LSZ削減式

Connection between correlation functions and the S-matrix

量子場の理論において、レーマン・シマンジク・ツィンメルマン（LSZ）縮約公式は、量子場の理論の時間順序相関関数からS行列要素（散乱振幅）を計算する手法である。これは、ある量子場の理論のラグランジアンから始まり、測定可能な量の予測に至る道筋の一段階である。この公式は、3人のドイツ人物理学者、ハリー・レーマン、クルト・シマンジク、ヴォルフハルト・ツィンメルマンにちなんで名付けられている。^[1]

LSZ縮約公式は束縛状態、質量ゼロ粒子、位相ソリトンを扱うことはできませんが、しばしば非局所的となる合成場を用いることで、束縛状態を扱うように一般化できます。さらに、この方法、あるいはその変種は、理論物理学の他の分野でも有益であることが判明しています。例えば、統計物理学においては、揺らぎ散逸定理の特に一般的な定式化を得るために用いることができます。

インフィールドとアウトフィールド

S行列の要素は、 in状態とout状態の間の遷移の確率振幅です。 ^{[2] [3] [4] [5] [6]} in状態は、はるか昔、相互作用する前は、一定の運動量{ p }で自由に動いていた粒子系の状態を表します。逆に、 out状態は、相互作用してからずっと後、一定の運動量{ p }で自由に動いている粒子系の状態を表します。 ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$

イン状態とアウト状態はハイゼンベルク描像における状態であるため、特定の時間における粒子を記述するものではなく、むしろ粒子のシステム全体の進化を記述するものと考えるべきです。そのため、S 行列要素は次のようになります。

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

一定の運動量{ p }で準備された粒子の集合が相互作用し、後に運動量{ q }を持つ新しい粒子の集合として測定される確率振幅です。

入状態と出状態を構築する簡単な方法^{[注 1]は、適切な}生成演算子と消滅演算子を提供する適切な場の演算子を探すことです。これらの場はそれぞれ入場と出場と呼ばれます。

考えを整理するために、何らかの方法で相互作用するクライン・ゴルドン場を扱うと仮定します。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$は自己相互作用 gφ ³ 、または湯川相互作用 のような他の場との相互作用を含む可能性がある。このラグランジアンから、オイラー・ラグランジュ方程式を用いると、運動方程式は次のようになる。 ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

ここで、微分結合が含まれていない場合は、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

遠い過去においては、粒子同士が離れているため、電流j ₀によって記述される相互作用は無視できると仮定すると、 in場は自由場の漸近的挙動に類似すると予想される。この仮説は断熱仮説と呼ばれる。しかし、自己相互作用は決して消えることはなく、他の多くの効果に加えて、ラグランジアン質量m ₀とφボソンの物理質量mの間に差が生じる。この事実を考慮するために、運動方程式を次のように書き直す必要がある。^[要出典] ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

この方程式は、クライン・ゴルドン演算子の遅延グリーン関数を使用して正式に解くことができます。 ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

相互作用と漸近的挙動を分離することができます。解決策は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

係数は後で役立つ正規化係数であり、フィールドは運動方程式に関連付けられた同次方程式の解です。 ${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

したがって、これは、入ってくる摂動されていない波を記述する自由場であり、解の最後の項は、相互作用による波の摂動を与えます。

場はまさに我々が探し求めていた場である。なぜなら、それは相互作用場の漸近的挙動を と記述するからである。ただし、この記述は後でより正確に述べる。これは自由スカラー場なので、平面波で展開することができる。 ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

どこ：

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

体に関する係数の逆関数は簡単に得られ、次のようなエレガントな形で表すことができます。

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

どこ：

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

フーリエ係数は生成消滅演算子の代数を満たす。

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

これらは通常の方法で状態を構築するために使用できます。

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

相互作用場と入射場の関係はそれほど単純ではなく、遅延グリーン関数の存在により、次のように記述したくなります。

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

粒子が互いに遠く離れている場合、すべての相互作用は無視できるという仮定を暗黙的に採用しています。しかし、電流j ( x )には、質量m ₀からmへの移動を引き起こすような自己相互作用も含まれています。これらの相互作用は粒子が離れていくにつれて消えることはないため、相互作用場とインフィールドの間の漸近関係を確立する際には細心の注意を払う必要があります。

レーマン、シマンジク、ツィンメルマンによって展開された正しい処方は、2つの正規化可能な状態と、そしてクライン・ゴルドン方程式の正規化可能な解f  ( x )を必要とする。これらを用いて、正しく有用だが非常に弱い漸近関係を述べることができる。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$  ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

