ベイズの定理

ベイズの定理（トーマス・ベイズ（/ b eɪ z /）にちなんで、ベイズの法則またはベイズの規則とも呼ばれる）は、条件付き確率を逆転させる数学的規則を示し、結果が与えられれば原因の確率を求めることができる。例えば、ベイズの定理を用いると、患者がある病気の検査で陽性反応を示した場合の確率は、病気が存在する場合に検査結果が陽性となる確率を用いて求めることができる。この定理は18世紀にベイズによって、そしてピエール＝シモン・ラプラスによって独立に発展させられた。

ベイズの定理の多くの応用例の 1 つに、統計的推論へのアプローチであるベイズ推論があります。ベイズ推論では、モデル構成 (つまり、尤度関数) が与えられた場合の観測値の確率を逆転させて、観測値が与えられた場合のモデル構成の確率 (つまり、事後確率) を取得します。

歴史

ベイズの定理は、牧師、統計学者、哲学者であるトーマス・ベイズにちなんで名付けられました。ベイズは条件付き確率を用いて、証拠に基づいて未知のパラメータの限界を計算するアルゴリズム（命題9）を提示しました。彼の研究は1763年に『偶然の教義における問題の解決に向けた試論』として出版されました。ベイズは、二項分布（現代の用語で言えば）の確率パラメータの分布を計算する方法を研究しました。ベイズの死後、家族は彼の論文を友人で牧師、哲学者、数学者であったリチャード・プライスに寄贈しました。

プライスは未発表原稿を2年間かけて徹底的に編集し、友人に送りました。友人は1763年12月23日、王立協会でそれを朗読しました^。[1]^プライスはベイズの主著『偶然の理論における問題解決への試論』（1763年）を編集しました。これは『哲学論文集^{』 [3]}に掲載され、ベイズの定理を包含しています。プライスはこの論文の序文を書き、ベイズ統計学の哲学的基盤の一部を提示し、ベイズが提示した2つの解法のうち1つを選択しました。1765年、プライスはベイズの遺産に関する研究が認められ、王立協会のフェローに選出されました。^[4]^{[5] 4月27日、友人}ベンジャミン・フランクリンに宛てた手紙が王立協会で朗読され、後に出版されました。この手紙の中でプライスは、この研究を人口問題と「終身年金」の計算に適用しています。^[6]

ベイズとは独立して、ピエール＝シモン・ラプラスは条件付き確率を用いて、証拠を与えられた事前確率から更新された事後確率の関係を定式化した。彼は1774年にベイズの結果を再現・拡張したが、ベイズの研究については明らかに知らなかったようで、その結果を『確率分析理論』（1812年）にまとめた。^{[注 1]}^[7]ベイズ流の確率解釈は主にラプラスによって発展した。^[8]

約200年後、ハロルド・ジェフリーズ卿はベイズのアルゴリズムとラプラスの定式化を公理的に証明し、1973年の著書の中で「確率論におけるベイズの定理は、幾何学におけるピタゴラスの定理と同じである」と記した。^[9]

スティーブン・スティグラーはベイズの議論を用いて、ベイズの定理はベイズより前にイギリスの盲目の数学者ニコラス・サンダーソンによって発見されたと結論付けたが^[10]^[11]、これには異論がある。^[12]

マーティン・フーパー^[13]とシャロン・マクグレイネ^[14]は、リチャード・プライスの貢献は大きかったと主張している。

現代の基準に照らせば、ベイズ＝プライス則に言及すべきです。プライスはベイズの研究を発見し、その重要性を認識し、修正し、論文に貢献し、そしてその活用法を見出しました。ベイズの名前だけを用いる現代の慣習は不公平ですが、あまりにも定着しているため、他のものはほとんど意味をなさないのです。^[14]

F・トーマス・ブラスは、プライスが伝えたベイズの「偶然性の教義における問題解決に向けた試論」^[15]をレビューした。彼は多くの点でスティグラーの分析に同意しているが、優先順位の問題に関しては同意していない。ブラスはベイズの公式の直感的な部分を強調し、ベイズがその研究を行った動機について独立した議論を加えている。彼は、反証が実際に証明されない限り、「ベイズの定理」または「ベイズの公式」という名称に忠実に従う権利があると結論付けている。

定理の記述

ベイズの定理は数学的には次の式で表される：^[16]

