Type of analog linear filter in electronics
電子工学 と 信号処理 において 、 ベッセルフィルタ は、通過帯域内のフィルタリングされた信号の波形を維持する、 最大限平坦な 群遅延 （すなわち、最大限線形な 位相応答）を持つアナログ 線形フィルタ の一種である。 [1]ベッセルフィルタは、 オーディオクロスオーバー システム でよく使用される。
このフィルタの名前は、このフィルタの基礎となる数学理論を考案したドイツの数学者 フリードリヒ・ベッセル （1784–1846）に由来しています。また、このフィルタは、 1949年に ベッセル関数を フィルタ設計に適用する方法を考案したW・E・トムソンにちなんで、 ベッセル・トムソンフィルタとも呼ばれています。 [2]
ベッセルフィルタは ガウスフィルタ と非常に類似しており、フィルタ次数が増加するにつれて同じ形状に近づく傾向があります。 [3] [4] ガウスフィルタの 時間領域 ステップ応答では オーバーシュート はゼロですが、 [5] ベッセルフィルタにはわずかなオーバーシュートがありますが、 [6] [7] それでも、バターワースフィルタなどの他の一般的な周波数領域フィルタに比べるとはるかに小さいです。ベッセル・トムソンフィルタのインパルス応答は、フィルタ次数が増加するにつれてガウス分布に近づくことが指摘されています。 [3]
ガウスフィルタの有限次近似と比較すると、ベッセルフィルタは、同じ次数のガウスフィルタよりもわずかに優れたシェーピング係数（つまり、特定のフィルタが理想的なローパス応答にどれだけ近似しているか）、より平坦な 位相遅延 、およびより平坦な グループ遅延を 備えていますが、ガウスフィルタはより低い時間遅延とゼロオーバーシュートを備えています。 [8]
伝達関数 4次ローパスベッセルフィルタのゲインと群遅延のグラフ。通過帯域から阻止帯域への遷移は他のフィルタよりもはるかに遅いものの、群遅延は通過帯域内で実質的に一定であることに注意してください。ベッセルフィルタは、ゼロ周波数において群遅延曲線の平坦性を最大化します。 ベッセル ローパスフィルタは、その 伝達関数 によって特徴付けられる ： [9]
H ( s ) = θ n ( 0 ) θ n ( s / ω 0 ) {\displaystyle H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,} ここで、 は フィルタの名前の由来となった 逆 ベッセル多項式 であり、は所望のカットオフ周波数を与えるために選択された周波数です。このフィルタの低周波群遅延は です 。 は逆ベッセル多項式の定義により不定ですが、 は除去可能な特異点であるため 、 と定義されます 。 θ n ( s ) {\displaystyle \theta _{n}(s)} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 1 / ω 0 {\displaystyle 1/\omega _{0}} θ n ( 0 ) {\displaystyle \theta _{n}(0)} θ n ( 0 ) = lim x → 0 θ n ( x ) {\displaystyle \theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)}
ベッセル多項式 3 次ベッセル多項式の根は、 平面 内のフィルタ伝達関数の 極 であり、ここでは十字としてプロットされています。 s {\displaystyle s} ベッセル フィルタの伝達関数は 、次のような 逆 ベッセル多項式を分母とする 有理関数です。
n = 1 : s + 1 {\displaystyle n=1:\quad s+1} n = 2 : s 2 + 3 s + 3 {\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3} n = 3 : s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15 {\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15} n = 4 : s 4 + 10 s 3 + 45 s 2 + 105 s + 105 {\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105} n = 5 : s 5 + 15 s 4 + 105 s 3 + 420 s 2 + 945 s + 945 {\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945} 逆ベッセル多項式は次のように与えられる: [9]
θ n ( s ) = ∑ k = 0 n a k s k , {\displaystyle \theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},} どこ
a k = ( 2 n − k ) ! 2 n − k k ! ( n − k ) ! k = 0 , 1 , … , n . {\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}
カットオフ減衰の設定 ベッセルフィルタには標準的な減衰値はありません。 [8] しかし、-3.0103 dB が一般的な選択肢です。アプリケーションによっては、-1 dB や -20 dB など、より高い減衰値やより低い減衰値が使用される場合があります。カットオフ減衰周波数を設定するには、まず目的の減衰量を達成する周波数（ ）を見つけ 、次に 多項式をその周波数の逆数にスケーリングします。多項式をスケーリングするには、 以下の3極ベッセルフィルタの例に示すように、各係数の項 に を追加するだけです。 ω c {\displaystyle \omega _{c}} H ( s ) {\displaystyle H(s)} ω c {\displaystyle \omega _{c}} s {\displaystyle s}
H ( s ) = 15 s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15 H ( s ) ′ = H ( s ) desired dB at ω = 1 = 15 ( ω c s ) 3 + 6 ( ω c s ) 2 + 15 ω c s + 15 {\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{\text{desired dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}\\\end{aligned}}}
