中心極限定理

Fundamental theorem in probability theory and statistics

中心極限定理

タイプ	定理
分野	確率論
声明	有限の正の分散を持つiid ランダム変数のシーケンスのスケール和は、分布において正規分布に収束します。
一般化	リンデバーグのCLT

確率論において、中心極限定理（CLT）は、適切な条件下では、標本平均の正規化された分布は標準正規分布に収束することを述べています。これは、元の変数自体が正規分布していない場合でも当てはまります。CLTには複数のバージョンがあり、それぞれ異なる条件下で適用されます。

この定理は、正規分布に有効な確率的および統計的手法が他の種類の分布を含む多くの問題に適用できることを意味するため、確率論における重要な概念です。

この定理は、確率論の正式な発展の過程で多くの変化を遂げてきました。以前の定理は1811年に遡りますが、現代の定理が正確に述べられたのは1920年代になってからです。^[1]

統計学において、CLTは次のように表現されます。 は、期待値（平均）と有限の正の分散を持つ母集団から抽出された、の大きさの統計標本を表します。また、 は標本平均（それ自体が確率変数）を表します。すると、の分布のとしての極限は、平均と分散を持つ正規分布となります。^[2] ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle ({\bar {X}}_{n}-\mu ){\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

言い換えれば、観測値の大きな標本が得られ、各観測値は他の観測値の値に依存しない方法でランダムに生成され、観測値の平均（算術平均）が計算されると仮定します。この手順を何度も実行して観測平均値の集合を得た場合、中心極限定理によれば、標本サイズが十分に大きい場合、これらの平均値の確率分布は正規分布に近似することになります。

中心極限定理にはいくつかのバリエーションがあります。一般的な形では、確率変数は独立かつ同一分布（IID）に従う必要があります。この要件は緩和することができ、特定の条件を満たす場合、同一分布ではない分布や独立でない観測値であっても、平均値は正規分布に収束します。

正規分布は二項分布の近似として使用できるというこの定理の最も古いバージョンは、ド・モアブル・ラプラスの定理です。

独立したシーケンス

母集団の分布がどのような形であっても、標本分布はガウス分布に近づき、その分散は中心極限定理によって与えられる。^[3]

古典的なCLT

が期待値で与えられ、有限分散が与えられる分布を持つiid確率変数の列であるとする。標本平均に興味があるとする。 ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}}\}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}\equiv {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}.}$$

大数の法則により、標本平均はほぼ確実に（したがって確率的にも）期待値に収束する。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n\to \infty .}$

古典的な中心極限定理は、この収束過程における決定論的数の周りの確率的変動の大きさと分布形を記述する。より正確には、が大きくなるにつれて、正規化平均の分布、すなわち標本平均とその極限との差を係数でスケールしたものが、平均と分散を持つ正規分布に近づくことを述べている。が十分に大きい場合、分布は平均と分散を持つ正規分布に任意に近づく。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/n.}$

この定理の有用性は、個々の分布の形状に関係なく、分布が正規分布に近づくという点にあります。正式には、この定理は次のように述べられます。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

リンデバーグ・レヴィCLT —がiid確率変数の列で、が無限大に近づくにつれて、確率変数は正規分布に収束する：^[4] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\ldots }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\right).}$$

この場合、分布の収束とは、分布の累積分布関数が分布の累積分布関数に点ごとに収束することを意味します。つまり、すべての実数に対して ${\displaystyle \sigma >0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle z,}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}{\sigma }}\leq {\frac {z}{\sigma }}\right]=\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right),}$$

ここで、標準正規分布の累積分布関数は、次のよう に評価されます。収束は、 ${\displaystyle \Phi (z)}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\sup _{z\in \mathbb {R} }\;\left|\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]-\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right)\right|=0~,}$$