2 番目の要素は実際には時間に依存しないことが微分して示され、とf の両方がクラインとゴルドンの方程式を満たすことを思い出すことができます。 ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$  

適切な変更を加えることで、同じ手順で状態を構築するoutフィールドを構築できます。具体的には、 outフィールドの定義は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

ここで、はクライン・ゴルドン作用素の高度なグリーン関数である。出力場と相互作用場の間の弱漸近関係は次の通りである。 ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

スカラーの縮約式

漸近関係は、LSZ縮約公式を得るのに必要なすべてです。今後の便宜上、行列要素から始めます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

これはS行列要素よりも若干一般化しています。実際、は、出力状態と入力状態の間の多数のフィールドの時間順序付けされた積の期待値です。出力状態には、真空から不定数の粒子まで、あらゆるものを含めることができ、その運動量は指数βでまとめられます。入力状態には、少なくとも運動量pの粒子が 1 個含まれ、場合によっては他の多数の粒子も含まれ、その運動量は指数αでまとめられます。時間順序付けされた積にフィールドが存在しない場合は、 は明らかにS行列要素です。運動量pの粒子は、生成演算子を使用して入力状態から「抽出」できます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

ここで、プライムは1つの粒子が取り出されたことを表します。運動量pの粒子が取り出し状態に存在しない、つまり前方散乱を無視すると仮定すると、次のように書けます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

左辺に作用するとゼロになるからです。構築演算子を入力フィールドと出力フィールドで表すと、次のようになります。 ${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

ここで漸近条件を使用して次のように記述できます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

次に、フィールドφ ( x )は、 x ⁰ → −∞のときに右側に、 x ⁰ → ∞のときに左側に現れるため、時間順序付き積の内側に持ち込むことができることに気が付きます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

以下では、時間順の製品におけるx依存性が重要なので、次のように設定します。

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

時間積分を明示的に行うことで次のことが示されます。^{[注 2]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

したがって、明示的な時間微分により、次の式が得られます。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

定義によれば、f _p  ( x )はクライン・ゴルドン方程式の解であり、次のように表すことができます。 

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

を式に代入し、部分積分すると次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

つまり、

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

この結果から出発し、同じ経路を辿ることで、入力状態から別の粒子を抽出でき、時間順序積に別のフィールドが挿入されます。非常によく似たルーチンで出力状態から粒子を抽出でき、これら2つを反復処理することで、時間順序積の右側と左側の両方に真空状態が得られ、以下の一般式が得られます。

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

これはクライン・ゴルドン・スカラーに対するLSZ縮約式です。相関関数のフーリエ変換を用いて記述すると、はるかに見栄えが良くなります。

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

逆変換を使用して LSZ 削減式に代入すると、多少の労力で次の結果が得られます。

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

正規化係数を別にすれば、この式は、S行列要素は、4 元運動量がオンシェルに置かれたときに相関関数のフーリエ変換で生じる極の剰余であると主張しています。

フェルミオンの縮約公式

量子化された自由場ディラック方程式の解は次のように書けること を思い出してください。

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

ここで、計量シグネチャはほぼプラスであり、は運動量とスピンを持つb型粒子の消滅演算子、はスピンを持つd型粒子の生成演算子であり、スピノルとスピノルはおよびを満たす。ローレンツ不変測度はと書かれ、となる。ここで、散乱が発生する原点の相互作用領域に接近する非相互作用粒子の入状態と、それに続いて出ていく非相互作用粒子の出状態からなる散乱事象を考える。この過程の確率振幅は次式で与えられる。 ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle s=\pm }$ ${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$ ${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで、単純化のため、追加の時間順序付き場の演算子の積は挿入されていない。考察する状況は、b型粒子からb型粒子への散乱である。in状態は運動量とスピンを持つ粒子から成り、out状態は運動量とスピンを持つ粒子から構成されると仮定する。in状態とout状態は次のように与えられる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

から入射粒子を取り出すと、粒子が1つ少ない状態に作用する自由場生成演算子が得られる。出ていく粒子が同じ運動量を持たないと仮定すると、次のように書ける。 ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで、上のプライムは1つの粒子が取り出されたことを表す。自由理論では、b型粒子演算子は逆関係を用いて場を用いて表せることを思い出そう。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