$P(A\vert B)={\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}}$

ここで、およびはイベントおよびです。 $A$ $B$ $P(B)\neq 0$

$P(A\vert B)$ は条件付き確率です。つまり、が真であるという条件のもとで事象が発生する確率です。これは、が与えられた場合の事後確率とも呼ばれます。 $A$ $B$ $A$ $B$
$P(B\vert A)$ も条件付き確率です。つまり、が真であるという条件下で事象が発生する確率です。また、一定のが与えられた場合に発生する尤度とも解釈できます。 $B$ $A$ $A$ $B$
$P(A)$ およびは、それぞれ与えられた条件なしで、およびを観測する確率です。これらは事前確率および周辺確率として知られています。 $P(B)$ $A$ $B$

証拠

イベント用

ベイズの定理は条件付き確率の定義から導かれる。

P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0,

ここで、AとBの両方が真である確率は、 $P(A\cap B)$

P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0.

を解いて上記の式に代入すると、ベイズの定理が得られます。 $P(A\cap B)$ $P(A\vert B)$

P(A\vert B)={\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.

連続確率変数の場合

2つの連続確率変数 XとYについては、ベイズの定理は条件付き密度の定義から同様に導かれる。

f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}

f_{Y\vert X=x}(y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}

したがって、

f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{Y\vert X=x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.

これは、 XとYのサポート内で値とに当てはまり、とを保証します。 $x$ $y$ $f_{X}(x)>0$ $f_{Y}(y)>0$

一般的なケース

を与えられたの条件付き分布とし、をの分布とします。このとき、結合分布はとなります。このとき、与えられたの条件付き分布はによって決定されます。 $P_{Y}^{x}$ $Y$ $X=x$ $P_{X}$ $X$ $P_{X,Y}(dx,dy)=P_{Y}^{x}(dy)P_{X}(dx)$ $P_{X}^{y}$ $X$ $Y=y$

$P_{X}^{y}(A)=E(1_{A}(X)|Y=y)$

必要な条件付き期待値の存在と一意性は、ラドン・ニコディム定理の帰結である。これは1933年にコルモゴロフによって定式化された。コルモゴロフは条件付き確率の重要性を強調し、「私は条件付き確率と条件付き期待値の理論に注目したい」と記している。^[17]ベイズの定理は、事前分布から事後分布を決定する。一意性には連続性の仮定が必要である。^[18]ベイズの定理は、実数直線上の一様分布のような不適切な事前分布にも一般化できる。^[19]現代のマルコフ連鎖モンテカルロ法は、不適切な事前分布の場合を含め、ベイズの定理の重要性を高めた。^[20]

例

薬物検査

例えば、大麻使用の有無を判定する特定の検査の感度が90% 、つまり真陽性率（TPR）が0.90であるとします。したがって、大麻使用者の場合、真陽性率（薬物使用の正確な特定率）は90%となります。

この検査の特異度は80%で、真陰性率（TNR）は0.80です。つまり、この検査は非使用者における非使用の80%を正確に特定しますが、同時に非使用者における偽陽性も20%生成し、偽陽性率（FPR）は0.20となります。

有病率が0.05 で、つまり 5% の人が大麻を使用していると仮定すると、ランダムに選んだ検査で陽性反応が出た人が実際に大麻を使用している確率はどれくらいでしょうか?

検査の陽性予測値（PPV）とは、陽性と判定された人全員のうち実際に陽性と判定された人の割合であり、次のようにサンプルから計算できます。

PPV = 真陽性 / 検査陽性

感度、特異度、そして有病率が分かっていれば、ベイズの定理を用いてPPVを計算できます。ここでは「検査で陽性反応が出た場合、その人が大麻使用者である確率」を意味し、これがPPVの意味です。以下のように書き表すことができます。 $P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})$

{\begin{aligned}P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}})}}\\&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})+P({\text{Positive}}\vert {\text{Non-user}})P({\text{Non-user}})}}\\[8pt]&={\frac {0.90\times 0.05}{0.90\times 0.05+0.20\times 0.95}}={\frac {0.045}{0.045+0.19}}\approx 19\%\end{aligned}}