ここで は集合の最小の上限（またはsupremum ）を表します。 ^[5] ${\displaystyle \sup }$

リャプノフCLT

この中心極限定理の変種では、確率変数は独立でなければならないが、必ずしも同一分布に従う必要はない。また、この定理は、確率変数が何らかの位数のモーメントを持ち、これらのモーメントの増加率が以下に示すリアプノフ条件によって制限されることを要求している。 ${\textstyle X_{i}}$ ${\textstyle \left|X_{i}\right|}$ ${\textstyle (2+\delta )}$

リャプノフCLT ^[6] —はそれぞれ有限の期待値と分散を持つ独立確率変数の列であるとする。定義 ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ ${\textstyle \mu _{i}}$ ${\textstyle \sigma _{i}^{2}}$

$${\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.}$$

ある人にとって、リャプノフの条件 ${\textstyle \delta >0}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{s_{n}^{2+\delta }}}\,\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[\left|X_{i}-\mu _{i}\right|^{2+\delta }\right]=0}$$

が満たされると、 の和は分布的に標準正規確率変数に収束し、 は無限大に近づきます。 ${\textstyle {\frac {X_{i}-\mu _{i}}{s_{n}}}}$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\,\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}(0,1).}$$

実際には、 のリャプノフ条件を確認するのが最も簡単です。 ${\textstyle \delta =1}$

確率変数の列がリャプノフの条件を満たす場合、リンデバーグの条件も満たす。しかし、逆の帰結は成り立たない。

リンデバーグ（フェラー）CLT

上記と同じ設定と表記で、リャプノフ条件は次のより弱い条件に置き換えることができます ( 1920 年のLindebergによる)。

あらゆる に対して、 ${\textstyle \varepsilon >0}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\left\{\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\varepsilon s_{n}\right\}}\right]=0}$$

ここで、は指示関数である。標準化された和の分布は ${\textstyle \mathbf {1} _{\{\ldots \}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)}$$

標準正規分布に収束します。 ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

ランダムな数のランダム変数の合計に対するCLT

整数個の確率変数を合計して を取るのではなく、に条件を課した上で、ランダムな数の確率変数を合計することができます。例えば、次の定理はRobbins (1948)の系4です。これは、 が漸近的に正規であると仮定しています（Robbinsは、同じ結果をもたらす他の条件も導出しています）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

ロビンズCLT ^{[7] [8]} —をおよびとする独立かつ同一分布に従う確率変数とし、 を から独立な非負整数値確率変数の列とする。各についておよび であると仮定する。 ${\displaystyle \{X_{i},i\geq 1\}}$ ${\displaystyle E(X_{i})=\mu }$ ${\displaystyle {\text{Var}}(X_{i})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \{N_{n},n\geq 1\}}$ ${\displaystyle \{X_{i},i\geq 1\}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle E(N_{n}^{2})<\infty }$

$${\displaystyle {\frac {N_{n}-E(N_{n})}{\sqrt {{\text{Var}}(N_{n})}}}\xrightarrow {\quad d\quad } {\mathcal {N}}(0,1)}$$

ここで、分布の収束を表し、平均0、分散1の正規分布である。 ${\displaystyle \xrightarrow {\,d\,} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

$${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{N_{n}}X_{i}-\mu E(N_{n})}{\sqrt {\sigma ^{2}E(N_{n})+\mu ^{2}{\text{Var}}(N_{n})}}}\xrightarrow {\quad d\quad } {\mathcal {N}}(0,1)}$$

多次元CLT

特性関数を用いた証明は、各個体がのランダムベクトルであり、平均ベクトルと共分散行列（ベクトルの成分間）を持ち、これらのランダムベクトルが独立かつ同一分布に従う場合にも拡張できる。多次元中心極限定理によれば、和はスケールすると多変量正規分布に収束する。^[9]これらのベクトルの和は、成分ごとに行われる。 ${\textstyle \mathbf {X} _{i}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} _{i}]}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$

貸し出し用 ${\displaystyle i=1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

は独立なランダムベクトルである。ランダムベクトルの和は ${\displaystyle \mathbf {X} _{1},\ldots ,\mathbf {X} _{n}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{1}^{(1)}\\\vdots \\X_{1}^{(k)}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{2}^{(1)}\\\vdots \\X_{2}^{(k)}\end{bmatrix}}+\cdots +{\begin{bmatrix}X_{n}^{(1)}\\\vdots \\X_{n}^{(k)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

