有界集合（位相ベクトル空間）

Generalization of boundedness

関数解析および関連する数学の分野において、位相ベクトル空間内の集合は、零ベクトルのすべての近傍がその集合を含むように拡張できる場合、有界集合またはフォン・ノイマン有界集合と呼ばれる。有界でない集合は非有界集合と呼ばれる。

有界集合は、双対ベクトル空間上の局所凸極位相を定義する自然な方法である。有界集合の極集合は絶対凸かつ吸収集合であるからである。この概念は 、 1935年にジョン・フォン・ノイマンとアンドレイ・コルモゴロフによって初めて導入された。

意味

位相体上の位相ベクトル空間（TVS）を仮定する ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

のサブセットは、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合、フォン ノイマン有界または単に有界であると呼ばれます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. 定義: 原点の任意の近傍に対して、^{[注 1]を}満たすすべてのスカラーに対して^[1]を満たす実数が存在する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq sV}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • これは1935年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された定義である。^[1]
2. ${\displaystyle B}$起源のあらゆる近傍に吸収される。^[2]
3. 原点のあらゆる近傍に対して、次のようなスカラーが存在する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. 原点の任意の近傍に対して、任意のスカラーに対して^[1]を満たすような実数が存在する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle sB\subseteq V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. 原点の任意の近傍に対して、任意の実数^[3]に対して ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle tB\subseteq V}$ ${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. 上記(1)から(5)までのいずれかの文において、「近隣」という語を以下のいずれかに置き換えたもの：「バランスのとれた近隣」、「開放的でバランスのとれた近隣」、「閉鎖的でバランスのとれた近隣」、「開放的な近隣」、「閉鎖的な近隣」。
   • 例えば、ステートメント（2）は次のように変更することができます。が有界であるのは、 が原点のすべての平衡近傍に吸収される場合のみです。 ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
   • が局所的に凸である場合、形容詞「凸状」もこれらの 5 つの置換のいずれかに追加される可能性があります。 ${\displaystyle X}$
7. 収束するスカラー列のすべてと、その列内のすべての列が^[1]で収束するスカラー列のすべてに対して ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • これは1934年にアンドレイ・コルモゴロフが用いた「有界」の定義であり、スタニスワフ・マズールとヴワディスワフ・オルリッチが1933年に計量化可能なTVSに対して導入した定義と同じである。コルモゴロフはこの定義を用いて、TVSが半ノルム可能であることと、それが原点の有界凸近傍を持つ場合とが等しいことを証明した。^[1]
8. シーケンス内の各シーケンスは^[4]に収束する。 ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
9. のすべての可算部分集合は有界である（この定義条件以外の任意の定義条件に従って）。^[1] ${\displaystyle B}$

が原点における近傍基数である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

10. 上記(1)から(5)のいずれかの記述ですが、地域は ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • 例えば、ステートメント（3）は次のようになる。任意のスカラーが存在する。 ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$

が局所凸空間であり、その位相が連続半ノルムの族によって定義される場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$^{はすべての[1]}に対して有界である ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. ゼロでないスカラーのシーケンスが存在し、シーケンス内のすべてのシーケンスが（このシーケンス以外の定義条件に従って）制限される。 ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
13. すべては（これ以外の定義条件に従って）半ノルム空間において有界である。 ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$
14. Bは弱有界である、すなわちすべての連続線型関数はB上で有界である^[5]

がノルム を持つノルム空間である場合（またはより一般的には、 が半ノルム空間であり、が単なる半ノルムである場合）、^{[注 2]}このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$はノルム有界部分集合である。定義により、これはすべての^[1]に対して、 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \|b\|\leq r}$ ${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • したがって、が2つのノルム空間（または半ノルム空間）間の線型写像であり、が原点を中心とする閉じた（あるいは開いた）単位球体である場合、が有界線型作用素（つまり、その作用素ノルムが有限であることを意味する）であるのは、この球体の像が ${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$何らかの（開いたまたは閉じた）球の部分集合である。^{[注 3]}
    • このボールは原点を中心とする必要はありませんが、その半径は (通常どおり) 正かつ有限でなければなりません。

がTVS のベクトル部分空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$^[1]の閉鎖に含まれる ${\displaystyle \{0\}.}$
    • 言い換えれば、ベクトル部分空間が有界となるのは、それが（ベクトル空間）の部分集合である場合のみである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • がハウスドルフ空間であるとき、かつが閉じているときのみである。したがって、ハウスドルフTVSの唯一の有界ベクトル部分空間は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

境界のないサブセットは、非境界サブセットと呼ばれます。

ボルノロジーと有界集合の基本体系

位相ベクトル空間上のすべての有界集合の集合は、フォン・ノイマンの有界集合論または（標準的な）有界集合論と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

の有界集合の基本または基本体系は、の有界部分集合の集合であり、 のすべての有界部分集合は何らかの の部分集合である^[1]の すべての有界部分集合の集合は、自明に の有界集合の基本体系を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

