Mathematical operation with two operands
二項演算は、引数を組み合わせ て 結果を生成する 規則です。 ∘ {\displaystyle \circ } x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} x ∘ y {\displaystyle x\circ y} 数学 において 、 二項演算（ にんべんそう）または二項 演算（にんべんそう）とは、2つの 要素 （ オペランド と呼ばれる）を組み合わせて別の要素を生成する規則です 。より正式には、二項演算は2つの 要素 を持つ 演算 です。
より具体的には、 集合 の 二項演算 とは、集合の要素のあらゆる ペア をその集合の要素のいずれかに写像する 二項関数 です。例としては、 加算 、 減算 、 乗算といった馴染みのある 算術演算 や、和、補数、積といった集合演算が挙げられます。他にも、 ベクトルの加算 、 行列の乗算 、 群の共役 など、数学の様々な分野で容易に例を見つけることができます 。
複数の集合を含む二項関数は、 二項演算 とも呼ばれます。例えば、 ベクトル空間 の スカラー乗算 では、スカラーとベクトルからベクトルが生成され、 スカラー積 では、 2つのベクトルからスカラーが生成されます。
二項演算は代数学 、特に 半群 、 モノイド 、 群 、 環 、 体 、 ベクトル空間 で研究されるほとんどの 構造 の要です 。
用語 より正確には、集合上 の二項演算は、 直積の 要素を次 のように 写像するもの である ： [1] [2] [3] S {\displaystyle S} S × S {\displaystyle S\times S} S {\displaystyle S}
f : S × S → S . {\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.} が関数 ではなく 部分関数 である 場合 、は 部分二項演算 と呼ばれる 。例えば、すべての 実数 の集合に対する割り算は部分二項演算である。なぜなら 、 ゼロで割ること はできないからである。はすべての実数 に対して未定義である。 モデル理論 と古典的な 普遍代数 の両方において 、二項演算は のすべての元に対して定義されている必要がある 。しかし、 部分代数 [4]は 普遍代数 を一般化し 、部分演算を可能にする。 f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} a 0 {\displaystyle {\frac {a}{0}}} a {\displaystyle a} S × S {\displaystyle S\times S}
特に コンピューター サイエンスの分野では、 バイナリ関数 に対してバイナリ演算という用語が使用されることがあります 。
プロパティと例 二項演算の典型的な例としては、 数値 や 行列の 加算 （ ）と 乗算 （ ） 、そして単一集合上の 関数の合成が 挙げられる。例えば、 + {\displaystyle +} × {\displaystyle \times }
実数の集合では 、 2 つの実数の和は実数なので、 は二項演算です。 R {\displaystyle \mathbb {R} } f ( a , b ) = a + b {\displaystyle f(a,b)=a+b} 自然数全体の集合において 、 2つの自然数の和は自然数となるため、これは二項演算です。これは、集合が異なるため、前の二項演算とは異なります。 N {\displaystyle \mathbb {N} } f ( a , b ) = a + b {\displaystyle f(a,b)=a+b} 実数要素を持つ行列 の 集合では、 そのような 2 つの行列の合計が 行列であるため、 は二項演算です。 M ( 2 , R ) {\displaystyle M(2,\mathbb {R} )} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} f ( A , B ) = A + B {\displaystyle f(A,B)=A+B} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 実数要素を持つ行列 の 集合では、 そのような 2 つの行列の積は 行列であるため、 は二項演算です。 M ( 2 , R ) {\displaystyle M(2,\mathbb {R} )} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} f ( A , B ) = A B {\displaystyle f(A,B)=AB} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 与えられた集合 に対して 、 を すべての関数 の集合とします 。の すべての に対して、 と の 合成をで定義します 。すると、の2つの関数の合成は再び集合 上の関数 （つまり の要素 ） となるため、 は二項演算となります。 C {\displaystyle C} S {\displaystyle S} h : C → C {\displaystyle h\colon C\rightarrow C} f : S × S → S {\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S} f ( h 1 , h 2 ) ( c ) = ( h 1 ∘ h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c ) ) {\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))} c ∈ C {\displaystyle c\in C} h 1 {\displaystyle h_{1}} h 2 {\displaystyle h_{2}} S {\displaystyle S} f {\displaystyle f} C {\displaystyle C} S {\displaystyle S} 代数学と形式論理の両方で重要な多くの二項演算は、 のすべての要素 と に対して を満たす 可換法則 、または の すべての要素 、、 およびに対して を満たす 結合法則です。また、多くの二項演算には 単位元 と 逆元が あります 。 f ( a , b ) = f ( b , a ) {\displaystyle f(a,b)=f(b,a)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} S {\displaystyle S} f ( f ( a , b ) , c ) = f ( a , f ( b , c ) ) {\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} S {\displaystyle S}
上記の最初の 3 つの例は交換可能であり、上記の例はすべて結合可能です。