そしてその平均は

$${\displaystyle \mathbf {{\bar {X}}_{n}} ={\begin{bmatrix}{\bar {X}}_{i}^{(1)}\\\vdots \\{\bar {X}}_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}.}$$

したがって、

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {X} _{i}-\operatorname {E} \left(\mathbf {X} _{i}\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {X} _{i}-{\boldsymbol {\mu }})={\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right).}$$

多変数中心極限定理は、

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right)\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}_{k}(0,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$$ここで共分散行列 は ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{bmatrix}{\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(1)}\right)}&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(k)}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(k)}\right)\\\end{bmatrix}}~.}$$

多変数中心極限定理はクラメール・ウォルドの定理を用いて証明できる。^[9]

収束率は次のベリー・エッセン型の結果によって与えられます。

定理^[10] —をそれぞれ平均0を持つ独立な-値の乱数ベクトルとする。 と書き、は可逆であると仮定する。 をと同じ平均と同じ共分散行列を持つ -次元ガウス分布とする。すると、すべての凸集合 に対して、 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Cov} [S]}$ ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,\Sigma )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle \left|\mathbb {P} [S\in U]-\mathbb {P} [Z\in U]\right|\leq C\,d^{1/4}\gamma ~,}$$ここで、 は普遍定数、は上のユークリッドノルムを表します。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \gamma =\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[\left\|\Sigma ^{-1/2}X_{i}\right\|_{2}^{3}\right]}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

この要因が必要かどうかは不明である。^[11] ${\textstyle d^{1/4}}$

一般化中心極限定理

一般化中心極限定理（GCLT）は、1920年から1937年にかけて複数の数学者（バーンスタイン、リンデバーグ、レヴィ、フェラー、コルモゴロフなど）によって研究されたものである^。[12] GCLTの完全な証明は、1937年にポール・レヴィによってフランス語で初めて公表された。^{[13] GCLTの完全な証明の英語版は、}グネデンコとコルモゴロフの1954年の本の翻訳で提供されている。^[14]

GCLTの声明は次の通りである。^[15]

非退化確率変数 Z が0 < α ≤ 2に対してα安定であるためには、独立かつ同一分布に従う確率変数列 X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... と定数 a _n > 0, b _n ∈ ℝ が存在し、

a _n ( X ₁ + ... + X _n ) − b _n → Z。

ここで→は、ランダム変数の合計のシーケンスが分布に収束することを意味します。つまり、対応する分布は、 Fのすべての連続点でF _n ( y ) → F ( y )を満たします。

言い換えれば、独立かつ同一に分布する確率変数の和が分布において何らかのZに収束する場合、Z は安定した分布でなければなりません。

依存プロセス

弱い依存関係にあるCLT

独立かつ同一分布に従う確率変数の列を一般化すると、離散時間における混合確率過程が有用となる。「混合」とは、大まかに言えば、時間的に互いに大きく離れた確率変数がほぼ独立であることを意味する。エルゴード理論や確率論では、いくつかの種類の混合が用いられる。特に、で定義される強混合（α混合とも呼ばれる）を参照のこと。ここではいわゆる強混合係数である。 ${\textstyle \alpha (n)\to 0}$ ${\textstyle \alpha (n)}$

強混合下の中心極限定理の簡略化された定式は次の通りである: ^[16]

定理—が定常で、 と -混合し、 とであるとする。とすると、極限は ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle \alpha _{n}=O\left(n^{-5}\right)}$ ${\textstyle \operatorname {E} [X_{n}]=0}$ ${\textstyle \operatorname {E} [X_{n}^{12}]<\infty }$ ${\textstyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$

$${\displaystyle \sigma ^{2}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {E} \left(S_{n}^{2}\right)}{n}}}$$

が存在し、 の場合、は分布的に に収束します。 ${\textstyle \sigma \neq 0}$ ${\textstyle {\frac {S_{n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

