角運動量演算子

量子力学において、角運動量演算子は、古典角運動量に類似したいくつかの関連演算子の1つです。角運動量演算子は、原子・分子物理学の理論や、回転対称性を含むその他の量子問題で中心的な役割を果たしています。観測可能なものなので、その固有関数はシステムの角運動量の識別可能な物理的状態を表し、対応する固有値は観測可能な実験値です。システムの状態の数学的表現に適用すると、状態が固有状態（固有状態/固有値方程式に従って）である場合、同じ状態にその角運動量の値を乗じた値が生成されます。古典力学システムと量子力学システムの両方において、角運動量（線形運動量とエネルギーと共に）は、運動の3つの基本的特性の1つです。^[1]

角運動量演算子にはいくつかあります。全角運動量（通常Jと表記）、軌道角運動量（通常Lと表記）、スピン角運動量（スピンと略し、通常Sと表記）です。角運動量演算子という用語は、（紛らわしいですが）全角運動量または軌道角運動量のどちらかを指す場合があります。全角運動量は常に保存されます。ノイマンの定理を参照してください。

概要

量子力学では、角運動量は 3 つの異なるが関連したもののいずれかを指します。

軌道角運動量

角運動量の古典的な定義はです。これらのオブジェクトの量子力学的対応物は同じ関係を共有しています。ここで、 rは量子位置演算子、pは量子運動量演算子、 × は外積、Lは軌道角運動量演算子です。L ( pやrと同様に) はベクトル演算子(成分が演算子であるベクトル) です。つまり、L x _、 L y _、 L z_は3つの異なる量子力学的演算子です。 $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$

電荷もスピンもない単一粒子の特殊なケースでは、軌道角運動量演算子は位置基底で次のように表すことができます。ここで $、\nabla$ はベクトル微分演算子、delです。 $\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$

スピン角運動量

角運動量には、スピン角運動量（多くの場合、スピンと略される）と呼ばれる別の種類があり、スピン演算子で表される。スピンは、文字通り軸の周りを回転する粒子として描かれることが多いが、これは単なる比喩に過ぎない。最も近い古典的な類似例は、波動循環に基づくものである。^[2]すべての素粒子は固有のスピンを持っている（スカラーボソンはスピンがゼロである）。例えば、電子は常に「スピン1/2」を持ち、光子は常に「スピン1」を持つ（詳細は後述）。 $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)$

全角運動量

最後に、全角運動量があります。これは、粒子またはシステムのスピン角運動量と軌道角運動量の両方を組み合わせたものです。 $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$ $\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$

角運動量保存則によれば、閉鎖系ではJ 、宇宙全体ではJが保存されます。しかし、 LとSは一般的には保存されません。例えば、スピン軌道相互作用により、 LとSの間で角運動量が行き来しますが、 Jの総量は一定のままです。

交換関係

コンポーネント間の交換関係

軌道角運動量演算子はベクトル演算子であり、ベクトル成分を用いて表すことができます。各成分は互いに以下の交換関係を持ちます。 ^[3] $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$ $\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$

ここで $[,]は$ 交換子を表す $[X,Y]\equiv XY-YX.$

これは次のように書くことができます。ここで、 l、m、nは成分添字（xの場合は1、 yの場合は2 、 zの場合は3 ）、 $εlmn$ $は$ レヴィ・チヴィタ記号を表します。あるいは、アインシュタインの和の法則を用いて次のように書くこともできます。^[^要出典^] $\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},$ $\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \varepsilon _{lmn}L_{n}.$

一つのベクトル方程式として簡潔に表現することもできる: ^[4] $\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$

交換関係は、標準交換関係の直接的な結果として証明できます。ここで、 $δ$ $lm$ はクロネッカーのデルタです。 $[x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}$

古典物理学にも類似の関係がある：^[5]ここでLn_は古典角運動量演算子の成分であり、ポアソン括弧である。 $\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}$ $\{,\}$

他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）にも同じ交換関係が適用される：^[6] $\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.$

