背景フィールド法

理論物理学において、背景場法は、古典的な「背景」値Bの周囲に量子場を展開することによって量子場理論の有効作用を計算するための便利な手順です。

\phi (x)=B(x)+\eta (x)

。

これを行った後、グリーン関数を背景の関数として評価します。このアプローチの利点は、ゲージ理論に適用した場合、ゲージ不変性が明らかに保存されることです。

方法

通常は次のような式を計算します。

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))\right)

ここで、J ( x )はソース、はシステムのラグランジアン密度、 dは次元数、はフィールドです。 ${\mathcal {L}}(x)$ $\phi (x)$

背景場法では、まずこの場を古典的な背景場B ( x )と追加の量子ゆらぎを含む場η( x )に分割する。

\phi (x)=B(x)+\eta (x)\,.

通常、B ( x )は古典的な運動方程式の解となる。

\left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}=0

ここでSは作用、すなわちラグランジアン密度の空間積分である。J ( x )源を投入すると、方程式は次のように変化する。

\left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}+J=0

。

次に、アクションは背景B ( x ) の周囲に展開されます。

{\begin{aligned}\int d^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))&=\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))\\&+\int d^{d}x\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)}}[B]+J(x)\right)\eta (x)\\&+{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots \end{aligned}}

この展開における第2項は運動方程式によりゼロとなる。第1項はいかなる変動場にも依存しないため、経路積分から除外することができる。結果は次のようになる。

Z[J]=e^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\int {\mathcal {D}}\eta e^{{\frac {i}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots }.

残った経路積分は（点の補正を無視すると）ガウス形式となり、正確に積分することができます。

Z[J]=Ce^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\left(\det {\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\right)^{-1/2}+\cdots

ここで、「det」は関数行列式、Cは定数です。グラスマン体の場合、マイナス1/2のべき乗は当然プラス1になります。

上記の導出は、関数積分のガウス近似を与える。これに対する補正を計算し、図式的な展開を生成することができる。

ペスキン、マイケル、シュローダー、ダニエル (1994). 『量子場の理論入門』パーセウス出版. ISBN 0-201-50397-2。
ベーム、マンフレッド。デナー、アンスガー。ヨース、ハンス (2001)。強相互作用と電弱相互作用のゲージ理論(第 3 版)。トイブナー。ISBN 3-519-23045-3。
クライナート、ハーゲン(2009).量子力学、統計学、高分子物理学、金融市場における経路積分（第5版）. ワールドサイエンティフィック.
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