ベータ負二項分布

Compound probability distribution

ベータ負二項分布
パラメータ	${\displaystyle \alpha >0}$ shape (実数) shape (実数) — 実験が停止されるまでの成功回数（整数だが実数に拡張可能） ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle r>0}$
サポート	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{if}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{if}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
歪度	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(2r+\alpha -1)(2\beta +\alpha -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{if}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$
MGF	存在しない
CF	${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\beta ,r;\alpha +\beta +r;e^{it}){\frac {(\alpha )^{(r)}}{(\alpha +\beta )^{(r)}}}\!}$ここではポッホハマー記号、は超幾何関数です。 ${\displaystyle (x)^{(r)}={\frac {\Gamma (x+r)}{\Gamma (x)}}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$
PGF	${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\beta ,r;\alpha +\beta +r;z){\frac {(\alpha )^{(r)}}{(\alpha +\beta )^{(r)}}}}$

確率論において、ベータ負二項分布は、一連の独立したベルヌーイ試行において成功を得るために必要な失敗回数に等しい離散確率変数の確率分布である。各試行における成功確率は、ある特定の実験内では一定であるが、異なる実験間ではベータ分布に従って変化する。したがって、この分布は複合確率分布である。   ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

この分布は、逆マルコフ・ポリア分布や一般化ワーリング分布^[1]とも呼ばれ、あるいは単にBNB分布と略されることもあります。この分布のシフト型はベータ・パスカル分布^[1]と呼ばれています。

ベータ分布のパラメータがおよびであり、 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

どこ

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

の周辺分布（つまり事後予測分布）はベータ負二項分布です。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

上記において、は負の二項分布であり、はベータ分布です。 ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$ ${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$

定義と導出

負の二項分布とベータ分布の密度をそれぞれ表すと、 周辺化によってBNB分布のPMFが得られます。 ${\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k|\alpha ,\beta ,r)\;=&\;\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q\\=&\;\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q\\=&\;{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q\end{aligned}}}$

積分は次のように評価されることに注意してください。

${\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}$

比較的簡単な操作で次の式を導き出すことができます。

が整数の場合、PMF はベータ関数で表すことができます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$。

より一般的には、PMFは次のように記述できる。

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

または

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$。

ガンマ線で表現されたPMF

ベータ関数の特性を利用すると、整数の PMF は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$。

より一般的には、PMFは次のように表される。

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$。

PMFはポチャメルのシンボルで表現されている

PMFは整数を表すポチャマー記号で表されることが多い。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}$

プロパティ

階乗モーメント

ベータ負二項確率変数Xのk階乗モーメントは次のように定義され 、この場合は ${\displaystyle k<\alpha }$

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{k}{\bigr ]}={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}.}$

識別不能

ベータ負二項分布は識別不可能であり、これは上記の密度関数または特性関数においてとを入れ替えるだけで容易に確認でき、は変化しないことがわかります。したがって、推定には、 、またはその両方に制約条件を課す必要があります。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

他の分布との関係

ベータ負二項分布は、 または の場合にはベータ幾何分布を特別なケースとして含みます。したがって、この分布は幾何分布を任意によく近似できます。また、 が大きい場合には、負二項分布を任意によく近似できます。したがって、 が大きい場合には、ポアソン分布を任意によく近似できます。 ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$

重い尾

スターリングのベータ関数近似により、大きな ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}$

これは、ベータ負二項分布が重裾分布であり、それ以下のモーメントが存在しないことを意味します。 ${\displaystyle \alpha }$

ベータ幾何分布

ベータ幾何分布は、ベータ負二項分布の重要な特殊ケースであり、 に対して生じる。この場合、pmfは次のように簡略化される。 ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$。

この分布は、一部のBuy Till you Die (BTYD) モデルで使用されます。

さらに、ベータ幾何分布がユール・サイモン分布に帰着するとき、ユール・サイモン分布 となります。しかし、ユール・サイモン分布はベータ幾何分布のシフト版で定義する方が一般的です。特に、 のとき、 となります。 ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$

Pólya 壺モデルとしてのベータ負の二項分布

3 つのパラメータとが正の整数の場合、ベータ負二項式は壷モデル、より具体的には基本的なポリア壷モデルによっても動機付けられます。最初に赤いボール（停止色）と青いボールが入っている壷を考えてみましょう。モデルの各ステップで、壷からボールがランダムに 1 つ取り出され、同じ色のボールが 1 つ追加されて戻されます。このプロセスは、赤いボールが取り出されるまで何度も繰り返されます。観測された青いボールの取り出しのランダム変数は、a に従って分布します。実験の最後に、壷には常に固定数の赤いボールが含まれており、ランダムな数の青いボールが含まれていることに注意してください。 ${\displaystyle r,\alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle r+\alpha }$ ${\displaystyle X+\beta }$

識別不可能な性質により、最初に赤いボール（停止色）と青いボールが入った壺を生成し、赤いボールが観察されたときに停止させることができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \beta }$

参照

• 負の二項分布
• ディリクレ負多項分布

注記

1. ジョンソンら (1993)

参考文献

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993) Univariate Discrete Distributions , 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 （セクション6.2.3）
• ケンプ, CD; ケンプ, AW (1956)「一般化超幾何分布」、王立統計学会誌、シリーズB、18、202–211
• 王兆良（2011）「一つの混合負二項分布とその応用」、統計計画推論ジャーナル、141（3）、1153-1160 doi：10.1016/j.jspi.2010.09.020

外部リンク

• インタラクティブグラフィック: 単変量分布関係

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