これらはLと同様に成立すると仮定できる。あるいは、以下で議論するように導出することもできる。

これらの交換関係は、Lがリー代数の数学的構造を持ち、 $ε lmn$ がその構造定数であることを意味します。この場合、リー代数は物理記法ではSU(2)、数学記法ではSO(3)、つまり3次元の回転を伴うリー代数です。JとSについても同様です。その理由は後述します。これらの交換関係は、後述の通り、測定と不確かさに関連しています。 $\operatorname {su} (2)$ $\operatorname {so} (3)$

分子における全角運動量Fは、回転振電角運動量（軌道角運動量N ）、電子スピン角運動量S、および核スピン角運動量Iの合計である。電子一重項状態の場合、回転振電角運動量はNではなくJと表記される。Van Vleck ^[7]が説明したように、分子回転振電角運動量の分子固定軸に関する成分は、空間固定軸に関する上記成分とは異なる交換関係を持つ。

ベクトルの大きさに関する交換関係

任意のベクトルと同様に、大きさの2乗は軌道角運動量演算子に対して定義できる。 $L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

$L^{2}$ は別の量子演算子である。これはの成分と可換である。 $\mathbf {L}$ $\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.$

これらの演算子が交換可能であることを証明する1つの方法は、前のセクションの [ L _ℓ , L _m ]交換関係から始めることです。

[ L ² , L _x ] = 0の証明、[ L _ℓ , L _m ] 交換関係から出発して^[8]

${\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}$

数学的には、はによって張られるリー代数SO(3)のカシミール不変量です。 $L^{2}$ $\mathbf {L}$

古典物理学にも同様の関連があり、ここでは古典角運動量演算子の成分であり、ポアソン括弧である。^[9] $\left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0$ $L_{i}$ $\{,\}$

量子の場合に戻ると、同じ交換関係が他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）にも適用され、 ${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}$

不確定性原理

一般に量子力学では、2つの観測可能な演算子が交換しない場合、それらは相補的観測可能量と呼ばれます。2つの相補的観測可能量は同時に測定できず、代わりに不確定性原理を満たします。一方の観測可能量の精度が高ければ高いほど、もう一方の観測可能量の精度は低くなります。位置と運動量に不確定性原理があるように、角運動量にも不確定性原理が存在します。

ロバートソン・シュレーディンガーの関係式は、次の不確定性原理を与える：ここで、はXの測定値の標準偏差であり、はXの期待値を表す。この不等式は、 x、y、zを並べ替えた場合、あるいはLをJまたはSに置き換えた場合にも成立する。 $\sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.$ $\sigma _{X}$ $\langle X\rangle$

したがって、角運動量の 2 つの直交成分 (たとえば、L _xと L _y ) は補完的であり、などの特殊な場合を除いて、同時に知ったり測定したりすることはできません。 $L_{x}=L_{y}=L_{z}=0$

しかし、 L ^2とLの任意の成分を同時に測定または特定することは可能です。例えば、L ²とL _zです。これはしばしば有用であり、値は方位量子数（l）と磁気量子数（m）によって特徴付けられます。この場合、系の量子状態は演算子L ²とL _zの同時固有状態であり、L _xやL _yの同時固有状態ではありません。固有値は以下の表に示すように、 lとmに関連しています。

量子化

量子力学では、角運動量は量子化される。つまり、連続的に変化することはできず、特定の許容値間の「量子飛躍」のみで変化する。任意の系において、測定結果には以下の制約が適用される。ここで、は縮約プランク定数である。^[10] $\hbar$

