バナッハ代数

Particular kind of algebraic structure

数学、特に関数解析学において、シュテファン・バナッハにちなんで名付けられたバナッハ代数は、実数または複素数上（または非アルキメデス完備ノルム体上）の結合代数であり、同時にバナッハ空間、すなわちノルムによって誘導される計量において完備なノルム空間でもある。ノルムは以下を満たす必要がある。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.}$$

これにより、乗算演算がメトリックトポロジに関して連続的であることが保証されます。

バナッハ代数は、ノルムが である乗法の単位元を持つとき単位元と呼ばれ、乗法が可換 であるとき可換と呼ばれます。任意のバナッハ代数は（単位元であるかどうかに関わらず）、単位バナッハ代数に等長的に埋め込むことができ、の閉じたイデアルを形成できます。多くの場合、検討中の代数は単位元であると演繹的に仮定します。なぜなら、理論の大部分は、検討し、その結果を元の代数に適用することで展開できるからです。しかし、常にそうであるとは限りません。例えば、バナッハ代数の すべての三角関数を単位元なしで定義することはできません。 ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

実バナッハ代数の理論は、複素バナッハ代数の理論とは大きく異なる場合があります。例えば、非自明な複素バナッハ代数の元のスペクトルは決して空になりませんが、実バナッハ代数では、一部の元に対しては空になることがあります。

バナッハ代数は- 進数の体上にも定義できます。これは- 進解析の一部です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

例

バナッハ代数の典型的な例は であり、これは局所コンパクト・ハウスドルフ空間上で定義され、無限遠 で消滅する（複素数値）連続関数の空間である。が単位関数となるのは、 がコンパクト である場合に限る。複素共役 は反転 であるため、実際にはC*-代数である。より一般的には、すべての C*-代数は定義によりバナッハ代数である。 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• 実数（または複素数）の集合は、ノルムが絶対値で与えられるバナッハ代数です。
• すべての実数または複素数-行 -列行列の集合は、部分乗法行列ノルムを備えると単位バナッハ代数になります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• ノルムを持つバナッハ空間（または）を取り、成分ごとに乗算を定義します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• 四元数は4 次元の実バナッハ代数を形成し、ノルムは四元数の絶対値によって与えられます。
• ある集合（点ごとの乗算と上限ノルムを持つ）上で定義されたすべての有界実数値関数または複素数値関数の代数は、単位バナッハ代数です。
• ある局所コンパクト空間上のすべての有界連続実数値または複素数値関数の代数（これも点ごとの演算と上限ノルムを含む）はバナッハ代数です。
• バナッハ空間上の連続 線型作用素全体の代数（関数合成を乗法、作用素ノルムをノルムとする）は単位バナッハ代数である。上のコンパクト作用素全体の成す集合はバナッハ代数であり、閉イデアルである。^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E=\infty .}$
• が局所コンパクトハウスドルフ位相群で、がそのハール測度である場合、上のすべての -積分可能関数のバナッハ空間は、の畳み込みの下でバナッハ代数になる[ ^2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ ${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$
• 均一代数:上限ノルムを持つ複素代数の部分代数であり、定数を含み、(コンパクトなハウスドルフ空間でなければならない)の点を分離するバナッハ代数。 ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• 自然バナッハ関数代数：すべての特性が点における評価である一様代数 ${\displaystyle X.}$
• C*-代数: あるヒルベルト空間上の有界演算子の代数の閉じた*-部分代数であるバナッハ代数。
• 測度代数：ある局所コンパクト群上のすべてのラドン測度からなるバナッハ代数。2つの測度の積は測度の畳み込みによって与えられる。^[2]
• 四元数 の代数は実バナッハ代数ですが、四元数の中心は実数であり、実数には複素数のコピーを含めることができないため、複素代数ではありません (したがって複素バナッハ代数でもありません)。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• アフィノイド代数は、非アルキメデス体上のバナッハ代数の一種です。アフィノイド代数は、剛体解析幾何学における基本的な構成要素です。

プロパティ

冪級数によって定義されるいくつかの基本関数は、任意の単位バナッハ代数において定義できます。例としては、指数関数や三角関数、そしてより一般的には任意の整関数が挙げられます。（特に、指数写像は抽象添字群を定義するために使用できます。）等比級数の公式は、一般の単位バナッハ代数においても有効です。二項定理は、バナッハ代数の2つの可換な元に対しても成立します。

任意の単位バナッハ代数の可逆元の集合は開集合であり、この集合上の反転演算は連続（したがって同相）であるため、乗法に関して位相群を形成する。^[3]

バナッハ代数が単位を持つ場合、 は交換子にはなり得ない。つまり、任意の  に対して である。これは、 と が、おそらく を除いて同じスペクトルを持つためである。 ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle x,y\in A.}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle 0.}$

上の例で示した様々な関数の代数は、実数などの標準的な代数の例とは非常に異なる性質を持っています。例えば、

• 実バナッハ代数のうち、除算代数となるものは、すべて実数、複素数、または四元数と同型である。したがって、複素バナッハ代数のうち、除算代数となるものは複素数のみである。（これはゲルファンド・マズールの定理として知られている。）
• 零因子を持たず、すべての主イデアルが閉じているすべての単位実バナッハ代数は、実数、複素数、または四元数と同型である。^[4]
• 零因子を持たないすべての可換実単位ノイザンバナッハ代数は、実数または複素数と同型です。
• すべての可換実単位ネーターバナッハ代数（ゼロ因子を持つ可能性あり）は有限次元です。
• バナッハ代数の永久特異元はゼロの位相因子である。つまり、バナッハ代数の拡大を考慮すると、与えられた代数で特異ないくつかの元は、バナッハ代数拡大で逆元を持つ。 のゼロの位相因子は、任意のバナッハ拡大で永久に特異である。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

