拡張マトリックス

Matrix formed by appending columns of two other matrices

線型代数学において、拡大行列 とは、次元行列の右側に、次元列ベクトルを列として追加することで得られる行列である。これは通常、ガウス消去法によって連立一次方程式を解く際に元の行列に対して行われるのと 同じ基本的な行演算を、拡大行列に対しても実行する目的で行われる。 ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle k\times (n+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$

例えば、行列と列ベクトルが与えられ、ここで拡張行列は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

与えられた数の未知数に対して、連立一次方程式の解の数は、連立一次方程式を表す係数行列の階数と、対応する拡大行列の階数のみに依存する。ここで、拡大行列の成分は、連続する連立一次方程式の右辺から構成される。ルーシェ・カペリの定理によれば、任意の連立一次方程式は ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle AX=B}$

ここで、 はシステムの未知数を要素とする - 成分の列ベクトルです。拡張行列 の階数が係数行列の階数よりも大きい場合、システムは矛盾します（解が存在しません）。一方、これら2つの行列の階数が等しい場合、システムには少なくとも1つの解が存在する必要があります。階数が変数の数に等しい場合のみ、解は一意です。それ以外の場合、一般解には自由パラメータ が存在します。ここで、は変数の数と階数の差です。このような場合、この差に等しい次元の解のアフィン空間が存在します。 ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

次元の非特異正方行列の逆行列は、単位行列をの右側に追加して次元拡大行列を形成することによって求めることができる。基本的な行演算を適用して左側のブロックを単位行列に変換すると、右側のブロックは逆行列となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times 2n}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

逆行列を求める例

2×2の正方行列 を ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

の逆行列を求めるには、 を単位行列 とする拡張行列 を形成します。次に、 の対応する部分をの基本的な行演算を用いて単位行列に縮約します。 その右側の部分は逆行列 です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ $${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$ $${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$ ${\displaystyle A^{-1}}$

解の存在と数

方程式のシステムを考えてみましょう $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

係数行列は 、拡大行列は $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

これらは両方とも同じランク、つまり 2 であるため、少なくとも 1 つの解が存在します。また、ランクは未知数の数 (未知数は 3) より小さいため、解の数は無限にあります。

対照的に、システムを考えてみましょう $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

係数行列は 、拡大行列は $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

この例では、係数行列の階数は2ですが、拡大行列の階数は3です。そのため、この連立方程式には解が存在しません。実際、線形独立な行の数が増えたため、連立方程式は矛盾が生じています。

線形システムの解

線形代数で用いられるように、各方程式群の係数と解ベクトルを表すために拡大行列が用いられる。方程式群の係数と定数項は行列を与え、したがって拡大行列を与える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

係数行列の階数が 3 であることは拡張行列の階数と等しいため、少なくとも 1 つの解が存在することに注意してください。また、この階数は未知数の数と等しいため、解は 1 つだけ存在します。

解を得るには、拡張行列に対して行演算を実行して左側の単位行列を取得し、システムの解が( x , y , z ) = (4, 1, −2)となるようにすることができます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$

参考文献

• マーカス、マービン; ミンク、ヘンリック (1992).行列理論と行列不等式の概説. ドーバー高等数学書籍. ニューヨーク: ドーバー出版. p. 31. ISBN 978-0-486-67102-4。

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