測ってみると…	...結果は...	注記
$L^{2}$	$\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$ 、どこ $\ell =0,1,2,\ldots$	$\ell$ 方位量子数または軌道量子数と呼ばれることもあります。
$L_{z}$	$\hbar m_{\ell }$ 、どこ $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$	$m_{\ell }$ 磁気量子数と呼ばれることもあります。この同じ量子化規則はの任意の成分に対して適用されます。たとえば、。 $\mathbf {L}$ $L_{x}\,or\,L_{y}$ この規則は空間量子化と呼ばれることもあります。^[11]
$S^{2}$	$\hbar ^{2}s(s+1)$ 、どこ $s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	sはスピン量子数または単にスピンと呼ばれます。たとえば、スピン1 ⁄ 2粒子は、 s = 1 ⁄ 2の粒子です。
$S_{z}$	$\hbar m_{s}$ 、どこ $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s$	$m_{s}$ スピン射影量子数と呼ばれることもあります。この同じ量子化規則はの任意の成分に対して適用されます。たとえば、。 $\mathbf {S}$ $S_{x}\,or\,S_{y}$
$J^{2}$	$\hbar ^{2}j(j+1)$ 、どこ $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	jは全角運動量量子数と呼ばれることもあります。
$J_{z}$	$\hbar m_{j}$ 、どこ $m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j$	$m_{j}$ 全角運動量射影量子数と呼ばれることもあります。この同じ量子化規則はの任意の成分に対して適用されます。たとえば、。 $\mathbf {J}$ $J_{x}\,or\,J_{y}$

ラダー演算子を使った微分

上記の量子化規則を導く一般的な方法はラダー演算子法である。^[12]全角運動量のラダー演算子は次のように定義される。 $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$ ${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$

がとの同時固有状態（すなわち、に対して定数値を持ち、に対して定数値を持つ状態）であると仮定する。の成分の交換関係を用いると、との各状態はゼロ、またはとの同時固有状態（に対してと同じ値を持ち、に対しての値はそれぞれだけ増加または減少する）のいずれかであることが証明できる。ラダー演算子の使用によりの値が許容範囲外となる状態が生じる場合、結果はゼロとなる。このようにラダー演算子を用いることで、との可能な値と量子数を見つけることができます。 $|\psi \rangle$ $J^{2}$ $J_{z}$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\mathbf {J}$ $J_{+}|\psi \rangle$ $J_{-}|\psi \rangle$ $J^{2}$ $J_{z}$ $|\psi \rangle$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\hbar$ $J_{z}$ $J^{2}$ $J_{z}$

およびの可能な値と量子数の導出。^[13] $J_{z}$ $J^{2}$

をの固有値との固有値を持つシステムの状態関数とします。[^{注 1]} $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ${J^{2}}'$ $J^{2}$ $J_{z}'$ $J_{z}$

からが得られます。上式の両辺をに適用すると、とは実数なのでは負ではなくです。したがってには上限と下限があります。 $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.$ $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ $(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$ $J_{x}$ $J_{y}$ ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ $J_{z}'$

の成分に対する交換関係のうち 2 つは、です。これらを組み合わせて 2 つの方程式を得ることができます。これらの方程式は、以下に示すように、符号を使用して一緒に書きます。方程式の 1 つは符号を使用し、もう 1 つは符号を使用します。上記の両辺をに適用すると、は、それぞれの固有値を持つの 2 つの固有関数であることがわかります。ただし、関数の 1 つが 0 の場合は固有関数ではありません。 0 でない関数については、を繰り返し適用することにより、結果の固有値の大きさがである限り、のさらなる固有関数と対応する固有値を見つけることができます。の固有値は有界であるため、が最低の固有値、が最高の固有値であるとします。すると、の固有値がまたはである状態は存在しないため、となります。最初の方程式にを適用し、を 2 番目の方程式に適用することで、およびであることが示されます。 2 番目の方程式から 1 番目の方程式を引き算して整理すると、であるため、2 番目の因子は負です。そうすると、最初の因数はゼロになるはずなので、となります。 $\mathbf {J}$ $[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$ $\pm$ $J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),$ $+$ $-$ $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ ${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}$ $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ $J_{z}$ ${J_{z}}'\pm \hbar$ $\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$ $J_{z}$ $J_{x}\pm iJ_{y}$ $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}$ $J_{z}$ $J_{z}^{0}$ $J_{z}^{1}$ $(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$ $(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,$ $J_{z}$ $<J_{z}^{0}$ $>J_{z}^{1}$ $(J_{x}+iJ_{y})$ $(J_{x}-iJ_{y})$ $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}$ $J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}$ ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ ${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.$ $(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.$ $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}$ $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$

