カビボ-小林-益川行列

素粒子物理学の標準モデルにおいて、カビボ・小林・益川行列（CKM行列、クォーク混合行列、あるいはKM行列）は、フレーバーを変える弱い相互作用の強さに関する情報を含むユニタリー行列である。技術的には、クォークが自由に伝播するときと弱い相互作用に参加するときのクォークの量子状態の不一致を指定する。これはCP対称性の破れの理解に重要である。この行列は、小林誠と益川敏英によって3世代のクォークに対して導入され、ニコラ・カビボによって以前に導入された行列に1世代を追加したものである。この行列は、現在の3つのクォークファミリーのうち2つだけを含む GIMメカニズムの拡張でもある。

マトリックス

前身 – カビボマトリックス

カビボ角は、質量固有状態によって形成される質量固有状態ベクトル空間の、弱固有状態によって形成される弱固有状態ベクトル空間への回転を表しますθ _c = 13.02° 。 ${\displaystyle |d\rangle ,\,|s\rangle }$ ${\displaystyle |d'\rangle \,,~|\,s'\rangle ~.}$

1963年、ニコラ・カビボは弱い相互作用の普遍性を保つためにカビボ角（θc _）を導入した。^{[ 1 ]}カビボは、マレー・ゲルマンとモーリス・レヴィ による、実質的に回転した非ストレンジベクトルとストレンジベクトル、および軸性弱カレントに関する研究^{[ 2 ]}に触発され 、その研究を参考にした。^{[ 3 ]}

当時の概念（クォークはまだ提案されていなかった）に照らし合わせると、カビボ角はダウンクォークとストレンジクォークがアップクォークに崩壊する相対確率 （それぞれ | V _ud | ²   と | V _us | ²  ）と関係している。素粒子物理学の用語では、荷電カレント弱相互作用を介してアップクォークと結合する物体は、ダウン型クォークの重ね合わせであり、ここではd′で表される。^{[ 4 ]} 数学的には、これは以下の通りである。

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

またはカビボ角を使用します。

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

現在受け入れられている| V _ud |と| V _us |の値（下記参照）を使用して、カビボ角は次のように計算できます。

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

1974 年にチャーム クォークが発見されたとき、ダウン クォークとストレンジ クォークがアップ クォークまたはチャーム クォークのいずれかに遷移できることが注目され、次の 2 つの方程式が導き出されました。

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

またはカビボ角を使用します。

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

これは次のように行列表記で書くこともできます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

またはカビボ角を使用する

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

ここで、様々な | V _ij | ^{2 は、フレーバー}jのクォークがフレーバーiのクォークに崩壊する確率を表す。この2×2 回転行列は「カビボ行列」と呼ばれ、後に3×3 CKM行列に拡張された。

6 つのクォークの崩壊モードを図で表したもので、左から右に向かって質量が増大します。

CKMマトリックス

荷電弱相互作用による崩壊経路とその可能性を示す図。線の強度はCKMパラメータによって与えられる。

1973年、小林と益川はCP対称性の破れが4クォーク模型では説明できないことに気づき、カビボ行列をカビボ・小林・益川行列（CKM行列）に一般化し、3世代のクォークの弱い崩壊を追跡できるようにした。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

左側はダウン型クォークの弱い相互作用の二重項パートナー、右側はCKM行列とダウン型クォークの質量固有状態のベクトルです。CKM行列は、あるフレーバーjクォークから別のフレーバーiクォークへの遷移の確率を表します。これらの遷移は| V _ij | ²に比例します。

2023年現在、CKM行列要素の個々の大きさの最良の決定は次の通りである: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

これらの値を用いて、CKM行列のユニタリー性を確認できます。特に、行列の1行目の要素は次のようになります。 ${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007}$

実験結果は理論値 1 と一致することになります。

定義におけるダウン型クォークの使用は慣例であり、アップ型クォークとダウン型クォークの間に物理的に好ましい非対称性が存在することを意味するものではありません。その他の慣例も同様に有効です。アップ型クォークの質量固有状態u、c、t は、それらの弱い相互作用パートナーu′、c′、t′を用いて行列を同値に定義できます。CKM行列はユニタリ行列であるため、その逆行列は、他の選択肢で使用される共役転置行列と同じであり、わずかに異なる形式で同じ行列として現れます。