実際には、

$${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} \left(X_{1}^{2}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {E} \left(X_{1}X_{1+k}\right),}$$

ここで、級数は絶対収束します。

漸近正規性が破綻する点では、別の定常シーケンスであるため、仮定を省略することはできません。 ${\textstyle \sigma \neq 0}$ ${\textstyle X_{n}=Y_{n}-Y_{n-1}}$ ${\textstyle Y_{n}}$

この定理にはより強いバージョンがある。^[17]仮定は に置き換えられ、仮定はに置き換えられる。 ${\textstyle \operatorname {E} \left[X_{n}^{12}\right]<\infty }$ ${\textstyle \operatorname {E} \left[{\left|X_{n}\right|}^{2+\delta }\right]<\infty }$ ${\textstyle \alpha _{n}=O\left(n^{-5}\right)}$

$${\displaystyle \sum _{n}\alpha _{n}^{\frac {\delta }{2(2+\delta )}}<\infty .}$$

そのようなものの存在は結論を保証する。混合条件における極限定理の百科事典的な扱いについては、(Bradley 2007)を参照。 ${\textstyle \delta >0}$

マーチンゲール差CLT

定理—マルチンゲール は ${\textstyle M_{n}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {E} \left[\left(M_{k}-M_{k-1}\right)^{2}\mid M_{1},\dots ,M_{k-1}\right]\to 1}$n → ∞ の確率では、
• ε > 0 の任意の値に対して、n → ∞ のとき、 ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\operatorname {E} \left[\left(M_{k}-M_{k-1}\right)^{2}\mathbf {1} \left[|M_{k}-M_{k-1}|>\varepsilon {\sqrt {n}}\right]\right]}\to 0}$

は分布収束する。[ ^{18] [19]} ${\textstyle {\frac {M_{n}}{\sqrt {n}}}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\textstyle n\to \infty }$

備考

古典的CLTの証明

中心極限定理は特性関数を用いた証明がある。^{[20]これは（弱）}大数の法則の証明に似ている。

はそれぞれ平均と有限分散を持つ、独立かつ同一分布に従う確率変数であると仮定する。その和は平均と分散 を持つ。確率変数を考える 。 ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ${\textstyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ${\textstyle n\mu }$ ${\textstyle n\sigma ^{2}}$

$${\displaystyle Z_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i},}$$

ここで、最後のステップで、平均0、分散1 （ ）の新しい確率変数を定義しました。の特性関数は次のように与えられます。 ${\textstyle Y_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$ ${\textstyle \operatorname {var} (Y)=1}$ ${\textstyle Z_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Z_{n}}\!(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i}}}\!(t)\ &=\ \varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\varphi _{Y_{2}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\cdots \varphi _{Y_{n}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\\[1ex]&=\ \left[\varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]^{n},\end{aligned}}}$$

ここで、最後のステップでは、すべての が同一分布に従うという事実を利用しました。 の特性関数は、テイラーの定理により、 ${\textstyle Y_{i}}$ ${\textstyle Y_{1}}$ $${\displaystyle \varphi _{Y_{1}}\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\!\left({\frac {t^{2}}{n}}\right),\quad \left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\to 0}$$

ここで、 はよりも速くゼロに近づくの関数を表す「小さなo表記」である。指数関数（）の極限により、の特性関数はに等しい 。 ${\textstyle o(t^{2}/n)}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t^{2}/n}$ ${\textstyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$

$${\displaystyle \varphi _{Z_{n}}(t)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right)^{n}\rightarrow e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}},\quad n\to \infty .}$$

極限では、高次の項はすべて消える。右辺は標準正規分布の特性関数に等しく、レヴィの連続定理から、分布はに近づくことがわかる。したがって、標本平均は ${\textstyle n\to \infty }$ ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\textstyle Z_{n}}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\textstyle n\to \infty }$

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$$

というのは

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)=Z_{n}}$$

は正規分布に収束し、そこから中心極限定理が導かれます。 ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