違いは、またはを連続的に適用することで、の固有値がによって下げられたり上げられたりすることから生じます。ここでと上記のを使用し、の許容される固有値はです。量子数で表し、上記のをに代入すると、 $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ $J_{x}-iJ_{y}$ $J_{x}+iJ_{y}$ $J_{z}$ $\hbar$ $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$ $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,$ $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.$ $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ $J_{z}^{0}=-j\hbar$ $J_{z}^{1}=j\hbar ,$ $J_{z}$ $J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .$ $J_{z}'$ $m_{j}\;$ $J_{z}^{0}=-j\hbar$ ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}$

とはと同じ交換関係を持つため、については量子数が整数でなければならないというさらなる制約があることを除けば、同じラダー解析をこれらに適用できます。 $\mathbf {S}$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {J}$ $\mathbf {L}$

およびに対する整数量子数への制限の導出。^[14] $L_{z}$ $L^{2}$

シュレーディンガー表現では、軌道角運動量演算子のz成分は球座標で次のように表すことができます。 ^[15]および固有値を持つ固有関数について、を解くと、はに依存しません。は単一の値である必要があり、を加算すると空間内の同じ点の座標が得られるため、固有値を解くと、は整数です。^[16]上記および関係から、も整数であることがわかります。これは、軌道角運動量の量子数とが整数に制限されていることを示しています。これは、半整数値を持つことができる全角運動量とスピンの量子数とは異なります。^[17] $L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.$ $L_{z}$ $\psi$ $L_{z}'$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .$ $\psi$ $\psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },$ $A$ $\phi$ $\psi$ $2\pi$ $\phi$ ${\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}$ $L_{z}'$ $L_{z}'=m_{l}\hbar \;,$ $m_{l}$ $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \$ $\ell$ $m_{\ell }$ $\ell$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {J}$ $\mathbf {S}$

視覚的解釈

角運動量は量子演算子であるため、古典力学のようにベクトルとして描くことはできません。それでも、このように経験的に描くことが一般的です。右側に描かれているのは、下から上までの 5 つの円錐について、量子数、の状態の集合です。であるため、ベクトルはすべて長さで示されています。リングは、が確実にわかっているが、とは未知であるという事実を表しています。したがって、適切な長さとz成分を持つすべての古典ベクトルが描かれ、円錐を形成しています。およびによって特徴付けられる量子状態にある特定のシステムのアンサンブルに対する角運動量の期待値は、この円錐上のどこかにある可能性がありますが、単一のシステムに対して定義することはできません ( の成分は互いに交換できないため)。 $\ell =2$ $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ $|L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}$ $\hbar {\sqrt {6}}$ $L_{z}$ $L_{x}$ $L_{y}$ $\ell$ $m_{\ell }$ $L$

マクロシステムにおける量子化

量子化則は、回転するタイヤの角運動量Lのようなマクロな系にも当てはまると広く考えられています。しかし、観測可能な効果はないため、検証されていません。例えば、がおよそ100000000の場合、正確な値が100000000や100000001のような整数であろうと、100000000.2のような非整数であろうと、本質的に違いはありません。離散的なステップは現時点では測定するには小さすぎるからです。ほとんどの目的において、角運動量のあらゆる可能な値の組み合わせは、マクロなスケールでは実質的に連続的です。^[18] $L_{z}/\hbar$

回転の源としての角運動量

角運動量の最も一般的かつ基本的な定義は、回転の生成子として定義される。 ^[6]より具体的には、任意の量子状態を軸の周りで角度だけ回転させる回転演算子とする。がとなると、演算子は恒等演算子に近づく。なぜなら、0° の回転はすべての状態をそれ自身に写像するからである。すると、軸の周りの角運動量演算子は次のように定義される。^[6] $R({\hat {n}},\phi )$ ${\hat {n}}$ $\phi$ $\phi \rightarrow 0$ $R({\hat {n}},\phi )$ $J_{\hat {n}}$ ${\hat {n}}$ $J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}$