一般的なケース構築

行列を一般化するには、この行列Vに含まれる実験で現れる物理的に重要なパラメータの数を数える。クォークがN世代（2 Nフレーバー） ある場合、

• N  ×  Nユニタリ行列 (つまり、V ^† V = Iとなる行列V。ここで、V ^†はVの共役転置行列、Iは単位行列) では、N ²個の実数パラメータを指定する必要があります。
• これらのパラメータの2 N  − 1 は物理的には重要ではありません。なぜなら、各クォーク場（質量固有状態と弱固有状態の両方）に1つの位相が吸収される可能性があるからです。しかし、行列は共通の位相に依存しません。したがって、基底ベクトルの位相の選択に依存しない自由変数の総数は、N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ²です。
  • これらのうち、⁠1/2⁠ N ( N  − 1) はクォーク混合角と呼ばれる回転角です。
  • 残りの⁠1/2⁠ ( N  − 1)( N − 2) はCP対称性の破れ を引き起こす複素位相です。

N = 2

N = 2の場合 、パラメータは1つだけであり、それは2世代のクォーク間の混合角です。歴史的に、これは2世代しか知られていなかった時代のCKM行列の最初のバージョンでした。これは発明者であるニコラ・カビボにちなんでカビボ角と呼ばれています。

N = 3

標準モデルの場合（N  = 3）、3つの混合角と1つのCP対称性を破る複素位相が存在する。^{[ 7 ]}

観察と予測

カビボのアイデアは、観察された 2 つの現象を説明する必要性から生まれました。

1. 遷移u ↔ d、e ↔ ν _e、およびμ ↔ ν _μは同様の振幅を持ちました。
2. ストレンジネスの変化ΔS = 1の遷移の振幅は、⁠ 1 /4⁠ ΔS = 0のもの。

カビボの解決策は、最初の問題を解決するために弱い普遍性（下記参照）を仮定し、2 番目の問題を解決するためにd クォークとsクォーク間の混合角θ _c（現在カビボ角と呼ばれている）を仮定するというものでした。

前の節の計算で示されているように、2世代のクォークにはCP対称性の破れを破る位相は存在しません。CP対称性の破れは1964年に中性K中間子の崩壊において既に観測されていたため、その後まもなく登場した標準模型は、 1973年に小林と益川が指摘したように、第3世代のクォークの存在を明確に示唆していました。したがって、1976年にフェルミ国立加速器研究所（レオン・レーダーマンのグループ）でボトムクォークが発見されると、すぐに、未発見の第3世代クォークであるトップクォークの探索が始まりました。

ただし、角度が取る特定の値は標準モデルの予測ではないことに注意してください。それらは自由パラメータです。現時点では、角度が実験で測定された値を取る理由を説明する、一般的に受け入れられている理論は存在しません。

弱い普遍性

CKM行列の対角項に対するユニタリー性の制約は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

各世代jごとに別々に。これは、アップ型クォークのいずれか1つとすべてのダウン型クォークとの結合の総和が、すべての世代で同じであることを意味します。この関係は弱普遍性と呼ばれ、1967年にニコラ・カビボによって初めて指摘されました。理論的には、すべてのSU(2)二重項が弱い相互作用のベクトルボソンと同じ強さで結合するという事実から導かれます。この関係は継続的な実験的検証を受けています。

ユニタリ三角形

CKM行列のユニタリー性の残りの制約は、次のように表される。

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

任意の固定された異なるiとjについて、これは各kごとに 1 つの 3 つの複素数に対する制約であり、これらの数が複素平面で三角形の辺を形成することを示しています。 iとjには 6 つの選択肢 (3 つは独立) があり、したがって 6 つのそのような三角形があり、それぞれをユニタリ三角形と呼びます。それらの形状は大きく異なる場合がありますが、すべて同じ面積を持ち、これはCP 対称性の破れの位相に関連します。標準モデルでは、 CP 対称性の破れがない特定のパラメータに対して面積がゼロになります。三角形の向きはクォーク場の位相に依存します。