スペクトル理論

複素体上の単位バナッハ代数は、スペクトル理論を展開するための一般的な設定を提供する。で表される元のスペクトルは、が において逆行列を持たないようなすべての複素スカラーから構成される。任意の 元のスペクトルは、の半径と中心を持つ閉円板の閉部分集合であり、したがって コンパクトである。さらに、のスペクトルは空でなく、スペクトル半径の公式を満たす。 ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

正則関数計算により、任意の関数に対して の近傍で正則な関数を定義することができる。 さらに、スペクトル写像定理が成り立つ。^[5] ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (x).}$ $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

バナッハ代数が複素バナッハ空間上の有界線型作用素の代数（例えば、正方行列の代数）である場合、 におけるスペクトルの概念は作用素論における通常のスペクトルの概念と一致する。（コンパクトハウスドルフ空間）の場合、次式が成り立つ。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

C*-代数の正規元のノルムは、そのスペクトル半径と一致する。これは、正規作用素についても同様の事実を一般化したものである。 ${\displaystyle x}$

を複素単位バナッハ代数とし、その非零元はすべて逆元となる（除法代数）。任意の に対して、 が逆元とならないようなものが存在する（ のスペクトルが空でないため）。したがって、この代数はと自然に同型となる（ゲルファント＝マズールの定理の複素数の場合）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

理想と性格

を 上の単位可換バナッハ代数とします。は を持つ可換環なので、 のすべての非可逆元は の何らかの極大イデアルに属します。の最大イデアルは閉じているので、は体であるバナッハ代数であり、ゲルファンド・マズールの定理から、 のすべての極大イデアルの集合と から までのすべての非ゼロ準同型集合の間には一対一の関係があることが示されます。集合はの「構造空間」または「指標空間」と呼ばれ、その要素は「指標」と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A,}$

指標とは、 上の線型汎関数であり、同時に乗法性を持ち、を満たす。指標の核は最大イデアルであり、これは閉じているため、すべての指標は から まで自動的に連続である。さらに、指標のノルム（つまり、作用素ノルム）は 1 である。指標空間は、 上の点収束の位相（つまり、 の弱*位相によって誘導される位相）を備えているため、 ハウスドルフ・コンパクト空間となる。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Delta (A),}$

任意の に対して、のゲルファンド表現は次のように定義されます。はから への連続関数で、によって与えられます。上記の式 の のスペクトルは、コンパクト空間上の複素連続関数の代数の要素としてのスペクトルです 。 明示的に、 ${\displaystyle x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ ${\displaystyle {\hat {x}},}$ ${\displaystyle C(\Delta (A))}$ ${\displaystyle \Delta (A).}$ $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

代数として、単位可換バナッハ代数が半単純（つまり、ヤコブソン根基がゼロ）であることと、そのゲルファンド表現が自明核を持つことは同値である。そのような代数の重要な例として、可換C*-代数が挙げられる。実際、が可換単位C*-代数であるとき、ゲルファンド表現はと^[a]の間の等長*-同型となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Delta (A)).}$

バナッハ*-代数

バナッハ *-代数は、複素数体上のバナッハ代数であり、次の特性を持つ写像を持ちます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$すべてに対して(したがって、マップは反転です)。 ${\displaystyle x\in A}$
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$すべての人のために ${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$ここで、すべての と は、複素共役を表す。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in A;}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$すべての人のために ${\displaystyle x,y\in A.}$

言い換えれば、バナッハ *-代数は、 上のバナッハ代数であり、これもまた*-代数です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ほとんどの自然な例では、反転は等長的であることもわかります。つまり、 一部の著者は、この等長的性質をバナッハ *-代数の定義に含めています。 $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

を満たすバナッハ*-代数はC*-代数です。 ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

参照

• おおよその同一性
• カプランスキー予想 – 数学者アーヴィング・カプランスキーによる数々の予想Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 作用素代数 – 関数解析の分野
• シロフ境界

注記

1. 証明：可換C*-代数のすべての元は正規元なので、ゲルファント表現は等長的である。特に、ゲルファント表現は単射であり、その像は閉じている。しかし、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理により、ゲルファント表現の像は稠密である。

参考文献

1. Conway 1990、例VII.1.8。
2. Conway 1990、例VII.1.9。
3. Conway 1990、定理VII.2.2。
4. ガルシア, ミゲル・カブレラ; パラシオス, アンヘル・ロドリゲス (1995). 「ゲルファント＝マズール＝カプランスキー定理の新たな簡単な証明」 .アメリカ数学会誌. 123 (9): 2663– 2666. doi :10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
5. 竹崎 1979、命題 2.8.

• ボロバス, B (1990).線型解析. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-38729-9。
• ボンソール, FF ; ダンカン, J. (1973). Complete Normed Algebras . ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2。
• コンウェイ, JB (1990).関数解析コース. 数学大学院テキスト. 第96巻.シュプリンガー出版. ISBN 0-387-97245-5。
• Dales, HG; Aeina, P.; Eschmeier, J.; Laursen, K.; Willis, GA (2003). 『バナッハ代数、作用素、調和解析入門』 ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0。
• モサック, RD (1975).バナッハ代数. シカゴ数学講義. シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-54203-3。
• 竹崎正之(1979).作用素環論 I . 数学百科事典. 第124巻 (第1版). ベルリン・ハイデルベルク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.

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