分母は全確率の法則を直接適用したものです。この場合、誰かが陽性反応を示す確率は、使用者が陽性反応を示す確率に使用者である確率を掛け、さらに非使用者が陽性反応を示す確率に非使用者である確率を掛けたものであるとされています。これは、使用者と非使用者という分類が、薬物検査を受ける人々の集合を分割しているためです。これを条件付き確率の定義と組み合わせると、上記の式が成り立ちます。 $P({\text{Positive}})=P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})+P({\text{Positive}}\vert {\text{Non-user}})P({\text{Non-user}})$

言い換えれば、検査で陽性反応が出た場合、その人が大麻使用者である確率はわずか 19% です。このグループでは、使用者はわずか 5% であり、陽性反応のほとんどは、残りの 95% による偽陽性だからです。

頻度ボックスを使用して、網掛けされた領域を比較することで視覚的に示します。真陽性のピンク色の領域が偽陽性の青い領域と比べてどれほど小さいかに注目してください。 $P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})$

1,000人が検査を受けた場合：

950人は非使用者であり、そのうち190人は誤検出（0.20 × 950）
そのうち50人はユーザーであり、そのうち45人が真陽性（0.90 × 50）を示します。

つまり、1,000 人のうち 235 人が陽性反応を示し、そのうち本物はわずか 45 人、つまり約 19% である。

感度または特異度

特異度の重要性は、感度が 100% に上げられ、特異度が 80% のままであったとしても、陽性反応を示した人が大麻使用者である確率は 19% から 21% にしか上がらないが、感度が 90% に保たれ、特異度が 95% に上がると、確率は 49% に上がるという結果からわかります。

テスト実際の	ポジティブ	ネガティブ	合計
ユーザー	45	5	50
非ユーザー	190	760	950

合計	235	765	1000
感度90%、特異度80%、PPV=45/235 ≈ 19%

テスト実際の	ポジティブ	ネガティブ	合計
ユーザー	50	0	50
非ユーザー	190	760	950

合計	240	760	1000
感度100%、特異度80%、PPV=50/240 ≈ 21%

テスト実際の	ポジティブ	ネガティブ	合計
ユーザー	45	5	50
非ユーザー	47	903	950

合計	92	908	1000
感度90%、特異度95%、PPV=45/92 ≈ 49%

がん発生率

膵臓がんの患者全員が特定の症状を示すからといって、その症状を示す人が100%膵臓がんを発症するわけではありません。膵臓がんの発症率が10万人に1人、世界中で9万9999人の健康な人が同じ症状を示すと仮定すると、これらの症状から膵臓がんである確率は9.1%となり、残りの90.9%は「偽陽性」（つまり、誤ってがんと診断されたこと。本件のように検査結果が悪い場合、「陽性」という表現は紛らわしい）である可能性があります。

発生率に基づいて、10万人あたりの対応する数値を示す表が次の表です。

症状癌	はい	いいえ	合計
はい	1	0	1
いいえ	10	99989	99999

合計	11	99989	100000

これを使って、症状がある場合に癌である確率を計算することができます。

{\begin{aligned}P({\text{Cancer}}|{\text{Symptoms}})&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}})}}\\&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})+P({\text{Symptoms}}|{\text{Non-Cancer}})P({\text{Non-Cancer}})}}\\[8pt]&={\frac {1\times 0.00001}{1\times 0.00001+(10/99999)\times 0.99999}}={\frac {1}{11}}\approx 9.1\%\end{aligned}}

不良品率

状態機械	欠陥品	完璧	合計
あ	10	190	200
B	9	291	300
C	5	495	500

合計	24	976	1000

ある工場では、A、B、Cの3つの機械を使って製品を生産しており、それぞれ生産量の20%、30%、50%を占めています。機械Aで生産された製品のうち、5%が不良品です。機械Bで生産された製品のうち、3%が不良品です。また、機械Cで生産された製品のうち、1%が不良品です。ランダムに選んだ製品に不良品があった場合、それが機械Cで生産された確率はどれくらいでしょうか？

ここでも、仮定のケース数に条件を適用することで、式を使わずに答えを導き出すことができます。例えば、工場が1,000個の製品を生産する場合、機械Aは200個、機械Bは300個、機械Cは500個を生産します。機械Aは5% × 200 = 10個の不良品を生産し、機械Bは3% × 300 = 9個、機械Cは1% × 500 = 5個、合計24個の不良品を生産します。したがって、総生産量のうち24/1000 (2.4%) が不良品となり、ランダムに選ばれた不良品が機械Cによって生産される確率は5/24 (約20.83%) となります。

この問題はベイズの定理を用いて解くこともできます。X i_を、ランダムに選ばれた商品がi ^番目の機械（i = A, B, C）によって製造されたという事象とします。Yを、ランダムに選ばれた商品に欠陥があるという事象とします。すると、以下の情報が与えられます。

P(X_{A})=0.2,\quad P(X_{B})=0.3,\quad P(X_{C})=0.5.