ここで、1は恒等演算子である。また、Rは加法射であることにも注意されたい。結果として^[6]となる。ここで、expは行列指数関数である。生成元の存在は、1パラメータユニタリ群上のストーンの定理によって保証されている。 $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$ $R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$

簡単に言えば、全角運動量演算子は、量子系を回転させたときにその変化を特徴づけるものです。角運動量演算子と回転演算子の関係は、数学におけるリー代数とリー群の関係と同じです。これについては後述します。

さまざまな種類の回転演算子。上のボックスには2つの粒子が表示され、スピン状態は矢印で模式的に示されています。
Jに関連する演算子Rは、システム全体を回転させます。
Lに関連する演算子R_空間は、粒子の内部スピン状態を変更せずに粒子の位置を回転させます。
Sに関連する演算子R_内部は、粒子の位置を変えずに粒子の内部スピン状態を回転させます。

Jが回転演算子の生成元であるのと同様に、LとSは修正部分回転演算子の生成元です。この演算子は、すべての粒子と場の位置（空間内）を回転させますが、粒子の内部（スピン）状態は回転しません。同様に、この演算子はすべての粒子の内部（スピン）状態を回転させますが、粒子や場を空間内で移動させることはありません。J = L + Sという関係は、以下の式から成ります。 $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$ $R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$ $R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)$

つまり、位置が回転し、次に内部状態が回転すると、システム全体が回転したことになります。

SU(2)、SO(3)、および360°回転

360°回転は恒等演算子であると予想されるが、これは量子力学では想定されておらず、多くの場合正しくないことが判明している。全角運動量量子数が半整数（1/2、3/2など）のときは、整数のときはである。^[6]数学的には、宇宙における回転の構造は、古典力学における3次元回転の群である SO(3)ではない。その代わりに、 SU(2)であり、これは微小回転についてはSO(3)と同一であるが、360°回転は数学的に0°回転と区別される。（ただし、720°回転は0°回転と同じである。）^[6] $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1$ $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1$ $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$

一方、いかなる状況においても、空間配置の360°回転は全く回転していないのと同じである。（これは粒子の内部（スピン）状態の360°回転とは異なり、これは全く回転していないのと同じかどうかは分からない。）言い換えれば、演算子はSO(3)の構造を持ち、演算子と演算子はSU(2)の構造を持つ。 $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ $R_{\text{spatial}}$ $R$ $R_{\text{internal}}$

方程式から、固有状態を選択してを描きます。つまり、軌道角運動量量子数は半整数ではなく整数のみであるということです。 $+1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)$ $L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle$ $e^{-2\pi im}=1$

表現理論との関連

ある量子状態から始めて、あらゆる可能なおよびの状態集合、すなわち、初期状態をあらゆる可能な方法で回転させた結果として生じる状態の集合を考えます。この集合の線形展開はベクトル空間であり、したがって、回転演算子が1つの状態を別の状態に写像する方法は、回転演算子群の表現となります。 $|\psi _{0}\rangle$ $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ ${\hat {n}}$ $\phi$

回転演算子が量子状態に作用すると、リー群 SU(2)（RおよびR_内部の場合）またはSO(3)（R_空間の場合）の表現が形成されます。

Jと回転演算子の関係から、

角運動量演算子が量子状態に作用すると、リー代数またはの表現が形成されます。

{\mathfrak {su}}(2)

{\mathfrak {so}}(3)

（SU(2)とSO(3)のリー代数は同一である。）

上記のラダー演算子の導出は、リー代数SU(2)の表現を分類する方法である。

交換関係との関連

古典的な回転は互いに交換できません。例えば、x軸を中心に1°回転させた後、y軸を中心に1°回転させた場合と、 y軸を中心に1°回転させた後、x軸を中心に1°回転させた場合とでは、回転全体の回転はわずかに異なります。この非交換性を注意深く解析することで、角運動量演算子の交換関係を導くことができます。^[6]