例

任意の局所凸TVSにおいて、閉有界円板の集合は有界集合の基底となる。^[1]

例と十分な条件

特に明記しない限り、位相ベクトル空間(TVS) は、ハウスドルフまたは局所凸である必要はありません。

• 有限集合は有界である。^[1]
• TVSの完全に有界な部分集合はすべて有界である。 ^[1]
• 位相ベクトル空間内の相対的にコンパクトな集合はすべて有界である。その空間に弱位相が存在する場合、逆もまた成り立つ。
• コーシー列の点の集合は有界ですが、コーシー ネットの点の集合は有界である必要はありません。
• 原点の閉包（集合 の閉包を指す）は常に有界閉ベクトル部分空間である。この集合は、の唯一の最大の（集合包含に関して）有界ベクトル部分空間である。特に、が の有界部分集合であるならば、も有界である。 ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

無限集合

有界でない集合は、非有界であると言われます。

の閉包に含まれないTVSのベクトル部分空間は非有界である。 ${\displaystyle \{0\}}$

有界部分集合と稠密ベクトル部分空間を持つフレシェ空間 が存在し、 ^[6]の任意の有界部分集合の閉包（ ）に含まれない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

安定性特性

• 任意のTVSにおいて、有限和、有限ミンコフスキー和、スカラー倍、変換、部分集合、閉包、内部、有界集合のバランス包は再び有界となる。^[1]
• 任意の局所凸TVSでは、有界集合の凸包（凸包とも呼ばれる）は再び有界となる。 ^[7]しかし、空間が局所凸でない場合は、これは誤りである可能性がある。なぜなら、（非局所凸）Lp空間 には非自明な開凸部分集合が存在しないからである。^[7] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• 連続線型写像による有界集合の像は、余域の有界部分集合である。^[1]
• TVS の任意の(直交座標) 積のサブセットが有界となるのは、すべての座標投影の下でのそのイメージが有界となる場合のみです。
• とが の位相ベクトル部分空間である場合、が で有界であるとき、 が で有界であるときのみ、 が^[1]で有界である。 ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y.}$
  • 言い換えれば、部分集合が有界であるのは、それが任意の（あるいは同値な、いくつかの）位相ベクトル超空間において有界である場合に限る。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

プロパティ

局所凸位相ベクトル空間は、その位相が単一の半ノルムによって定義できる場合にのみ、ゼロの有界近傍を持ちます。

有界集合の極集合は絶対凸かつ吸収集合である。

マッキーの可算条件^[8] —可能な局所凸位相ベクトル空間の有界部分集合の可算列である場合の有界部分集合すべての に対して（または同等に、 となる正の実数列が存在。 ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}$

以下に示す一様有界集合の定義を用いると、Mackeyの可算条件は次のように言い換えられる。距離化可能な局所凸空間の有界部分集合が有界であるとき、一様有界となる正の実数の列が存在する。言い換えれば、距離化可能な局所凸空間内の任意の可算有界集合族が与えられたとき、各集合をそれ自身の正の実数でスケーリングすることで、一様有界となることが可能である。 ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

一般化

一様有界集合

位相ベクトル空間の部分集合の集合族 は次のように言われる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$において一様有界であるとは、の有界部分集合が存在し、和 集合 が の有界部分集合でノルム（または半ノルム の場合、族が一様有界であるとは、その和集合がノルム有界であるます。つまり任意の に対して となる、または同値であるが、 ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}$$ $${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle M\geq 0}$ ${\textstyle \|b\|\leq M}$ ${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$ ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

からまでの地図の集合は、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$与えられた集合上で一様有界で あるとは、定義により の有界部分集合が存在し、その有界部分集合が であること、または同値として、 が の有界部分集合である場合に限ります。2つのノルム（または半ノルム）空間間の線型写像の 集合がのある（または同値としてすべての）開球（および/または非退化閉球）上で一様有界であるとは、それらの作用素ノルムが一様有界である場合に限ります。つまり、 ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}$ ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

命題^[9] —を2つの位相ベクトル空間と間の連続線型作用素の集合とし、を の任意の有界部分集合とすると、が上で一様有界となる（つまり、族がで一様有界となる）ためには、以下の条件のいずれかが満たされる。 ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$は等連続です。
2. ${\displaystyle C}$はの凸 コンパクトハウスドルフ部分空間であり、任意の軌道に対してはの有界部分集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y.}$

（１）の証明[9]

が等連続であると仮定し、が における原点の近傍であるとする。が等連続なので、任意のに対してとなるような、における原点の近傍が存在する。がで有界である ため、となるような実数が存在する。したがって、 任意のに対してとなり、任意のに対してとなる。したがって、 QEDで有界である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq W}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle t\geq r}$ ${\displaystyle C\subseteq tU.}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle t\geq r,}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tW,}$ ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tW.}$ ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)}$ ${\displaystyle Y.}$

（２）の証明[10]