ω c {\displaystyle \omega _{c}} ニュートン法 、または 根を求める ことで求めることができます 。
ニュートン法による減衰周波数の求め方 ニュートン法では、 の既知の振幅値と微分振幅値が必要です 。しかし、 望ましいカットオフゲインの2乗を用いて演算する方が簡単で、精度も同様に優れているため、2乗項を使用します。 | H ( j ω c ) | {\displaystyle |H(j\omega _{c})|} | H ( j ω c ) H ( − j ω c ) | {\displaystyle |H(j\omega _{c})H(-j\omega _{c})|}
を取得するには 、以下の手順に従ってください。 ω c {\displaystyle \omega _{c}}
がまだ利用できない 場合は、 を掛け て を取得します 。 H ( s ) H ( − s ) {\displaystyle H(s)H(-s)} H ( s ) {\displaystyle H(s)} H ( − s ) {\displaystyle H(-s)} H ( s ) H ( − s ) {\displaystyle H(s)H(-s)} が で割り切れる 場合 、 のすべての項を反転します 。つまり 、 、 、 などとなります。修正された関数は と呼ばれ 、この修正により、多項式とその導関数を評価する際に、複素数ではなく実数を使用できるようになります。 これで、複素数の代わりに実数が使用できるようになります。 s n {\displaystyle s^{n}} ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} 4 {\displaystyle 4} s 2 {\displaystyle s^{2}} s 6 {\displaystyle s^{6}} s 10 {\displaystyle s^{10}} H 2 ( s ) H 2 ( − s ) {\displaystyle H_{2}(s)H_{2}(-s)} ω a {\displaystyle \omega _{a}} j ω a {\displaystyle j\omega _{a}} を用いて、 dB単位の所望の減衰量 を 二乗算術ゲイン値 に変換します 。例えば、3.010 dBは0.5に、1 dBは0.79432823に変換されます。 A d B {\displaystyle A_{dB}} B a r i t h 2 {\displaystyle B_{arith}^{2}} B a r i t h 2 = 10 A d B / 10 {\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}} 実数値 を用いてニュートン法で 修正 を計算します 。常に絶対値を取ります。 | H 2 ( s ) H 2 ( − s ) | {\displaystyle |H_{2}(s)H_{2}(-s)|} ω a {\displaystyle \omega _{a}} 実数値 に関して 修正された導関数を計算します 。導関数の絶対値は取らないでください。 H 2 ( ω a ) H 2 ( − ω a ) {\displaystyle H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})} ω a {\displaystyle \omega _{a}} 手順 1) から 4) が完了すると、ニュートン法を含む式は次のように表すことができます。
ω a = ω a − ( | H 2 ( ω a ) H 2 ( − ω a ) | − B 2 ) / ( d [ H 2 ( ω a ) H 2 ( − ω a ) ] / d ω a ) {\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}
複雑な演算を必要とせず、実数値を用いて を計算 できます。信頼性を高めるため、反復計算の初期段階で の動き が負にならないように制限する必要があります。完了すると、 を に使用して、 元の伝達関数の分母をスケーリングできます 。修正された の減衰量は 、1 rad/sec でほぼ正確な目標値になります。適切に実行すれば、小次フィルタと非常に大次フィルタの両方において、広範囲にわたる目標減衰値を設定するのに数回の反復計算で済みます。 ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω c {\displaystyle \omega _{c}} H ( s ) {\displaystyle H(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)}
根から減衰周波数を見つける には位相情報が含まれていない ため、伝達関数を直接因数分解しても有用な結果は得られません。しかし、伝達関数を で 乗じて の奇数乗をすべて消去することで修正できます 。これにより、 は すべての周波数において実数となり、その後、目的の注目度の2乗となる周波数を求めることができます。 | H ( j ω a ) | {\displaystyle |H(j\omega _{a})|} H ( − s ) {\displaystyle H(-s)} H ( j ω a ) {\displaystyle H(j\omega _{a})} H ( j ω a ) {\displaystyle H(j\omega _{a})}
