義はないものの、二体問題には単純な解があるのに対し、三体問題にはそれがないことは明らかです。二体問題はパラメータを含む公式によって解かれ、その値を変更することで、すべての解のクラス、つまり問題の数学的構造を調べることができます。さらに、二体運動について正確な心象風景や絵を描くことができ、それは実際の物体が運動し相互作用するのと同じくらい現実的で正確なものになり得ます。三体問題では、パラメータに特定の値を割り当てることもできますが、これらの割り当てられた値での解、またはそのような解の集合は、問題の数学的構造を明らかにしません。他の多くの問題と同様に、数学的構造は微分方程式自体を調べることによってのみ解明できます。

解析力学は、さらに多くのことを目指しています。単一の力学的問題の数学的構造を理解することではなく、力学の大部分を包含するほど広範な問題群の数学的構造を理解することです。解析力学は、ラグランジアン方程式またはハミルトン方程式が適用可能であり、非常に広範囲の問題を含む系に焦点を当てています。^[3]

解析力学の発展には2つの目的がある。(i) 適用範囲の広い標準手法を開発することで、解ける問題の範囲を広げること、(ii) 力学の数学的構造を理解することである。しかし、長期的には、(ii) は、(i) 既に手法が設計されている特定の問題に集中する以上の助けとなる可能性がある。

固有運動

一般化座標と拘束条件

ニュートン力学では、運動中の物体の位置を示すために、通常、3つの直交座標系、またはその他の3次元座標系を使用します。しかし、物理システムでは、何らかの構造またはその他のシステムが、物体の運動が特定の方向や経路を取ることを制約することが一般的です。そのため、制約が座標間の関係の変化を決定し、その関係は制約に対応する方程式によってモデル化できるため、直交座標の完全なセットは多くの場合不要です。ラグランジュ形式とハミルトン形式では、制約は運動の幾何学に組み込まれ、運動をモデル化するために必要な最小限の座標数にまで削減されます。これらは一般化座標と呼ばれ、q _i ( i = 1, 2, 3...) と表記されます。^{[4] : 231}

の違い曲線と一般化座標

一般化座標は、システムに対する制約を組み込んでいます。自由度（便宜上、インデックスi = 1、2、… Nでラベル付け）ごとに1つの一般化座標q _iが存在します。つまり、システムが曲線長または回転角など、その構成を変更できる各方法です。一般化座標は曲線座標とは異なります。曲線座標の数は、問題の位置空間の次元（通常、3次元空間の場合は3）に等しくなりますが、一般化座標の数は必ずしもこの次元と等しくなるわけではありません。制約によって自由度の数（したがって、システムの構成を定義するために必要な一般化座標の数）が減る可能性があり、一般的な規則に従います。^{[5] [疑わしい-議論]}

[位置空間の次元（通常3）] × [システムの構成要素（「粒子」）の数] − (制約の数)

= (自由度の数) = (一般化座標の数)

N自由度の系の場合、一般化座標はN組にまとめることができ、この組の時間微分（ここでは重ね点で示す）は一般化速度を与えます。 $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).}$$

ダランベールの仮想仕事の原理

ダランベールの原理は、可逆的な変位を横切る力によって行われる微小な仮想仕事はゼロであり、これは系の理想的な制約と一致する力によって行われる仕事であると述べています。制約の概念は有用です。なぜなら、これは系ができることの制限となり、系の運動を解くための手順を提供できるからです。ダランベールの原理の方程式は次のとおりです。^{[6] : 265}ここで、は一般化された力（以下の標準変換との衝突を避けるため、通常のQではなくスクリプトQを使用しています）、qは一般化座標です。これは、解析力学の言語におけるニュートンの法則の一般化された形につながります $${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

ここで、Tは系の全運動エネルギーであり、表記は 便利な略記法です（この表記については行列計算を参照してください）。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)}$$

制約

曲線座標系が標準位置ベクトル rで定義され、位置ベクトルが一般化座標qと時間tを用いて次の形式で表され、この関係がすべての時間tに対して成り立つ場合、qはホロノミック拘束と呼ばれます。^{[7]拘束条件が}q ( t )だけでなく時間とともに変化する場合には、ベクトルrはtに明示的に依存します。時間に依存しない状況では、拘束条件はスクレロノミックとも呼ばれ、時間に依存する場合はレオノミックとも呼ばれます。^[5] $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)}$$

ラグランジュ力学

一般座標と基本的なラグランジュ関数の導入：

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

ここで、Tは全運動エネルギー、Vは全系の位置エネルギーです。変分法に従うか、上記の式を使用すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

