曲率形式

Term in differential geometry

微分幾何学において、曲率形式は主束上の接続の曲率を記述する。リーマン幾何学におけるリーマン曲率テンソルは特別な場合とみなすことができる。

意味

G をリー代数 を持つリー群とし、P → Bを主G束とする。 ω をP上のエーレスマン接続（これはP上の値1-形式）とする。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

すると、曲率形式はP上の -値2-形式となり、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

（別の慣例では、1/2は現れない。）ここで は外微分を表し、は「リー代数値形式」の項で定義され、 Dは外共変微分を表す。言い換えると、^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

ここで、 X、YはPの接線ベクトルです。

Ωには別の表現もある。X 、YがP上の水平ベクトル場であるとき、^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

ここで、hZ はZの水平成分を意味し、右側では垂直ベクトル場とそれを生成するリー代数要素 (基本ベクトル場) を特定し、外微分に対する式で慣例的に使用される正規化係数の逆数です。 ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

接続の曲率がゼロ (Ω = 0) の場合、その接続は平坦であると言われます。同様に、構造グループを同じ基礎グループに縮小できるが離散トポロジを持つ場合も、接続は平坦です。

ベクトル束における曲率形式

E → Bがベクトル束である場合、ω を 1 形式の行列として考えることもでき、上記の式は E. Cartan の構造方程式になります。

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

ここではウェッジ積である。より正確には、と がそれぞれ ω と Ω の成分を表す場合（したがって、それぞれが通常の1次元形式であり、それぞれが通常の2次元形式である）、 ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

例えば、リーマン多様体の接束の場合、構造群はO( n )であり、ΩはO( n )のリー代数、すなわち反対称行列に値を持つ2次元形式である。この場合、形式Ωは曲率テンソルの別の記述であり、すなわち

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

リーマン曲率テンソルの標準的な表記法を使用します。

ビアンキのアイデンティティ

がフレームバンドル上の標準ベクトル値1形式である場合、接続形式のねじれは構造方程式によって定義されるベクトル値2形式である。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

ここで、上記のようにDは外共変微分を表します。

最初のビアンキの恒等式は次のようになる。

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

ビアンキの2番目の恒等式は次のようになる。

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

そして、主バンドル内の任意の接続に対してより一般的に有効です。

ビアンキ恒等式はテンソル表記で次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

縮約されたビアンキ恒等式は、一般相対性理論の重要な要素であるアインシュタイン場の方程式におけるアインシュタインテンソルを導くために使用されます。^{[説明が必要]}

注記

1. であるからである。ここでも、ある形式の外微分に対して小林の慣例を用いる。これは ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ ${\displaystyle \sigma =2}$ ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. 証明: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

参考文献

• 小林昭七・野水勝美(1963) 『微分幾何学の基礎』第1巻、第2.5章「曲率形式と構造方程式」p 75、Wiley Interscience。

参照

• 接続（主バンドル）
• 曲がった時空の数学の基礎入門
• 短縮されたビアンキのアイデンティティ
• アインシュタインテンソル
• アインシュタイン場の方程式
• 一般相対性理論
• チャーン・サイモンズ形式
• リーマン多様体の曲率
• ゲージ理論

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