がまだ利用できない 場合は、 を掛け て を取得します 。 H ( s ) H ( − s ) {\displaystyle H(s)H(-s)} H ( s ) {\displaystyle H(s)} H ( − s ) {\displaystyle H(-s)} H ( s ) H ( − s ) {\displaystyle H(s)H(-s)} を用いて、 dB単位の所望の減衰量 を 二乗算術ゲイン値 に変換します 。例えば、3.010 dBは0.5に、1 dBは0.79432823に変換されます。 A d B {\displaystyle A_{dB}} B a r i t h 2 {\displaystyle B_{arith}^{2}} B a r i t h 2 = 10 A d B / 10 {\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}} 探す P ( S ) = H n u m ( S ) H n u m ( − S ) − B a r i t h 2 H d e n ( S ) H d e n ( − S ) {\displaystyle P(S)=H_{num}(S)H_{num}(-S)-B_{arith}^{2}H_{den}(S)H_{den}(-S)} 根を求めるアルゴリズムを使用して P(S) の根を求めます 。 上記の根のセットのうち、奇数次フィルターの場合は正の虚数根を選択し、偶数次フィルターの場合は正の実数根を選択します。 通過帯域リップルを超える、または停止帯域リップルを下回るカットオフ減衰は複数のルートで返されるため、正しいルートを選択する必要があります。
ルート探索による簡単なカットオフ周波数の例 以下の 3 極ベッセルの例を使用した 20 dB のカットオフ周波数減衰の例は、次のように設定されます。
H ( s ) = 15 s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15 (from the example below) B a r i t h 2 = 10 20 / 10 = 0.01 (the arithmetic gain squared) Find H ( s ) ′ such that | H ( s ) ′ | = − 20 dB at ω = 1 . H ( s ) H ( − s ) = 225 − s 6 + 6 s 4 − 45 2 s + 225 P ( s ) = 225 − B a r i t h 2 ( − s 6 + 6 s 4 − 45 2 s + 225 ) = 0.01 s 6 − 0.06 s 4 + 0.45 s 2 + 222.75 (polynomial to be factored) R = j 5.0771344 (the positive imaginary root for the above polynomial) For even order filters, use the positive real root. ω − 20 dB atten = ω c = 5.0771344 rad/sec (20 dB attenuation frequency) H ( s ) ′ = H ( s ) A = 20 dB at ω = 1 = 15 ( 5.0771344 3 ) s 3 + ( 6 × 5.0771344 2 ) s 2 + ( 15 × 5.0771344 ) s + 15 = 15 130.87478 s 3 + 154.66376 s 2 + 76.157016 s + 15 Check: | H ( j ) ′ | = | 15 130.87478 j 3 + 154.66376 j 2 + 76.157016 j + 15 | = 0.1 = − 20 dB Gain {\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{\text{Find }}H(s)'{\text{ such that }}|H(s)'|=-20{\text{ dB at }}\omega =1{\text{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{\text{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{\text{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{\text{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{\text{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB Gain}}\end{aligned}}}
例 正規化された周波数に対する 3 次ベッセル ローパス フィルタのゲイン プロット。 3 次ベッセル ローパス フィルタのグループ遅延プロット。通過帯域内の平坦な単位遅延を示しています。 3次（3極）ベッセル ローパスフィルタ の伝達関数は 、 ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1}
H ( s ) = 15 s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15 , {\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},} ここで、分子は、ゼロ周波数（ ）でユニティゲインを与えるように選択されています。分母多項式の根、つまりフィルタの極には、 の実数極 と、上にプロットされた の 複素共役極 のペアが含まれます 。 s = 0 {\displaystyle s=0} s = − 2.3222 {\displaystyle s=-2.3222} s = − 1.8389 ± j 1.7544 {\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}
すると利益は
G ( ω ) = | H ( j ω ) | = 15 ω 6 + 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225 . {\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,} −3 dBポイントは で 発生します 。これは通常、カットオフ周波数と呼ばれます。 | H ( j ω ) | = 1 2 , {\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,} ω = 1.756 {\displaystyle \omega =1.756}
位相は
ϕ ( ω ) = − arg ( H ( j ω ) ) = arctan ( 15 ω − ω 3 15 − 6 ω 2 ) . {\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).\,} 群遅延 は