もしその品物が最初の機械で作られた場合、それが不良品である確率は0.05、つまりP ( Y | X _A ) = 0.05となる。全体として、

P(Y|X_{A})=0.05,\quad P(Y|X_{B})=0.03,\quad P(Y|X_{C})=0.01.

元の質問に答えるには、まずP (Y)を求めます。これは次のように行えます。

P(Y)=\sum _{i}P(Y|X_{i})P(X_{i})=(0.05)(0.2)+(0.03)(0.3)+(0.01)(0.5)=0.024.

したがって、総出力の 2.4% が不良品となります。

Yが発生したと仮定し、 X _Cの条件付き確率を計算したいとします。ベイズの定理により、

P(X_{C}|Y)={\frac {P(Y|X_{C})P(X_{C})}{P(Y)}}={\frac {0.01\cdot 0.50}{0.024}}={\frac {5}{24}}

品物が不良品であると仮定すると、それが機械Cで製造された確率は5/24です。機械Cは総生産量の半分を生産しますが、不良品の割合ははるかに小さいです。したがって、選択された品物が不良品であったという知識があれば、事前確率P ( X _C ) = 1/2をより小さな事後確率P (X _C | Y ) = 5/24に置き換えることができます。

解釈

ベイズの定理の解釈は、用語に帰属する確率の解釈に依存します。以下に、2つの主要な解釈の種類について説明します。

ベイズ解釈

ベイズ的（あるいは認識論的）解釈において、確率は「信念の度合い」を測る。^[21]^[22]ベイズの定理は、証拠を考慮する前と考慮した後の命題に対する信念の度合いを結びつける。例えば、コインが表になる確率は裏になる確率の2倍であると50%の確信度で信じられているとする。コインを何度か投げて結果を観察すると、その信念の度合いは結果に応じて上昇するか下降するかは明らかだが、同じままである可能性もある。命題Aと証拠Bについて、

事前確率P ( A ) は、Aに対する初期の信頼度です。
事後確率P ( A | B ) は、Bが真実であるというニュースを組み込んだ後の信念の度合いです。
商⁠P ( B | A )/P ( B )⁠ は、B がAに提供するサポートを表します。

ベイズ的確率解釈におけるベイズの定理の応用の詳細については、「ベイズ推論」を参照してください。

頻度主義的解釈

頻度主義的解釈では、確率は「結果の割合」を測る。^[23]例えば、ある実験が何度も行われたとしよう。P ( A )は特性Aを持つ結果の割合（事前分布）であり、P ( B )は特性Bを持つ結果の割合である。P ( B | A )は特性Aを持つ結果のうち特性Bを持つ結果の割合であり、P ( A | B )は特性Bを持つ結果のうち特性Aを持つ結果の割合（事後分布）である。

ベイズの定理の役割は、樹形図で示すことができます。2つの図は、同じ結果をAとBで逆順に分割し、逆確率を求めています。ベイズの定理は、これらの異なる分割を結び付けています。

例

昆虫学者が、背中の模様から、甲虫の希少亜種と思われるものを発見しました。希少亜種の98%がこの模様を持つため、P (パターン | 希少性) = 98%となります。一般的な亜種では、この模様を持つ個体はわずか5%です。希少亜種は全個体数の0.1%です。この甲虫がこの模様を持つ可能性はどれくらいでしょうか？P (希少性 | パターン)はいくらでしょうか？

ベイズの定理の拡張形（甲虫はどれも珍しいか普通かのどちらかなので）から、

{\begin{aligned}P({\text{Rare}}\vert {\text{Pattern}})&={\frac {P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})}{P({\text{Pattern}})}}\\[8pt]&={\tfrac {P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})}{P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})+P({\text{Pattern}}\vert {\text{Common}})\,P({\text{Common}})}}\\[8pt]&={\frac {0.98\times 0.001}{0.98\times 0.001+0.05\times 0.999}}\\[8pt]&\approx 1.9\%\end{aligned}}

フォーム

イベント

シンプルなフォーム

事象AとBについては、 P ( B )≠0と仮定し、

P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}.