を における原点の平衡近傍とし、をにおける原点の閉平衡近傍とすると、 が成り立つ。 は の閉部分集合で（は閉じているが、すべての は連続なので）、すべての に対して が成り立つと定義する。 0 でないすべてのスカラーに対して、 は で閉じていることに注意する（ による スカラー乗算は同相写像なので）、したがってすべてのは で閉じている。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V+V\subseteq W.}$ $${\displaystyle E~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h:X\to Y}$ ${\displaystyle h(E)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H.}$ ${\displaystyle n\neq 0,}$ ${\displaystyle nE}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle C\cap nE}$ ${\displaystyle C.}$ これから、次式が成り立つことが示されます。もし、有界であることは、任意の正の整数が存在し、その正の整数が線形であることから、したがって、望みどおりとなることを保証します。 ${\displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,}$ ${\displaystyle C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(C\cap nE)}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle H(c)}$ ${\displaystyle n=n_{c}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle H(c)\subseteq n_{c}V,}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in h^{-1}(V);}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)=E}$ ${\displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,}$ したがって、 は 閉集合（ ）の可算和集合として表される。は自身の非希薄部分集合である（ベール圏定理によりベール空間となるため）ので、が に空でない内部構造を持つような整数が存在する場合にのみ可能である。 のこの開部分集合に属する任意の点 を とし、における原点の任意 の均衡開近傍 を とし 、 ${\textstyle C=(C\cap 1E)\cup (C\cap 2E)\cup (C\cap 3E)\cup \cdots }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C\cap nE}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle k\in \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C\cap (k+U)~\subseteq ~\operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).}$$ 集合はコンパクト空間の増加被覆（つまり を意味する）を形成するので、 （したがって）となるような集合が存在する。任意のに対して が示され、 がにおいて一様有界であることが示され、証明は完了する。したがって、 を固定し、 と する 。 ${\displaystyle \{k+pU:p>1\}}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle k+pU\subseteq k+qU}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle C\subseteq k+pU}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq pnW}$ ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle c\in C.}$ $${\displaystyle z~:=~{\tfrac {p-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c.}$$ の凸性は保証され、さらに、 したがって、 これは のサブセットであるため 、バランスが取れており、これと組み合わせると最終的にが得られ、希望どおりになります 。QED ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z\in C}$ ${\displaystyle z\in k+U}$ $${\displaystyle z-k={\tfrac {-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c={\tfrac {1}{p}}(c-k)\in {\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U.}$$ ${\displaystyle z\in C\cap (k+U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).}$ ${\displaystyle nV}$ ${\displaystyle |1-p|=p-1<p,}$ ${\displaystyle (1-p)nV\subseteq pnV,}$ ${\displaystyle h(E)\subseteq V}$ $${\displaystyle pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnV+(1-p)nV~\subseteq ~pnV+pnV~\subseteq ~pn(V+V)~\subseteq ~pnW.}$$ ${\displaystyle c=pz+(1-p)k}$ ${\displaystyle k,z\in nE}$ $${\displaystyle h(c)~=~ph(z)+(1-p)h(k)~\in ~pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnW,}$$

のすべての単一部分集合は有界部分集合でもあるので、が2つの位相ベクトル空間と（必ずしもハウスドルフまたは局所凸である必要はない）間の連続線型作用素の等連続集合である場合、すべての の軌道はの有界部分集合となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Y.}$

位相モジュールの有界部分集合

有界集合の定義は位相加群に一般化できる。位相環上の位相加群の部分集合が有界であるとは、任意のの近傍に対して の近傍が存在し、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle wA\subseteq B.}$

参照

• ボルノロジー空間 – 有界作用素が連続する空間
• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• 有界関数 – 値の集合が有界である数学関数
• 有界演算子 – 線形変換の一種
• 境界点 – ベクトル空間の部分集合に関連する数学的概念
• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
• コルモゴロフの規範可能性基準 – 規範可能空間の特徴づけ
• 局所的な有界性
• 全有界空間 – コンパクト性の一般化

参考文献

1. Narici & Beckenstein 2011、156–175 ページ。
2. シェーファー 1970、25ページ。
3. ルディン 1991、8ページ。
4. ウィランスキー 2013、47ページ。
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6. ウィランスキー 2013、57ページ。
7. Narici & Beckenstein 2011、p. 162を参照。
8. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、174ページ。
9. Rudin 1991、42−47頁。
10. ルディン1991、46−47頁。

注記

1. 任意の集合とスカラーに対して、表記は集合を表す。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle sA}$ ${\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}$
2. これは、 上の位相が、によってその上に誘導される位相に等しいことを意味します。すべてのノルム空間は半ノルム空間であり、すべてのノルムは半ノルムであることに留意してください。半ノルムによって誘導される位相の定義は、ノルムによって誘導される位相の定義と同一です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$
3. ノルム空間または半ノルム空間である場合、点を中心とする半径(は実数)の開球と閉球は、それぞれ集合 と です。このような集合は(非退化)球と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}}$ ${\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$

参考文献

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