ユニタリ三角形の面積の2倍に相当する一般的な量は、ヤールスコグ不変量（1985年にセシリア・ヤールスコグによって導入された）である。

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

アップクォークを表すギリシャ語の添え字とダウンクォークを表すラテン語の添え字の場合、4次元テンソルは二重反対称であり、 ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

反対称性を除いて、それは9 = 3 × 3 個のゼロでない成分しか持たないが、驚くべきことに、Vのユニタリー性から、それらはすべて大きさが同一であることが示される。すなわち、

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

となることによって

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

三角形の3辺は3つの角度と同様に直接実験によって調べられるため、標準模型の検証の一つは三角形が閉じているかどうかを確認することである。これは、日本のBELLE実験、アメリカのBaBar実験、そしてスイスのCERNのLHCb実験で行われている一連の最新の実験の目的である。

パラメータ化

CKM行列を完全に定義するには、4つの独立したパラメータが必要です。多くのパラメータ化が提案されており、最も一般的な3つを以下に示します。

KMパラメータ

小林と益川によるオリジナルのパラメータ化では、3つの角度（θ ₁、θ ₂、θ ₃）とCP対称性を破る位相角（δ）が用いられた。^{[ 5 ]} θ ₁はカビボ角である。簡潔にするために、角度θ _{kの余弦と正弦は、それぞれ}k = 1、2、3に対してc k_とs k_と表記される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

「標準」CKパラメータ

CKM行列の「標準的な」Chau-Keung ^{[ 8 ]}パラメータ化では、3つのオイラー角（θ ₁₂、θ ₂₃、θ ₁₃）と1つのCP対称性を破る位相（δ ₁₃）が用いられる。^{[ 9 ]} θ _{12はカビボ角である。これは}粒子データグループが提唱する慣例である。クォーク世代jとkの間の結合は、 θ _jk = 0の場合には消滅する。角度の余弦と正弦はそれぞれc _jkとs _jkと表記される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

2008年の標準パラメータの値は以下の通りであった。^{[ 10 ]}

θ ₁₂ =13.04° ± 0.05°、θ ₁₃ =0.201° ± 0.011°、 θ ₂₃ =2.38° ± 0.06°

そして

δ ₁₃ =1.20 ± 0.08 ラジアン =68.8° ± 4.5°。

ウルフェンシュタインのパラメータ

CKM行列の3番目のパラメータ化はリンカーン・ウォルフェンシュタインによって導入され、4つの実パラメータλ、A、ρ、ηが与えられた。これらのパラメータは結合がなければすべて「消える」（ゼロになる）はずである。^{[ 11 ]} 4つのウォルフェンシュタインパラメータはすべて1次のオーダーであり、「標準的な」パラメータ化と関連しているという特性がある。

${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$	${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{2}=s_{23}~,}$	${\displaystyle A={\frac {s_{23}}{\;s_{12}^{2}\;}}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )=s_{13}e^{-i\delta }~,\quad }$	${\displaystyle \rho =\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~,\quad \eta =-\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~.}$

CKM行列のWolfensteinパラメータ化は高次まで適用すれば要求される精度を実現できますが、主に標準的なパラメータ化の便利な近似値を生成するために使用されます。λ 3 次までの近似値は、^0.3 %以上の精度で良好であり、以下のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

CP 対称性の破れの率はパラメータρとηに対応します。

CKM行列の前のセクションの値を使用すると、2008年時点でのWolfensteinパラメータ値の最良の決定は次のようになります。^{[ 6 ]}

λ =.22500 ± 0.0067、   A =0.826+0.018 −0.015、   ρ = 0.159±0.010、   η = 0.348±0.010。