多くの応用、例えばベイズ推論では、事象Bは議論の中で固定されており、その事象 B が観測されたことが様々な可能性のある事象Aに対する確信にどのような影響を与えるかを検討したいと考えます。このような状況では、最後の式の分母、すなわち与えられた証拠 B の確率は固定されており、変化させたいのはAです。ベイズの定理によれば、事後確率は分子に比例するため、最後の式は次のようになります。

P(A|B)\propto P(A)\cdot P(B|A).

言葉で言えば、事後確率は事前確率と尤度を掛け合わせた値に比例します。このベイズの定理はベイズの定理として知られています。^[24]^{[要ページ]}

事象A ₁、A ₂、…が互いに排他的かつ網羅的である場合、すなわち、そのうちの1つは必ず発生するが、2つが同時に発生することはない場合、それらの確率の合計は必ず1になるという事実を利用して比例定数を決定できる。^[要出典]例えば、ある事象Aについて、事象A自体とその補事象 ¬ Aは排他的かつ網羅的である。比例定数をcとすると、以下の式が得られる。

P(A|B)=c\cdot P(A)\cdot P(B|A){\text{ and }}P(\neg A|B)=c\cdot P(\neg A)\cdot P(B|\neg A).

これら 2 つの式を追加すると、次のようになります。

1=c\cdot (P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\neg A)\cdot P(\neg A)),

または

c={\frac {1}{P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\neg A)\cdot P(\neg A)}}={\frac {1}{P(B)}}.

代替形式

分割表
背景命題	B	⁠ ⁠ $\lnot B$ ( $B$ ではない)	合計
$あ$	$P(B\|A)\cdot P(A)$ $=P(A\|B)\cdot P(B)$	$P(\neg B\|A)\cdot P(A)$ $=P(A\|\neg B)\cdot P(\neg B)$	⁠ ⁠ $P(A)$
⁠ ⁠ $\neg A$ ( $A$ ではない)	$P(B\|\neg A)\cdot P(\neg A)$ $=P(\neg A\|B)\cdot P(B)$	$P(\neg B\|\neg A)\cdot P(\neg A)$ $=P(\neg A\|\neg B)\cdot P(\neg B)$	$P(\neg A)$ ＝ $1-P(A)$

合計	⁠ ⁠ $P(B)$	$P(\neg B)=1-P(B)$	1

2 つの競合するステートメントまたは仮説に対するベイズの定理の別の形式は次のとおりです。

P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}.

認識論的解釈としては、

命題Aと証拠または背景Bについては、^[25]

$P(A)$ は事前確率、つまりAに対する初期の信念度です。
$P(\neg A)$ は、 Aが偽であるというnot-Aの対応する初期信念度であり、 $P(\neg A)=1-P(A)$
$P(B|A)$ 条件付き確率または尤度、つまりAが真である場合にBが信頼される度合いです。
$P(B|\neg A)$ 条件付き確率または尤度、つまりAが偽である場合にBが信じられる度合いです。
$P(A|B)$ は事後確率、つまりBを考慮した後のAの確率です。

拡張形式

標本空間の何らかの分割{ A _j }に対して、事象空間はP ( A _j ) とP ( B | A _j )で与えられることが多い。この場合、全確率法則を用いてP ( B )を計算することが有用である。

$P(B)=\sum _{j}P(B\cap A_{j}),$

あるいは（条件付き確率の乗法則を用いると）^[26]

P(B)={\sum _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})},

\Rightarrow P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})}}\cdot

Aが2値変数である特殊なケースでは、

P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}\cdot

確率変数

既知の確率分布を持つ2つの確率変数XとYによって生成された標本空間Ωを考える。原理的には、ベイズの定理は事象A = { X = x }および事象B = { Y = y }に適用される。

P(X{=}x|Y{=}y)={\frac {P(Y{=}y|X{=}x)P(X{=}x)}{P(Y{=}y)}}

いずれかの変数が有限の確率密度を持つ点では、項は0になる。ベイズの定理は、その有用性を維持するために、関連する確率密度を用いて定式化することができる（導出を参照）。^[要出典]

シンプルなフォーム

Xが連続でYが離散の場合、 ^{[引用が必要]}

f_{X|Y{=}y}(x)={\frac {P(Y{=}y|X{=}x)f_{X}(x)}{P(Y{=}y)}}

ここで、それぞれは密度関数です。 $f$

Xが離散的でYが連続的であれば、

P(X{=}x|Y{=}y)={\frac {f_{Y|X{=}x}(y)P(X{=}x)}{f_{Y}(y)}}.