限界への収束

中心極限定理は漸近分布のみを与える。有限個の観測値に対する近似として、正規分布のピークに近い場合にのみ妥当な近似を与える。裾まで広がるには非常に多くの観測値が必要となる。^[要出典]

中心極限定理における収束は一様である。これは、極限累積分布関数が連続であるためである。もし第三中心モーメント が存在し、それが有限であれば、収束速度は少なくとも のオーダーである（ベリー・エッシーン定理参照）。スタインの方法^[21]は、中心極限定理を証明するだけでなく、選択された計量値に対する収束速度の上限を与えるためにも使用できる。^[22] ${\textstyle \operatorname {E} \left[(X_{1}-\mu )^{3}\right]}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$

正規分布への収束は単調であり、エントロピーは正規分布のエントロピーに単調に増加する。 ^[23] ${\textstyle Z_{n}}$

中心極限定理は、特に、独立かつ同一に分布する離散確率変数の和に適用されます。離散確率変数の和はやはり離散確率変数であるため、累積確率分布関数が連続変数（つまり、正規分布の累積確率分布関数）に対応する累積確率分布関数に収束する一連の離散確率変数に直面することになります。これは、n個の独立した同一の離散変数の和の実現値のヒストグラムを作成すると、ヒストグラムを形成する長方形の上部の面の中心を結ぶ区分線形曲線は、 n が無限大に近づくにつれてガウス曲線に収束することを意味します。この関係は、ド・モアブル・ラプラスの定理として知られています。二項分布の記事では、2 つの値のみを取る離散変数の単純なケースへの中心極限定理のこのような適用について詳しく説明しています 。

よくある誤解

研究によると、中心極限定理にはよくあるが深刻な誤解がいくつかあり、そのいくつかは広く使われている教科書にも記載されている。^{[24] [25] [26]}これには以下のものが含まれる。

• この定理は、反復標本抽出によって母集団から抽出された独立同調確率変数の平均値（または和）ではなく、任意の変数のランダム標本抽出に適用されるという誤った考え。つまり、この定理は、ランダム標本抽出によって、そのような確率変数の平均値（または和）の異なる値から形成される標本分布が生成されることを前提としている。
• 定理は、母集団分布に関わらず、任意の確率変数の十分に大きな標本に対して、ランダムサンプリングによって正規分布が出現することを保証するという誤った考えです。実際には、このようなサンプリングは母集団の特性を漸近的に再現します。これはグリベンコ・カンテリ定理によって裏付けられた直感的な結果です。
• 標本数が約30を超える場合、定理は正規分布の良い近似値を示し、母集団の性質に関わらず信頼性の高い推論を可能にするという誤った考えがあります^[27]。実際には、この経験則には正当な根拠がなく、重大な欠陥のある推論につながる可能性があります。近似値が成立する範囲については、Z検定を参照してください。

大数の法則との関係

大数の法則と中心極限定理は、「n が無限大に近づくにつれて、S n の極限挙動はどうなるか」という一般的な問題に対する部分的な解です。数学的分析_において、漸近級数はこのような質問に取り組むために用いられる最も一般的なツールの 1 つです。

の漸近展開があるとします。 ${\textstyle f(n)}$

$${\displaystyle f(n)=a_{1}\varphi _{1}(n)+a_{2}\varphi _{2}(n)+O{\big (}\varphi _{3}(n){\big )}\qquad (n\to \infty ).}$$

両方の部分をφ ₁ ( n )で割って極限値をとると、展開における最高次の項の係数である 1 が生成されます。これは、f ₍ n )の主要項が変化する速度を表します。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{\varphi _{1}(n)}}=a_{1}.}$$

非公式には、「 f ( n ) は近似的に₁ φ ₁ ( n )として増加する」と言える。 f ( n )とその近似値の差を取り、展開式の次の項で割ると、 f ( n )に関するより洗練された記述が得られる。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)-a_{1}\varphi _{1}(n)}{\varphi _{2}(n)}}=a_{2}.}$$