実数 の集合 において 、 減算 、すなわち は 二項演算であるが、これは一般に であるため可換ではない 。また、これは一般に であるため結合法則にも反する。 例えば であるが、 である 。 R {\displaystyle \mathbb {R} } f ( a , b ) = a − b {\displaystyle f(a,b)=a-b} a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a − ( b − c ) ≠ ( a − b ) − c {\displaystyle a-(b-c)\neq (a-b)-c} 1 − ( 2 − 3 ) = 2 {\displaystyle 1-(2-3)=2} ( 1 − 2 ) − 3 = − 4 {\displaystyle (1-2)-3=-4}
自然数 の集合上では 、二項べき乗 演算 は 、 （ 方程式 x y = y x を参照） なので可換ではなく、 なので結合法則も成り立ちません 。例えば、 、 、 の場合、 となりますが 、 となります 。集合を 整数 の集合に変更すると 、この二項演算は部分二項演算になります。これは、 および が 任意の負の整数のときに未定義になるためです。どちらの集合でも、この演算はの すべての に対してとなるため、 正しい恒等式 （ ）を持ちます。これは一般に となるため、 恒等式 （両側恒等式）では ありません 。 N {\displaystyle \mathbb {N} } f ( a , b ) = a b {\displaystyle f(a,b)=a^{b}} a b ≠ b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} f ( f ( a , b ) , c ) ≠ f ( a , f ( b , c ) ) {\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))} a = 2 {\displaystyle a=2} b = 3 {\displaystyle b=3} c = 2 {\displaystyle c=2} f ( 2 3 , 2 ) = f ( 8 , 2 ) = 8 2 = 64 {\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64} f ( 2 , 3 2 ) = f ( 2 , 9 ) = 2 9 = 512 {\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512} N {\displaystyle \mathbb {N} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } a = 0 {\displaystyle a=0} b {\displaystyle b} 1 {\displaystyle 1} f ( a , 1 ) = a {\displaystyle f(a,1)=a} a {\displaystyle a} f ( 1 , b ) ≠ b {\displaystyle f(1,b)\neq b}
実数または有理数の集合に対する部分二項演算である 除算 （ ）は、可換法も結合法も適用されません。自然数に対する二項演算である テトレーション （ ）は、可換法も結合法も適用されず、単位元も持ちません。 ÷ {\displaystyle \div } ↑↑ {\displaystyle \uparrow \uparrow }
表記 二項演算は、 関数記法 ではなく 、 、 、 （記号を使わずに 並べる ） などの 中置記法で記述されることが多いです。べき乗も通常は演算子を使わず、2番目の引数を 上付き文字 として記述します 。 a ∗ b {\displaystyle a\ast b} a + b {\displaystyle a+b} a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} a b {\displaystyle ab} f ( a , b ) {\displaystyle f(a,b)}
二項演算は、前置記法または（より一般的には）後置記法で記述されることがあります。どちらも括弧を省略します。これらはそれぞれ、 ポーランド記法 および 逆ポーランド記法 とも呼ばれます。 ∗ a b {\displaystyle \ast ab} a b ∗ {\displaystyle ab\ast }
二項演算を三項関係として 集合 に対する 二項演算は、 上の 三 項関係 、つまり、 すべての および に対するの三つ組の集合 として考えることができます 。 f {\displaystyle f} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} ( a , b , f ( a , b ) ) {\displaystyle (a,b,f(a,b))} S × S × S {\displaystyle S\times S\times S} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} S {\displaystyle S}
その他の二項演算 例えば、 線形代数 における スカラー乗算 。ここでは は 体で あり、はその体上の ベクトル空間 です 。 K {\displaystyle K} S {\displaystyle S}
また、 2つのベクトルの 内積 は に写像されます。 ここで は体、 は 上のベクトル空間です 。これを二項演算とみなすかどうかは著者によって異なります。 S × S {\displaystyle S\times S} K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} S {\displaystyle S} K {\displaystyle K}
参照
注記 ^ ロットマン 1973、1ページ ^ ハーディ＆ウォーカー 2002、176ページ、定義67 ^ フレイリー 1976、10ページ ^ George A. Grätzer (2008). Universal Algebra (第2版). Springer Science & Business Media. 第2章 部分代数. ISBN 978-0-387-77487-9 。
参考文献 フレイリー、ジョン・B.（1976年） 『抽象代数学入門』 （第2版）、Addison-Wesley、 ISBN 0-201-01984-1 ホール、マーシャル・ジュニア（1959年） 『群論 』ニューヨーク：マクミラン ハーディ、ダレル・W.; ウォーカー、キャロル・L. (2002) 『 応用代数：コード、暗号、離散アルゴリズム 』アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール、 ISBN 0-13-067464-8 ロットマン、ジョセフ・J.（1973） 「群論入門 （第2版）」ボストン：アリン・アンド・ベーコン
外部リンク