これは、各q _i ( t ) ごとに1つずつ、 N個の2階常微分方程式の集合です。

この定式化では、運動がたどる実際の経路を、全エネルギーが固定であると仮定し、移動時間に条件を課さないで、運動エネルギーの時間積分が最小となる経路の選択として特定します。

ラグランジュ定式化では、システムの配置空間、つまりすべての可能な一般化座標の集合を使用します。

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

ここで、はN次元の実空間です（集合構築記法も参照）。オイラー・ラグランジュ方程式の特定の解は、（配置）経路または軌道、つまり必要な初期条件に従う特定のq ( t )と呼ばれます。一般解は、時間の関数として可能な配置の集合を形成します ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

配置空間は、位相多様体と接束を用いて、より一般的に、そしてより深く定義することができます。

ハミルトン力学

ラグランジアンに対するルジャンドル変換は、一般化座標と速度(q,q̇)を(q,p)に置き換えます。一般化座標と一般化運動量は、一般化座標と共役です。

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

そして、ハミルトニアン（一般化座標と運動量で表される）を導入します。

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

ここで、はドット積を表し、ハミルトン方程式も導きます ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

これらはq _i ( t )とp _i ( t )それぞれについて2 N 個の1階常微分方程式の集合となる。ルジャンドル変換から得られるもう一つの結果は、ラグランジアンとハミルトニアンの時間微分に関するものである。

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

これは、他の運動方程式に加えて、ハミルトンの運動方程式の1つとみなされることが多い。一般化運動量は、ニュートンの第二法則と同様に、一般化力を用いて表すことができる。

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

配置空間と同様に、すべての運動量の集合は一般化運動量空間である。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

（「運動量空間」は「k空間」、つまり量子力学と波動論で使用される（ド・ブロイの関係によって与えられる）すべての波動ベクトルの集合を指す。 ）

すべての位置と運動量の集合は位相空間を形成する。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

つまり、配置空間と一般化運動量空間の直積である。

ハミルトン方程式の特異解は位相経路と呼ばれ、必要な初期条件に従う特定の曲線（q ( t ), p ( t )）である。すべての位相経路の集合、つまり微分方程式の一般解は、位相ポートレートである。

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

ポアソン括弧

すべての動的変数は、位置q、運動量p、時間tから導出でき、これらの関数としてA = A ( q , p , t )と表すことができます。A ( q , p , t )とB ( q , p , t )が2つのスカラー値の動的変数である場合、ポアソン括弧は一般化座標と運動量によって定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}}$

これらのうちの1つ、例えばAの全微分を計算し、その結果にハミルトン方程式を代入すると、 Aの時間発展が得られます。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.}$

Aのこの方程式は、量子力学のハイゼンベルク描像における運動方程式と密接に関連しています。ハイゼンベルク描像では、古典的な動的変数が量子演算子（ハット記号(^)で示される）になり、ポアソン括弧はディラックの正準量子化によって演算子の交換子に置き換えられます

${\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.}$

ラグランジアン関数とハミルトニアン関数の性質

以下は、ラグランジアン関数とハミルトニアン関数の重複する性質です。^{[5] [8]}

• すべての自由度における個々の一般化座標q _i ( t )、速度q̇ _i ( t )、および運動量p _i ( t ) は相互に独立しています。関数の明示的な時間依存性とは、関数がq ( t )、p ( t )に加えて、実際に時間t を変数として含んでいることを意味します。q ( t )とp ( t )を介した単なるパラメーターとして含まれている場合は、明示的な時間非依存性を意味します。
• ラグランジアンは、 q'とtの任意の関数の全 時間微分を加えても不変です。つまり、各ラグランジアンLとL はまったく同じ運動を記述します。言い換えれば、システムのラグランジアンは一意ではありません $${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$
• 同様に、ハミルトニアンはq、p、tの任意の関数の偏時間微分を加えても不変です。つまり、（Kはこの場合よく使われる文字です）。この性質は標準変換で使用されます（下記参照）。 $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$
• ラグランジアンがいくつかの一般化座標から独立している場合、それらの座標に共役な一般化運動量は運動の定数、つまり保存されます。これはラグランジュの方程式から直ちに導かれます。このような座標は「巡回的」または「無視できる」ものです。ハミルトニアンも全く同じ一般化座標において巡回的であることが示せます。 $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$
• ラグランジアンが時間に依存しない場合、ハミルトニアンも時間に依存しません（つまり、どちらも時間に対して一定です）。
• 運動エネルギーが一般化速度の2次の同次関数であり、ラグランジアンが明示的に時間に依存しない場合、λが定数であるとき、ハミルトニアンは全保存エネルギーとなり、系の全運動エネルギーと位置エネルギーに等しくなります。これはシュレーディンガー方程式の基礎であり、量子演算子を挿入することで直接得られます。 $${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$ $${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$