ここで、漸近自由場を および と表記すると、 ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

ディラック場に必要な弱漸近条件は、スカラー場の場合と同様に、

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

外場についても同様である。散乱振幅は

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

ここで、相互作用場は内積に現れる。この極限を時間微分の積分で書き直すと、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

ここで、棒ディラック場の行列要素の行ベクトルは と表されます。ここで、 はディラック方程式の解であることを思い出してください。 ${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

を解き、それを積分の最初の項に代入し、部分積分を実行すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

ディラック指数表記法（繰り返し指数の合計）に切り替えると、角括弧内の量が微分演算子とみなされる、よりきれいな表現が可能になります。

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

次に、積分に現れる行列要素について考えてみましょう。出力状態生成演算子を抽出し、対応する入力状態演算子を減算すると、入射粒子が同じ運動量を持たないという仮定のもと、次式が得られます。

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

（ただし ）であることを覚えておけば、逆関係の随伴関係を用いて、体における消滅演算子を に置き換えることができる。漸近関係を適用すると、 ${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$ ${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

第一項は左辺に、第二項は右辺に時間順序記号が必要であるため、時間順序記号が出現していることに注意されたい。前述と同じ手順に従うと、この式は次のように簡約される。 ${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

残りのinとoutの状態も同様に抽出して縮小することができ、最終的には

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

同じ手順を d 型粒子の散乱にも実行できます。つまり、 はに置き換えられ、と は交換されます。 ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$

電界強度の正規化

入出力場の定義における正規化係数Zの理由は、真空とオンシェルの 4 モーメントを持つ単一粒子状態との関係を考慮することで理解できます。 ${\displaystyle |p\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

φとφ_は両方ともスカラー場であり、そのローレンツ変換は次のようになることを覚えておいてください。

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

ここでP ^μは4元運動量演算子であり、次のように書くことができる。

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

クライン・ゴルドン演算子∂ ² + m ^{2 を}両辺に適用し、4元モーメントpがオンシェルであり、Δ _retが演算子のグリーン関数であることを思い出すと、次式が得られます。

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

したがって、次の関係に到達します。

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

これは因子Zの必要性を説明しています。inフィールドは自由場であるため、1粒子状態と真空とを結び付けることはできません。つまり、真空と多粒子状態との間の期待値はゼロです。一方、相互作用場は相互作用のおかげで多粒子状態と真空を結び付けることもできるため、最後の式の両辺の期待値は異なり、間に正規化係数が必要です。右辺は、生成演算子と消滅演算子 でinフィールドを展開することで明示的に計算できます。

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

との_間の交換関係を用いると次の式が得られます。 ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

計算方法を知っていれば、Zの値を計算できます。 ${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$

注記

1. LSZ縮約式の教育的な導出は、Peskin and Schroederのセクション7.2、^[2]、SrednickiのセクションI.5、^[3]、Weinbergのpp. 436-438、^[4]、Ticciatiのセクション10.5（生成演算子を示すために使用）、^[5]、またはオスロ大学のSkaarの講義ノートに記載されています。^[6] ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(f,t)}$
2. 演算子を時間順序から引き離すことは、どちらも時間順序と可換ではないため、完全に自明ではありません。しかし、微分演算子と積分演算子の両方を適用すると、これらの問題は相殺され、結合された演算子は時間順序と可換になります。^[5] ${\displaystyle {\mathcal {\Box }}+m^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\int }}dx^{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$

参考文献

1. リーマン、H.シマンジク、Ｋ．ジンマーマン、W. (1955 年 1 月)。 「フェルドテオリエンの量子化計算」。Il Nuovo Cimento (ドイツ語)。1 (1)。イタリア物理学会: 205–225。書誌コード:1955NCimS...1..205L。土井：10.1007/BF02731765。S2CID  121373082。
2. Peskin; Schroeder (2018-05-04). 量子場理論入門. CRC Press. doi :10.1201/9780429503559. ISBN 978-0-429-50355-9。
3. Srednicki, Mark (2007). 量子場理論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9780511813917. ISBN 978-0-511-81391-7。
4. Weinberg, Steven (1995). 『場の量子論：第1巻：基礎』第1巻. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9781139644167. ISBN 978-0-521-67053-1。
5. ティチアーティ、ロビン (1999). 『数学者のための量子場理論』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511526428. ISBN 9780511526428。
6. Skaar, Johannes (2023). 「S行列とLSZ縮約式」(PDF) . 2023年10月9日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。

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