ビネ方程式

Equation giving the form of a central force

ジャック・フィリップ・マリー・ビネによって導かれたビネ方程式は、平面極座標における軌道運動の形状が与えられた場合に、中心力の形を与えます。この方程式は、与えられた力の法則に対する軌道の形状を導くためにも使用できますが、通常は2階の非線形常微分方程式の解を必要とします。力の中心を中心とする円運動の場合、唯一の解は存在しません。

方程式

軌道の形状は、角度 の関数として相対距離で表すことで簡便に記述されることが多い。ビネ方程式では、軌道の形状は の逆数 の関数としてより簡潔に記述される。比角運動量を と定義する。ここでは角運動量、は質量である。次のセクションで導出されるビネ方程式は、関数 を用いて力を表す。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u=1/r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h=L/m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u(\theta )}$ $${\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}$$

導出

純粋に中心力に対するニュートンの第二法則は $${\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}$$

角運動量保存則によれば、 $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.}$$

時間に関するの微分は、角度に関する の微分として書き直すことができます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u=1/r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}$$

上記のすべてを組み合わせると、 $${\displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

一般解は^[1]であり、ここでは粒子の初期座標である。 $${\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}}$$ ${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$

例

ケプラー問題

クラシック

逆二乗則の軌道を計算するという伝統的なケプラーの問題は、ビネ方程式から微分方程式の解として読み取ることができる。 $${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$$

角度を近点から測ると、（逆）極座標で表された軌道の一般解は次のようになる。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$$

上記の極方程式は、半直角（ に等しい）と軌道離心率を持つ円錐曲線を記述します。 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

相対論的

シュワルツシルト座標に対して導出される相対論的方程式は^[2]で、は光速、はシュワルツシルト半径である。また、ライスナー・ノルドストローム計量に対しては、が得られる 。は電荷、は真空の誘電率である。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r_{s}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

逆ケプラー問題

逆ケプラー問題を考えてみましょう。楕円の焦点の周りを非円形の楕円軌道（あるいはより一般的には非円形の円錐曲線）が描く力の法則は何でしょうか？

上記の楕円の極方程式を2回微分すると、 $${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$$

したがって、力の法則は、予想される逆二乗則です。軌道をまたは のような物理値に合わせると、それぞれニュートンの万有引力の法則またはクーロンの法則が再現されます。 $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$$ ${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$

シュワルツシルト座標の有効力は^[3]で、 第2項は近点の角度シフトなどの四重極効果に対応する逆4次力である（これは遅延ポテンシャル^[4]を介しても得ることができる）。 $${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$

パラメータ化されたポストニュートン形式では、一般相対性理論の場合は、古典的な場合にはが得られます。 $${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$ ${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ ${\displaystyle \gamma =\beta =0}$

コートスパイラル

逆三乗力の法則は次の式で表される。 $${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$$

逆三乗則の軌道の形状はコート螺旋として知られています。ビネ方程式は、これらの軌道が必ず次の方程式の解となることを示しています。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$$

微分方程式には、ケプラー問題の異なる円錐曲線と同様に、3種類の解があります。 のとき、解はエピスパイラル （直線 の異常なケースを含む）です。 のとき、解は双曲螺旋です。 のとき、解はポアンソ螺旋です。 ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle C>1}$

軸外円運動

ビネー方程式は力の中心を回る円運動に対しては一意の力の法則を与えることができないが、円の中心と力の中心が一致しない場合には、力の法則を与えることができる。例えば、力の中心を真に通る円軌道を考えてみよう。直径が の円軌道に対する（逆）極方程式は、 ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$$

2回微分してピタゴラスの定理を利用すると、 ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$$

力の法則はこうなる $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$$

一般逆問題を解くこと、つまり引力の法則の軌道を構築することは、次の問題を解くことと等価であるため、かなり難しい問題であること に注意してください。 ${\displaystyle 1/r^{5}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$$

これは2次非線形微分方程式です。

参照

• 天文学ポータル
• 物理学ポータル

• ボーア・ゾンマーフェルトの量子化 § 相対論的軌道
• 古典的な中心力問題
• 一般相対性理論
• 一般相対性理論における二体問題
• ベルトランの定理

参考文献

1. ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）『古典力学』マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー出版ISBN 0-201-02918-9OCLC  5675073 。
2. 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2010年6月19日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2010年11月15日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
3. http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - 一次軌道方程式
4. Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). 「水星の近日点前進に関する平坦時空相対論的説明」arXiv : astro-ph/0306611 .

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