最小作用原理

系が進化するにつれて、qは配置空間を通る経路を描きます（一部のみを示しています）。系がたどる経路（赤）は、系の構成（δ q ）の小さな変化に対して定常作用（δ S = 0）を持ちます。^[9]

作用は、解析力学においてラグランジアンの汎関数として定義される別の量です。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

作用から運動方程式を見つける一般的な方法は、最小作用の原理です。^[10]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

ここで、出発時刻t ₁と到着時刻t ₂は固定されています。^[1]「経路」または「軌跡」という用語は、配置空間を通る経路としての系の時間発展、つまりq ( t )が経路を辿ることを指します。作用が最小となる経路は、系が取る経路です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

この原理から、古典力学におけるすべての 運動方程式を導くことができます。このアプローチは、粒子系ではなく場に拡張することができ（以下を参照）、量子力学の経路積分の定式化の基礎となっています。^{[11] [12]また、}一般相対論における測地線運動の計算にも使用されます。^[13]

ハミルトニアン-ヤコビ力学

正準変換

ハミルトニアンの不変性（ p、q、tの任意の関数の偏時間微分を加えた場合）により、ある座標系qと運動量pにおけるハミルトニアンを、4つの方法で 新しい集合Q = Q ( q、p、t )およびP = P ( q、p、t )に変換することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

PとQに制約を加えると、変換されたハミルトニアン系は次のようになります

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

上記の変換は正準変換と呼ばれ、各関数G _nは「n種」または「n型」の生成関数と呼ばれます。座標と運動量の変換により、与えられた問題に対するハミルトン方程式を解くための簡略化が可能になります。

QとPの選択は完全に任意ですが、すべての選択が正準変換につながるわけではありません。変換q → Qおよびp → Pが正準であるための1つの単純な基準は、ポアソン括弧が1であることです。

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

すべてのi = 1, 2, ... Nに対して。これが成り立たない場合、変換は正準ではありません。^[5]

ハミルトン・ヤコビ方程式

正準変換されたハミルトニアンK = 0 と、タイプ2の生成関数をハミルトンの主関数（作用）に任意の定数Cを加えたものに等しく設定すると、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

一般化運動量は次のようになります

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

そしてPが定数であれば、タイプ2の正準変換からハミルトン-ヤコビ方程式（HJE）を導くことができます。

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

ここで、Hは前述のハミルトニアンです。

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

関連するもう1つの関数は、ハミルトンの特性関数です。

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

時間に依存しないハミルトニアンHに対して、加法的な変数分離によってHJEを解くために使用されます。

ハミルトン・ヤコビ方程式の解の研究は、自然にシンプレクティック多様体とシンプレクティック位相の研究につながります。^{[14] [15]}この定式化では、ハミルトン・ヤコビ方程式の解は、ハミルトンベクトル場の積分曲線です。

ルーシアン力学

ルーシアン力学はラグランジアン力学とハミルトン力学のハイブリッドな定式化であり、あまり使用されませんが、特に巡回座標を除去するのに役立ちます。^[要出典]系のラグランジアンが、共役運動量p = p ₁、p ₂、 ... p _sを持つs個の巡回座標q = q ₁、q ₂、 ... q _sを持ち、残りの座標が非巡回でζ = ζ ₁、ζ ₁、 ... 、ζ _{N − s}と表記される場合、ルーシアンを導入することでそれらを除去できます。

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

これにより、巡回座標qについて 2 s 個のハミルトン方程式の集合が得られます。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

非巡回座標ζについてN − s 個のラグランジアン方程式が得られます

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

このように設定すると、ルーシアンはハミルトニアンの形をとりますが、自由度N − sのラグランジアンと考えることができます。

座標qは巡回的である必要はなく、ハミルトニアン方程式に入る座標とラグランジアン方程式に入る座標の分割は任意です。ハミルトニアン方程式から巡回座標を削除し、非巡回座標をラグランジアン運動方程式に残すのは単に便利なだけです。

アペル力学

アペルの運動方程式には、一般化加速度、一般化座標の2次微分が含まれます。

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

および、上記のダランベールの原理で述べた一般化力も含まれます。方程式は

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

ここで

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

はk番目の粒子の加速度であり、その位置ベクトルの2次時間微分です。各加速度a _kは一般化加速度α _rで表され、同様に各r _{k は一般化座標}q _rで表されます。