XとYが連続している場合、

f_{X|Y{=}y}(x)={\frac {f_{Y|X{=}x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.

拡張形式

連続事象空間は、しばしば分子項を用いて概念化される。この場合、全確率法則を用いて分母を消去することが有用である_{。f Y} ( y ) の場合、これは積分となる。^[要出典]

f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y|X=\xi }(y)f_{X}(\xi )\,d\xi .

オッズ形式のベイズの定理

ベイズの定理をオッズ形式で表すと次のようになる：^[要出典]

O(A_{1}:A_{2}\vert B)=O(A_{1}:A_{2})\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}\vert B)

どこ

\Lambda (A_{1}:A_{2}\vert B)={\frac {P(B\vert A_{1})}{P(B\vert A_{2})}}

はベイズ係数または尤度比と呼ばれます。2つの事象間のオッズは、単に2つの事象の確率の比です。つまり、

O(A_{1}:A_{2})={\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}},

O(A_{1}:A_{2}\vert B)={\frac {P(A_{1}\vert B)}{P(A_{2}\vert B)}},

したがって、この規則によれば、事後オッズは事前オッズにベイズ係数を掛けたものである、つまり、事後オッズは事前オッズに尤度を掛けたものに比例する、ということになります。

かつという特殊なケースではと書き、ベイズ因子と条件付きオッズについても同様の略語を用いる。に対するオッズは、定義によりに対するオッズとに対するオッズである。ベイズの定理は、次のように略記できる。 $A_{1}=A$ $A_{2}=\neg A$ $O(A)=O(A:\neg A)=P(A)/(1-P(A))$ $A$ $A$

O(A\vert B)=O(A)\cdot \Lambda (A\vert B),

言い換えれば、事後オッズは、与えられた情報に対する事前オッズと尤度比の積に等しいということです。つまり、事後オッズは事前オッズと尤度比の積に等しいということです。 $A$ $A$ $A$ $B$

例えば、^[要出典]医療検査の感度が90%、特異度が91%の場合、正のベイズ係数はです。さて、この病気の有病率が9.09%で、それを事前確率とすると、事前オッズは約1:10になります。つまり、陽性の検査結果を受け取った後、病気に罹患している事後オッズは1:1になり、病気に罹患している事後確率は50%になります。連続検査で2回目の検査を実施し、これも陽性と判明した場合、病気に罹患している事後オッズは10:1になり、事後確率は約90.91%になります。負のベイズ係数は 91%/(100%-90%)=9.1 と計算できるため、2 回目の検査で陰性が出た場合、病気に罹患している事後オッズは 1:9.1 となり、事後確率は約 9.9% になります。 $\Lambda _{+}=P({\text{True Positive}})/P({\text{False Positive}})=90\%/(100\%-91\%)=10$

上記の例は、より具体的な数字を用いても理解できます。検査を受ける患者は1,000人のグループに属しており、そのうち91人が病気にかかっていると仮定します（有病率9.1%）。1,000人全員が検査を受けると、病気にかかっている人のうち82人が真陽性（感度90.1%）、病気にかかっている人のうち9人が偽陰性（偽陰性率9.9%）、病気にかかっていない人のうち827人が真陰性（特異度91.0%）、病気にかかっていない人のうち82人が偽陽性（偽陽性率9.0%）となります。検査を受ける前、患者が病気にかかっているオッズは91:909です。陽性の結果を受けた後、患者が病気にかかっているオッズは

{\frac {91}{909}}\times {\frac {90.1\%}{9.0\%}}={\frac {91\times 90.1\%}{909\times 9.0\%}}=1:1

これは、1,000 人のグループ内に 82 人の真陽性と 82 人の偽陽性が存在するという事実と一致しています。

一般化

3つの事象に対するベイズの定理

3つの事象に対するベイズの定理のバージョン^[27]は、すべての確率が条件付けられる3番目の事象を追加することによって生じます。 $C$ $P(C)>0,$

P(A\vert B\cap C)={\frac {P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)}{P(B\vert C)}}

