全確率の法則

Concept in probability theory

確率論において、全確率の法則（または公式）は、周辺確率と条件付き確率を関連付ける基本的な規則です。これは、複数の異なる事象によって実現される結果の全確率を表すため、この名が付けられました。

声明

全確率の法則^[1]は、離散的なケースにおいて、互いに排他的かつ集合的に網羅的な事象の有限または可算無限集合であるとき、任意の事象に対して ${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$$

あるいは、^[1]

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$$

ここで、任意の について、 であれば、 は有限なので、これらの項は単に合計から省略されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(B_{n})=0}$ ${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$

合計は加重平均として解釈することができ、その結果、周辺確率は「平均確率」と呼ばれることもあります。^[2]あまりフォーマルでない文章では「全体確率」が使用されることもあります。^[3] ${\displaystyle P(A)}$

全確率の法則は条件付き確率に対しても次のように述べることができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({A\mid C})&={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}\\[2ex]&={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}\\[2ex]&=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})\end{aligned}}}$$

を上記のようにとり、が のいずれからも独立したイベントであると仮定します。 ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{n}}$

$${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$$

連続ケース

全確率の法則は、連続確率変数によって生成される事象を条件付ける場合にも適用されます。 を確率空間とします。を分布関数 を持つ確率変数とし、上の事象を仮定します。このとき、全確率の法則は次のように 示します。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$$

が密度関数を許容する場合、結果は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

さらに、 （ただしはボレル集合 ）の特定のケースでは、次の式が得られる。 ${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

例

2つの工場が市場に電球を供給しているとします。X工場の電球は99%の確率で5000時間以上点灯しますが、Y工場の電球は95%の確率で5000時間以上点灯します。X工場は供給可能な電球全体の60%を、Y工場は40%を供給していることが分かっています。購入した電球が5000時間以上点灯する確率はどれくらいでしょうか？

全確率の法則を適用すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$$

どこ

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$購入した電球が工場Xで製造された確率です。
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$購入した電球が工場Yで製造された確率。
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$X社が製造した電球が 5000 時間以上動作する確率です。
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$Y社が製造した電球が5000時間以上点灯する確率です。

したがって、購入した電球はそれぞれ 5000 時間以上動作する確率が 97.4% になります。

その他の名前

全確率の法則という用語は、離散確率変数に適用される全確率の法則の特殊なケースである選択肢の法則を意味すると解釈されることがあります。^[要出典]ある著者は「平均条件付き確率の法則」という用語を使用し、^[4]別の著者は連続の場合の「連続選択肢の法則」と呼んでいます。^{[5]この結果は、グリメットとウェルシュ[6]によって}分割定理 として示されており、彼らは関連する全期待値の法則にもこの名前を与えています。

参照

• 大数の法則
• 総期待値の法則
• 全分散の法則
• 全共分散の法則
• 全積分の法則
• 周辺分布

注記

1. Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC標準確率と統計表と公式、CRC Press。ISBN 1-58488-059-731ページ。
2. ポール・E・ファイファー (1978). 確率論の概念. クーリエ・ドーバー出版. pp.  47– 48. ISBN 978-0-486-63677-1。
3. デボラ・ラムゼイ(2006). 『確率入門』 For Dummies. p. 58. ISBN 978-0-471-75141-0。
4. ジム・ピットマン (1993). 確率. シュプリンガー. p. 41. ISBN 0-387-97974-3。
5. ケネス・バクラフスキー (2008). R. による確率入門. CRC Press. p. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3。
6. 確率：入門、ジェフリー・グリメットとドミニク・ウェルシュ著、オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ、1986年、定理1B。

参考文献

• Robert J. Beaver、Barbara M. Beaver 著『確率と統計入門』 Thomson Brooks/Cole、2005 年、159 ページ。
• 統計理論、Mark J. Schervish著、Springer、1995年。
• Schaum's Outline of Probability、第2版、John J. Schiller、Seymour Lipschutz著、McGraw-Hill Professional、2010年、89ページ。
• 『確率モデル入門』、HC Tijms 著、John Wiley and Sons、2003 年、431 ～ 432 ページ。
• 『確率論中級コース』、アラン・ガット著、Springer、1995年、5～6ページ。

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