(この同じ計算手順は、「リー群 SO(3)またはSU(2)のリー代数とは何か」という数学的な質問に答える1つの方法です。)

角運動量保存則

ハミルトニアンHは系のエネルギーとダイナミクスを表す。球対称な状況では、ハミルトニアンは回転に対して不変である。ここで、 Rは回転演算子である。結果として、JとRの関係により、 Jは保存される。エーレンフェストの定理により、Jは保存される。 $RHR^{-1}=H$ $[H,R]=0$ $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$

要約すると、Hが回転不変（内積空間上で定義されたハミルトニアン関数は、その座標に任意の回転を加えてもその値が変化しない場合、回転不変であると言われる）であれば、全角運動量Jは保存される。これはノイマンの定理の例である。

Hが一つの粒子のハミルトニアンに過ぎない場合、その粒子の全角運動量は、その粒子が中心ポテンシャル内にあるとき（すなわち、ポテンシャルエネルギー関数がのみに依存するとき）、保存されます。あるいは、Hが宇宙のすべての粒子と場のハミルトニアンである場合、Hは常に回転不変です。なぜなら、宇宙の基本物理法則は向きに関わらず同じだからです。これが、角運動量保存則が物理学の一般原理であると言える根拠です。 $\left|\mathbf {r} \right|$

スピンを持たない粒子の場合、J = Lとなるため、同じ状況で軌道角運動量は保存されます。スピンがゼロでない場合、スピン軌道相互作用により、角運動量はLからSへ、あるいはSからLへ移動します。したがって、 L自体は保存されません。

角運動量結合

多くの場合、2種類以上の角運動量は相互作用し、一方から他方へ角運動量が移動します。例えば、スピン軌道相互作用では、角運動量はLとSの間で移動しますが、保存されるのは合計のJ = L + Sのみです。別の例として、2つの電子を持つ原子では、それぞれが独自の角運動量J ₁とJ ₂を持ちますが、保存されるのは合計のJ = J ₁ + J ₂のみです。

このような状況では、すべての状態が明確な値を持つ状態と、すべての状態が明確な値を持つ状態との関係を知ることがしばしば有用です。後者の4つの状態は通常、保存されるからです（運動定数）。これらの基底を行き来する手順は、クレプシュ・ゴルダン係数を用いることです。 $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}$ $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$

この分野における重要な結果の1つは、の量子数の間に関係があることです。 $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$ $j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.$

J = L + Sの原子または分子の場合、記号という用語によって、演算子に関連付けられた量子数が示されます。 $L^{2},S^{2},J^{2}$

球座標における軌道角運動量

角運動量演算子は、球座標系における球対称性を持つ問題を解く際によく用いられる。空間表現における角運動量は^[19]^[20] ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}$

球座標では、ラプラス演算子の角度部分は角運動量で表すことができる。この関係式は次のようになる。 $\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.$

演算子の固有状態を求めるために解くと、次の式が得られます。ここで、は球面調和関数です。^[21] $L^{2}$ ${\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}$ $\left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$

参照

注記

^ 現在の導出の根拠となっているコンドンとショートリーの導出では、観測量の集合と、は可換な観測量の完全な集合を形成する。さらに彼らは、がおよびと可換であることを要求した。^[13]現在の導出は、集合あるいはそれに対応する固有値集合を含まないことで簡略化されている。 $\Gamma$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\Gamma$ $J_{x}$ $J_{y}$ $\Gamma$ $\gamma$

参考文献

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さらに読む

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[14] 現在の導出の根拠となっているコンドンとショートリーの導出では、観測量の集合と、は可換な観測量の完全な集合を形成する。さらに彼らは、がおよびと可換であることを要求した。^[13]現在の導出は、集合あるいはそれに対応する固有値集合を含まないことで簡略化されている。 $\Gamma$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\Gamma$ $J_{x}$ $J_{y}$ $\Gamma$ $\gamma$

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