古典場の理論

ラグランジアン場の理論

一般化座標は離散粒子に適用されます。N個の スカラー場 φ _i ( r , t ) （i = 1, 2, ... N ）に対して、ラグランジアン密度はこれらの場とその空間および時間微分、そして場合によっては空間および時間座標自体の関数です。また、オイラー・ラグランジュ方程式には場に対する類似の方程式があります。ここで、∂ _{μ は}4次元勾配を表し、総和法が使用されています。N個のスカラー場に対して、これらのラグランジアン場方程式は、一般に結合され非線形となる、場におけるN個の2階偏微分方程式の集合です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,}$$

このスカラー場の定式化は、ベクトル場、テンソル場、スピノル場に拡張できます。

ラグランジアンは、ラグランジアン密度の体積積分です。 ^{[12] [16]} $${\displaystyle L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.}$$

上記の定式化はもともと古典場のために開発されたものですが、ニュートン重力、古典電磁気学、一般相対論、量子場の理論など、古典的、量子的、相対論的状況におけるすべての物理場に適用できます。正しい場の方程式を生成するために、正しいラグランジアン密度を決定することが問題となります。

ハミルトン場の理論

N個のスカラー場φ _i ( r , t )に共役な、対応する「運動量」場の密度は^[12]です。ここで、この文脈では、上線は全時間微分ではなく偏時間微分を表します。ハミルトン密度は力学との類推によって定義されます。 $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.}$$

運動方程式は以下のとおりです。ここで、単なる偏微分ではなく、変分微分を使用する必要があります。N個の場の場合、これらのハミルトン場の方程式は、2 N個の1階偏微分方程式の集合であり、一般に結合され非線形になります。 $${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$$

繰り返しますが、ハミルトン密度の体積積分はハミルトンです $${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}$$

対称性、保存則、そしてネーターの定理

古典的空間と時間における対称変換

それぞれの変換は演算子（すなわち、位置変数rまたは運動量変数pに作用してそれらを変化させる関数）によって記述できる。以下は、演算子がrまたはpを変化させない場合、すなわち対称性の場合である。^[11]

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
時間並進	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
回転不変性	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
ガリレイ変換	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
パリティ	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
T対称性	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

ここで、R ( n̂ , θ)は、単位ベクトルn̂と角度θで定義される軸の周りの回転行列です。

ネーターの定理

ネーターの定理は、作用の連続的な対称変換が保存則に対応することを述べています。つまり、作用（およびラグランジアン）は、パラメータs でパラメータ化された変換の下では変化しません。 ラグランジアンは、長さ、回転角、または時間のいずれかであるsとは無関係に同じ運動を記述します。q に対応する運動量は保存されます。^[5] $${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$

参照

• ラグランジュ力学
• ハミルトン力学
• 理論力学
• 古典力学
• ハミルトン・ヤコビ方程式
• ハミルトンの原理
• 運動学
• 運動学（物理学）
• 非自律力学
• ウドワディア・カラバ方程式^{[中立性は議論の余地あり]}

参考文献と注釈

1. Lanczos, Cornelius (1970). The variational fundamentals of mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications Inc. Introduction, pp. xxi–xxix. ISBN 0-486-65067-7。
2. Lanczos, Cornelius (1970). The variational fundamentals of mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications Inc. pp.  3– 6. ISBN 978-0-486-65067-8。
3. Synge, JL (1960). 「古典力学」. Flügge, S. (編). 古典力学と場の理論の原理 / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie. 物理学百科事典 / Handbuch der Physik. 第2巻 / 3巻 / 1号. ベルリン、ハイデルベルク：Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-45943-6. ISBN 978-3-540-02547-4 OCLC  165699220. {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
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7. マグロウヒル物理学百科事典（第2版）, CBパーカー, 1994年, ISBN 0-07-051400-3
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10. 物理学百科事典（第2版）、 RGラーナー、GLトリッグ、VHC出版社、1991年、ISBN（出版社）3-527-26954-1、ISBN（VHC社）0-89573-752-3
11. 量子力学、E.アバーズ、ピアソン編、アディソン・ウェズリー、プレンティス・ホール社、2004年、ISBN 978-0-13-146100-0
12. の量子論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8
13. 相対性理論、重力、そして宇宙論、RJAラムボーン、オープン大学、ケンブリッジ大学出版局、2010年、 ISBN 978-0-521-13138-4
14. アーノルド、VI（1989年）。『古典力学の数学的手法』（第2版）。シュプリンガー。第8章。ISBN   978-0-387-96890-2。
15. ドラン、C、レーセンビー、A（2003年）。物理学者のための幾何代数。ケンブリッジ大学出版局。§12.3、432～439ページ。ISBN  978-0-521-71595-9。
16. 重力、JAウィーラー、C.ミスナー、KSソーン、WHフリーマン＆カンパニー、1973年、 ISBN 0-7167-0344-0

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