ここで、関数とその近似値の差は、およそ₂ φ ₂ ( n )に比例して大きくなると言える。これは、関数を適切な正規化関数で割り、その結果の極限挙動を見ることで、元の関数自体の極限挙動について多くのことがわかるという考え方である。

非公式には、古典的な確率論において、独立した同一分布に従うランダム変数X ₁、…、X _nの合計S _nを研究するときに、これに似た現象が起こります。^[要出典] 各X _{i が}有限の平均μを持つ場合、大数の法則により、⁠S _n/n⁠ → μ . ^[28] さらに各X _{i が}有限分散σ ²を持つ場合、中心極限定理により、

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n}}}\to \xi ,}$$

ここでξはN (0, σ ² )として分布する。これは非公式展開の最初の2つの定数の値を与える。

$${\displaystyle S_{n}\approx \mu n+\xi {\sqrt {n}}.}$$

X _{i が}有限の平均または分散を持たない場合、シフトされ再スケールされた合計の収束は、異なる中心化係数およびスケーリング係数でも発生する可能性があります。

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\rightarrow \Xi ,}$$

または非公式に

$${\displaystyle S_{n}\approx a_{n}+\Xi b_{n}.}$$

このようにして生じる分布Ξは安定分布と呼ばれます。^[29] 正規分布は明らかに安定ですが、コーシー分布のように平均や分散が定義されていない他の安定分布も存在します。スケーリング係数b _{n は、任意の}c ≥ ⁠に対してn ^cに比例する場合があります。1/2⁠ ; また、 nのゆっくり変化する関数を乗じることもできる。 ^{[30] [31]}

反復対数法則は、大数の法則と中心極限定理の「間」で何が起こっているかを規定する。具体的には、大数の法則のnと中心極限定理の√nの中間の大きさを持つ正規化関数√n log log nが、非自明な極限挙動を示すことを述べている。

定理の別の表現

密度関数

2つ以上の独立変数の和の密度は、それらの密度の畳み込みである（もしこれらの密度が存在するならば）。したがって、中心極限定理は、畳み込みの下での密度関数の特性に関する記述として解釈することができる。すなわち、密度関数の数が無制限に増加するにつれて、複数の密度関数の畳み込みは正規密度に近づく。これらの定理は、上記の中心極限定理の形式よりも強い仮定を必要とする。この種の定理はしばしば局所極限定理と呼ばれる。独立かつ同一分布に従う確率変数の和に関する特定の局所極限定理については、 Petrov ^{[32] を}参照のこと。

特性関数

畳み込みの特性関数は、関係する密度関数の特性関数の積であるため、中心極限定理はさらに別の言い方で言い換えられる。すなわち、上記の条件の下では、密度関数の数が無限に増加するにつれて、複数の密度関数の特性関数の積は、正規密度関数の特性関数に近づく。具体的には、特性関数の引数に適切なスケーリング係数を適用する必要がある。

特性関数は本質的にフーリエ変換であるため、フーリエ変換についても同等のことが言えます。

分散の計算

S _{n を}n個の確率変数の和とする。多くの中心極限定理は、S _n / √ Var( S _n )がn → ∞のときにN (0,1)（平均0、分散1の正規分布）に分布収束するという条件を与えている。場合によっては、定数σ ²と関数f(n)が、 S _n /(σ √ n⋅f ( n ) )がn → ∞のときにN (0,1)に分布収束するような値となることが期待される。

補題^[33] —は 、すべての、、およびに対して、実数値かつ厳密に定常な確率変数の列であるとする。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}g\left({\tfrac {i}{n}}\right)X_{i}}$

$${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X_{1}^{2})+2\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} (X_{1}X_{1+i})}$$

1. が絶対収束する場合、 となり、 となります。ここで です。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} (X_{1}X_{1+i})}$ ${\displaystyle \left|\int _{0}^{1}g(x)g'(x)\,dx\right|<\infty }$ ${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}(g(x))^{2}dx<\infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Var} (S_{n})/(n\gamma _{n})\to \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(g\left({\tfrac {i}{n}}\right)\right)^{2}}$
2. さらに、がに分布収束する場合、もに分布収束します。 ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {\mathrm {Var} (S_{n})}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle S_{n}/(\sigma {\sqrt {n\gamma _{n}}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