これは次のように推論できる。連鎖律を用いると

P(A\cap B\cap C)=P(A\vert B\cap C)\,P(B\vert C)\,P(C)

そして、その一方で

P(A\cap B\cap C)=P(B\cap A\cap C)=P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)\,P(C)

両方の式を識別し、を解くことによって、目的の結果が得られます。 $P(A\vert B\cap C)$

アプリケーション

レクリエーション数学

ベイズの定理と条件付き確率の計算は、三人の囚人問題、モンティ・ホール問題、二人の子供問題、二つの封筒問題など、多くの一般的なパズルを解く方法を提供します。^[要出典]

遺伝学

遺伝学において、ベイズの定理は、ある人が特定の遺伝子型を持つ確率を推定するために用いられます。多くの人が、遺伝性疾患に罹患する可能性や、関心のある劣性遺伝子の保因者である可能性を評価しようとしています。ベイズ分析は、家族歴や遺伝子検査に基づいて行うことで、ある人が疾患を発症するか、あるいは子供に疾患を伝えるかを予測することができます。遺伝子検査と予測は、子供を持つことを計画しているものの、二人とも疾患の保因者である可能性を懸念するカップルの間で一般的であり、特に遺伝的変異の少ない地域では顕著です。^[28]

仮説	仮説1：患者はキャリアである	仮説2: 患者は保菌者ではない
事前確率	1/2	1/2
4人の子孫全員が影響を受けないという条件付き確率	(1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) = 1/16	約1
結合確率	(1/2) ⋅ (1/16) = 1/32	(1/2) ⋅ 1 = 1/2
事後確率	(1/32) / (1/32 + 1/2) = 1/17	(1/2) / (1/32 + 1/2) = 16/17

上記は、ある女性の疾患リスクに関するベイズ分析表の例です。この表は、ある疾患が彼女の兄弟姉妹には存在するものの、両親および4人の子供には存在しないという知識に基づいています。被験者の兄弟姉妹と両親の状況のみに基づくと、彼女が保因者である可能性と非保因者である可能性は等しくなっています（この可能性は事前仮説によって示されています）。被験者の4人の息子全員が罹患しない確率は、彼女が保因者の場合1/16（1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2）、彼女が非保因者の場合約1です（これは条件付き確率です）。結合確率は、これら2つの予測を掛け合わせることで調和させます。最後の行（事後確率）は、各仮説の結合確率を両方の結合確率の合計で割ることで計算されます。^[29]

親の遺伝子検査では、親の既知の疾患アレルの約90%を検出でき、その遺伝子は子供の保因者または罹患状態につながる可能性があります。嚢胞性線維症は、 7番染色体に位置するCFTR遺伝子^[30]の常染色体劣性変異によって引き起こされる遺伝性疾患です。^[31]

嚢胞性線維症（CF）の家族歴があり、検査で陰性であった女性患者のベイズ分析を示します。この分析法を用いて、嚢胞性線維症の子どもが生まれるリスクをどのように判定したかを示しています。患者は嚢胞性線維症に罹患していないため、野生型アレルのホモ接合体、またはヘテロ接合体のいずれかです。事前確率を求めるために、両親ともにCFに罹患していないものの、両親ともに保因者である可能性があるという知見に基づき、パネット方陣が用いられます。

母親父親	W 野生型対立遺伝子のホモ接合体（非保因者）	M ヘテロ接合性（CFキャリア）
W 野生型対立遺伝子のホモ接合体（非保因者）	ワールドワイド	MW
M ヘテロ接合性（CFキャリア）	MW	MM （嚢胞性線維症の影響を受けている）

患者が罹患していないと仮定すると、可能性は3つしかありません。この3つのうち、患者が変異アレルを保有するシナリオは2つあります。したがって、事前確率は2 ⁄ 3と1 ⁄ 3です。

次に、患者は遺伝子検査を受け、嚢胞性線維症の検査結果は陰性です。この検査の検出率は90%であるため、陰性となる条件付き確率はそれぞれ1/10と1です。最後に、前述と同様に結合確率と事後確率を計算します。

仮説	仮説1：患者はキャリアである	仮説2: 患者は保菌者ではない
事前確率	2/3	1/3
陰性検査の条件付き確率	1/10	1
結合確率	1/15	1/3
事後確率	1/6	5/6