D ( ω ) = − d ϕ d ω = 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225 ω 6 + 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225 . {\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,} 群遅延の テイラー 展開は
D ( ω ) = 1 − ω 6 225 + ω 8 1125 + ⋯ . {\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .} および の 2 つの項が ゼロであるため、 で非常に平坦な群遅延が生じることに注意してください 。3 次ベッセル多項式には合計 4 つの係数があり、定義するには 4 つの方程式が必要となるため、ゼロに設定できる項の最大数となります。1 つの方程式は でゲインが 1 になるように指定し、2 番目の方程式 は でゲインが 0 になるように 指定するため、残りの 2 つの方程式で級数展開の 2 つの項をゼロに指定します。これは、 次ベッセル フィルタの群遅延の一般的な特性です 。群遅延の級数展開の最初の 項は 0 になるため、 での群遅延の平坦性が最大化されます 。 ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} ω 4 {\displaystyle \omega ^{4}} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = ∞ {\displaystyle \omega =\infty } n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} ω = 0 {\displaystyle \omega =0}
デジタル 双線形変換は 連続時間（アナログ）フィルタを 同等の 周波数応答を持つ離散時間（デジタル） 無限インパルス応答 （IIR）フィルタに変換するために使用されますが 、双線形変換によって得られるIIRフィルタは一定のグループ遅延を持ちません。 [10] ベッセルフィルタの重要な特性は最大限平坦なグループ遅延であるため、双線形変換はアナログベッセルフィルタをデジタル形式に変換するのには適していません。
デジタル的に同等のものはThiranフィルタであり、これも最大限平坦な群遅延を持つ全極ローパスフィルタである [11] [12] 。これはまた、分数遅延を実現するためにオールパスフィルタに変換することもできる。 [13] [14]
参照
参考文献 ^ “Bessel Filter”. 2013年. 2013年1月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年5月14日 閲覧 。 ^ Thomson, WE (1949年11月). 「最大限に平坦な周波数特性を持つ遅延ネットワーク」 (PDF) . Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering . 96 (44): 487– 490. doi :10.1049/pi-3.1949.0101. ^ ab Roberts, Stephen (2001). 「過渡応答と変換：3.1 ベッセル・トムソンフィルタ」 （PDF） . ^ "comp.dsp | IIRガウス遷移フィルタ". www.dsprelated.com . 2022年5月14日 閲覧。 ^ 「ガウスフィルタ」 www.nuhertz.com . 2020年1月11日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2022年5月14日 閲覧。 ^ 「フィルターの選び方（バターワース、チェビシェフ、逆チェビシェフ、ベッセル・トムソン）」 www.etc.tuiasi.ro . 2022年5月14日 閲覧 。 ^ 「無料アナログフィルタープログラム」 www.kecktaylor.com . 2022年5月14日 閲覧 。 ^ ab Paarmann, Larry D. (2001). アナログフィルタの設計と解析：信号処理の観点. ノーウェル、マサチューセッツ州、米国: Kluwer Academic Publishers. p. 224. ISBN 0-7923-7373-1 。 ^ ab Bianchi, Giovanni; Sorrentino, Roberto (2007). 電子フィルタのシミュレーションと設計. McGraw-Hill Professional. pp. 31– 43. ISBN 978-0-07-149467-0 。 ^ Zhang, Xi (2008-07-01). 「平坦な群遅延応答を持つ最大平坦IIRフィルタの設計」 . 信号処理 . 88 (7): 1792– 1800. doi :10.1016/j.sigpro.2008.01.016. ISSN 0165-1684. ^ Thiran, J.-P. (1971). 「最大平坦群遅延を持つ再帰デジタルフィルタ」. IEEE Transactions on Circuit Theory . 18 (6): 659– 664. doi :10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN 0018-9324. ^ Madisetti, Vijay (1997). 「セクション11.3.2.2 古典的IIRフィルタの種類」. デジタル信号処理ハンドブック. CRC Press. p. 11-32. ISBN 9780849385728 。 ^ Smith III, Julius O. (2015年5月22日). 「Thiran Allpass Interpolators」. W3K Publishing . 2022年5月14日 閲覧 。 ^ Välimäki, Vesa (1995). 非整数遅延フィルタを用いた音響管の離散時間モデリング (PDF) (論文). ヘルシンキ工科大学.
外部リンク ベッセルフィルタと線形位相フィルタ — Nuhertz ベッセルフィルタ定数 — CR Bond ベッセルフィルタの多項式、極、回路要素 — CR Bond ベッセルフィルタの極を計算するJavaソースコード 
![{\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94576af0ea5e6fbc406fce0466d1c22b92000284)
