バナッハ多様体

バナッハ空間をモデルとした多様体

数学において、バナッハ多様体（バナッハたねんたい、英: Banach manifold）は、バナッハ空間をモデルとした多様体である。したがって、バナッハ多様体は、各点がバナッハ空間内の開集合に同相な近傍を持つ位相空間である（より複雑で正式な定義は後述する）。バナッハ多様体は、多様体を無限次元に拡張する一つの可能​​性である。

さらに一般化してフレシェ多様体とすることも可能であり、これはバナッハ空間をフレシェ空間に置き換えるものである。一方、ヒルベルト多様体はバナッハ多様体の特殊なケースであり、多様体は局所的にヒルベルト空間上にモデル化されている。

意味

を集合とする。上のクラスのアトラスは、（チャートと呼ばれる）ペアの集合であり、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r},}$ ${\displaystyle r\geq 0,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I,}$

1. それぞれ はのサブセットであり、の和集合はの全体です。 ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$
2. それぞれは、からあるバナッハ空間の開集合への一対一であり、任意の添字に対しては、 ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle E_{i},}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ ${\displaystyle E_{i};}$
3. 交差写像は、任意のに対して- 回連続的に微分可能な関数である。つまり、番目のフレシェ微分が存在し、の部分集合上の-ノルム位相と上の演算子ノルム位相に関して連続な関数である。 $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i,j\in I;}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).}$

このとき、上にはそれぞれが開であり、それぞれが同相写像となるような唯一の位相空間が存在することが示される。この位相空間はハウスドルフ空間であると仮定されることが多いが、形式的な定義の観点からは必ずしもそうである必要はない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

すべてのバナッハ空間が同じ空間に等しい場合、アトラスは-アトラスと呼ばれる。しかし、バナッハ空間が同じ空間であること、あるいは位相ベクトル空間として同型であることは、アプリオリに必要ではない。しかし、2つのチャートと が、空でない交差を持つような場合、交差写像 の導関数を簡単に調べれば、と は位相ベクトル空間として同型でなければならないことがわかる。さらに、を含み、かつ与えられたバナッハ空間 と同型であるチャートが存在する点の集合は、開 と の両方である。したがって、一般性を失うことなく、アトラスの各連結成分上で が、ある固定された に対する -アトラスであると仮定することができる。 ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(U_{j},\varphi _{j}\right)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

新しいチャートが与えられたアトラスと互換性があるとは、交差写像が 任意の-倍連続微分可能な関数である場合である。2つのアトラスは、一方のアトラスのすべてのチャートがもう一方のアトラスと互換性がある場合に互換性があるとされる。互換性は、すべての可能なアトラスのクラスにおける同値関係を定義する。 ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}}$ $${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X.}$

上の-多様体構造は、クラスの上の地図帳の同値類の選択として定義される。もしすべてのバナッハ空間が位相ベクトル空間として同型であれば（連結であれば同型であることが保証される）、それらすべてが何らかのバナッハ空間に等しい同値な地図帳が見つかる。そのとき、バナッハ空間は-多様体と呼ばれる、あるいは がをモデル化していると言われる。 ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r}.}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$

例

任意のバナッハ空間は、正準的にバナッハ多様体と同一視できる。 がバナッハ空間であるならば、 は単一の大域的に定義された図（恒等写像）を含むアトラスを持つバナッハ多様体である。 ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle X}$

同様に、 が何らかのバナッハ空間の開部分集合である場合、 はバナッハ多様体である。（以下の分類定理を参照。） ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

同相写像までの分類

次元の有限次元多様体が に大域的に同相である、あるいは の開集合であるということは、決して正しくありません。しかし、無限次元の設定では、「行儀の良い」バナッハ多様体を同相まで非常にうまく分類することが可能です。1969 年のDavid Henderson ^[1]の定理によれば、すべての無限次元で可分な計量バナッハ多様体は、無限次元で可分なヒルベルト空間 の開集合として埋め込むことができます(線型同型まで、そのような空間は 1 つしか存在せず、通常は と同一視されます)。実際、Henderson の結果はより強力です。つまり、同じ結論が、可分な無限次元フレシェ空間上にモデル化された任意の計量多様体に対して成り立ちます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

埋め込み同相写像は、 のグローバルチャートとして使用できます。したがって、無限次元、分離可能、メトリックの場合、「唯一の」バナッハ多様体は、ヒルベルト空間の開集合です。 ${\displaystyle X.}$

参照

• バナッハ束
• フレシェ空間における差別化
• フィンスラー多様体 – リーマン多様体の一般化
• フレシェ多様体
• 大域解析- バナッハ多様体やその他の無限次元多様体を使用する
• ヒルベルト多様体 – ヒルベルト空間をモデルにした多様体

参考文献

1. ヘンダーソン 1969.

• アブラハム, ラルフ; マースデン, J.E.; ラティウ, チューダー (1988). 『多様体、テンソル解析、そしてその応用』ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-96790-7。
• アンダーソン, RD (1969). 「フレシェ多様体における強無視集合」(PDF) .アメリカ数学会報. 75 (1). アメリカ数学会誌 (AMS): 64– 67. doi :10.1090/s0002-9904-1969-12146-4. ISSN  0273-0979. S2CID  34049979.
• アンダーソン, RD; ショリ, R. (1969). 「無限次元多様体の因数」(PDF) .アメリカ数学会誌. 142.アメリカ数学会 (AMS): 315– 330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• ヘンダーソン, デイヴィッド・W. (1969). 「無限次元多様体はヒルベルト空間の開集合である」. Bull. Amer. Math. Soc . 75 (4): 759– 762. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR  0247634.
• ラング、セルジュ(1972). 『微分多様体』 マサチューセッツ州レディング、ロンドン、オンタリオ州ドン・ミルズ: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• ツァイドラー、エバーハルト (1997).非線形関数解析とその応用. 第4巻. Springer-Verlag New York Inc.

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=バナッハ多様体&oldid=1305009087」より取得