患者の男性パートナー（検査結果が陰性）に同じ分析を行った後、その子供が罹患している可能性は、両親が保因者である事後確率と、2 人の保因者から罹患した子供が生まれる可能性（1 ⁄ 4）の積になります。

ベイズ解析は、遺伝性疾患に関連する表現型情報を用いて行うことができます。遺伝子検査と組み合わせると、この解析ははるかに複雑になります。例えば、嚢胞性線維症は、超音波検査でエコー源性腸管（スキャン上で通常よりも明るく見える）を調べることで胎児に発症しているかどうかを特定できます。しかし、エコー源性腸管は完全に健康な胎児にも存在する可能性があるため、これは確実な検査ではありません。このような場合、表現型の側面が確率計算に過度に影響を与える可能性があるため、親の遺伝子検査は非常に大きな影響力を持ちます。エコー源性腸管を有する胎児の場合、母親が検査を受けて嚢胞性線維症のキャリアであることが分かっている場合、胎児が嚢胞性線維症に罹患している事後確率は非常に高くなります（0.64）。しかし、父親が嚢胞性線維症の検査で陰性になると、事後確率は大幅に低下します（0.16）。^[29]

リスク要因の計算は遺伝カウンセリングや生殖計画において強力なツールとなりますが、唯一の重要な要素として扱うことはできません。前述のように、検査が不完全な場合、保因者確率が誤って高く評価される可能性があり、また、親が同伴していない場合、検査が経済的に困難であったり、実施不可能であったりする可能性があります。

参照

ベイズ認識論
帰納的確率
量子ベイズ主義
出版された研究結果のほとんどがなぜ間違っているのか、ジョン・イオアニディスによる2005年のメタサイエンス論文
通常の条件付き確率
ベイズ的説得
ベイジアンネットワーク

注記

^
ラプラスは数十年にわたってベイズの定理を改良した。
- ラプラスはベイズの定理の独自の発見を次の中で発表しました: Laplace (1774) "Mémoire sur la probabilité des Cause par les événements"、"Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de MI (Savants étrangers)"、4 : 621–656。転載場所: Laplace、「Oeuvres complètes」(パリ、フランス: Gauthier-Villars et fils、1841)、vol. 8、27–65ページ。オンラインで入手可能: Gallica。ベイズの定理は p.11 に掲載されています。 29.
- ラプラスはベイズの定理の改良版を以下の中で発表しました: Laplace (読んだ: 1783 / 出版: 1785) "Mémoire sur les quotesimations des formules qui Sont fonctions de très grands nombres"、"Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris"、423–467。転載場所: Laplace、「Oeuvres complètes」(パリ、フランス: Gauthier-Villars et fils、1844)、vol. 10、295〜338ページ。オンラインで入手可能: Gallica。ベイズの定理は 301 ページに記載されています。
- 関連項目: Laplace、「Essai philosophique sur les probabilités」 (パリ、フランス: Mme. Ve. Courcier [Madame veuve (ie, 未亡人) Courcier]、1814 年)、10 ページ。英語翻訳: Pierre Simon, Marquis de Laplace with FWtrustt and FL Emory、翻訳、「A Philosophical Essay on Probabilities」（ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、1902）、p. 15.

参考文献

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参考文献

この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物（ジョン・マルコム・ミッチェル (1911)「リチャード・プライス」）のテキストが含まれています。ヒュー・チザム編著『ブリタニカ百科事典』第22巻（第11版）ケンブリッジ大学出版局、 314～ 315ページ。

さらに読む

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外部リンク

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[3] ラプラスはベイズの定理の改良版を以下の中で発表しました: Laplace (読んだ: 1783 / 出版: 1785) "Mémoire sur les quotesimations des formules qui Sont fonctions de très grands nombres"、"Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris"、423–467。転載場所: Laplace、「Oeuvres complètes」(パリ、フランス: Gauthier-Villars et fils、1844)、vol. 10、295〜338ページ。オンラインで入手可能: Gallica。ベイズの定理は 301 ページに記載されています。

[4] 関連項目: Laplace、「Essai philosophique sur les probabilités」 (パリ、フランス: Mme. Ve. Courcier [Madame veuve (ie, 未亡人) Courcier]、1814 年)、10 ページ。英語翻訳: Pierre Simon, Marquis de Laplace with FWtrustt and FL Emory、翻訳、「A Philosophical Essay on Probabilities」（ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、1902）、p. 15.

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