ノーベル賞

2008年、小林と益川は「自然界に少なくとも3つのクォーク族が存在することを予言する対称性の破れの起源の発見」により、ノーベル物理学賞を共同受賞した。 ^{[ 12 ]}ノーベル賞委員会がカビボの研究に報じなかったことに、一部の物理学者が苦い感情を抱いていると報じられた。カビボの研究は小林と益川の研究と密接に関連していた。^{[ 13 ]}カビボは受賞についてのコメントを求められたものの、コメントを避けた。^{[ 14 ]}

参照

• 標準模型の定式化とCP対称性の破れ
• 量子色力学、フレーバー、強いCP問題
• ワインベルグ角、Zと光子混合の同様の角度
• ポンテコルボ・マキ・ナカガワ・サカタ行列、ニュートリノの等価混合行列
• 小出式

参考文献

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2. Gell-Mann, M. ; Lévy, M. (1960). 「ベータ崩壊における軸ベクトル電流」. Il Nuovo Cimento . 16 (4): 705– 726. Bibcode : 1960NCim...16..705G . doi : 10.1007/BF02859738 . S2CID 122945049 . 
3. マイアニ、L. (2009)。「Sul premio Nobel per la fisica 2008」 [2008 年のノーベル物理学賞について] (PDF)。イル・ヌオーヴォ・サジャトーレ。25 ( 1–2 ): 78。2011年 7 月 22 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2010 年11 月 30 日に取得。
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5. 小林正之; 益川毅 (1973). 「弱相互作用の再正規化理論におけるCP対称性の破れ」 .理論物理学の進歩. 49 (2): 652– 657. Bibcode : 1973PThPh..49..652K . doi : 10.1143/PTP.49.652 . hdl : 2433/66179 .
6. R.L. Workman et al. (Particle Data Group) (2022年8月). 「Review of Particle Physics (and 2023 update)」 . Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2022 (8): 083C01. doi : 10.1093/ptep/ptac097 . hdl : 20.500.11850/571164 . 2023年9月12日閲覧。
7. Baez, JC (2011年4月4日). 「ニュートリノと謎のポンテコルボ・マキ・ナカガワ・サカタ行列」 . 2016年2月13日閲覧。実際、ポンテコルボ・マキ・ナカガワ・サカタ行列はニュートリノだけでなく、すべてのレプトンの振る舞いに影響を与えます。さらに、同様のトリックはクォークにも適用できますが、その場合、行列Uはカビボ・コバヤシ・マスカワ行列と呼ばれます。
8. Kuznetsov, VE; Naumov, VA (1995). 「クォーク混合行列のKobayashi-Maskawa表現とChau-Keung表現の関係」. Il Nuovo Cimento A. 108 ( 12): 1451– 1456. arXiv : hep-ph/9605211 . Bibcode : 1995NCimA.108.1451K . doi : 10.1007/BF02821061 .
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10. 2008 Review of Particle Physics のWolfenstein パラメータの値から得られた値。
11. Wolfenstein, L. (1983). 「小林・益川行列のパラメータ化」. Physical Review Letters . 51 (21): 1945– 1947. Bibcode : 1983PhRvL..51.1945W . doi : 10.1103/PhysRevLett.51.1945 .
12. 「2008年ノーベル物理学賞」（プレスリリース）ノーベル財団2008年10月7日. 2009年11月24日閲覧。
13. Jamieson, V. (2008年10月7日). 「物理学賞、主要研究者を軽視」 . New Scientist . 2009年11月24日閲覧。
14. “ノーベル、イタリアのアマレッツァ デイ フィジチ” .コッリエレ・デッラ・セーラ（イタリア語）。 2008 年 10 月 7 日。2009 年11 月 24 日に取得。

さらに詳しい情報と外部リンク

• DJ・グリフィス（2008年）『素粒子入門（第2版）』John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2。

• B. Povh; et al. (1995). 『粒子と核：物理学的概念への入門』Springer . ISBN 978-3-540-20168-7。

• II Bigi, AI Sanda (2000). CP対称性の破れ. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4。

• 「粒子データグループ: CKM クォーク混合行列」(PDF)。
• 「粒子データグループ: 中間子崩壊における CP 対称性の破れ」(PDF)。
• 「ババール実験」。カリフォルニア州SLACと「BELLE実験」で実施されました。日本のKEKにて。

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