拡張機能

正の確率変数の積

積の対数は、単に各因子の対数の和です。したがって、正の値のみを取る確率変数の積の対数が正規分布に近づく場合、積自体は対数正規分布に近づきます。多くの物理量（特に質量や長さはスケールの問題であり、負の値にはなり得ません）は、異なる確率因子の積であるため、対数正規分布に従います。この中心極限定理の乗法バージョンは、ジブラの法則と呼ばれることもあります。

確率変数の和に対する中心極限定理は有限分散の条件を必要とするが、積に対する対応する定理は密度関数が二乗積分可能であるという対応する条件を必要とする。^[34]

古典的な枠組みを超えて

漸近正規性、すなわち適切なシフトと再スケーリングを経た正規分布への収束は、上で扱った古典的な枠組み、すなわち独立確率変数（またはベクトル）の和よりもはるかに一般的な現象です。新しい枠組みが時折提示されますが、現時点では統一的な枠組みは存在しません。

凸体

定理—次の式が成り立つような系列ε _n ↓ 0が存在_する。n ≥ 1とし、確率変数X 1 _, ... , X _nが_対数凹 結合 _密度fを持ち、すべてのx _{1 ,} ... , x n _、およびE ( X²
_キロ) = 1 がすべてのk = 1, ..., nに対して成り立つ。すると、

$${\displaystyle {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{\sqrt {n}}}}$$

ε _nは全変動距離においてに近い。^[35] ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

これら2つのε _nに近い分布は密度（実際には対数凹密度）を持つため、それらの間の全分散距離は、密度間の差の絶対値の積分となります。全分散の収束は、弱い収束よりも強い収束です。

対数凹密度の重要な例として、与えられた凸体の内側では関数が定数で外側では消えるというものがあります。これは凸体上の均一分布に対応し、「凸体の中心極限定理」という用語を説明しています。

別の例: f ( x ₁ , ..., x _n ) = const · exp(−(| x ₁ | ^α + ⋯ + | x _n | ^α ) ^β ) 。ここでα > 1かつαβ > 1 。β = 1の場合、 f ( x ₁ , ..., x _n )はconst · exp (−| x ₁ | ^α ) … exp(−| x _n | ^α )に因数分解され、 X 1 _、 ...、X _nは独立であることを意味します。ただし、一般的には、それらは従属しています。

条件f ( x ₁ , ..., x _n ) = f (| x ₁ |, ..., | x _n |)は、 X ₁ , ..., X _nが平均ゼロで相関がないことを保証する。^{[引用が必要]}しかし、それらは独立である必要はなく、ペアワイズ独立である必要もない。^{[引用が必要]}ところで、古典的な中心極限定理において、ペアワイズ独立性は独立性を置き換えることはできない。^[36]

以下はベリー・エッシーン型の結果です。

定理- X ₁ , ..., X _{n が}前の定理の仮定を満たすとすると、 ^[37]

$${\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(a\leq {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\leq b\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt\right|\leq {\frac {C}{n}}}$$

全てのa < bに対して、Cは普遍的（絶対的）定数である。さらに、任意のc ₁ , ..., c _n ∈ Rに対して、c²
₁+ ⋯ + c²
_n= 1、

$${\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(a\leq c_{1}X_{1}+\cdots +c_{n}X_{n}\leq b\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt\right|\leq C\left(c_{1}^{4}+\dots +c_{n}^{4}\right).}$$

⁠の分布X ₁ + ⋯ + X _n/√n​⁠ は近似的に正規分布である必要はない（実際、一様分布になることもある）。 ^[38]しかし、球面c上の一様分布に従うと、ほとんどのベクトル（c ₁、…、c _n）に対して、 c ₁ X ₁ + ⋯ + c _n X _nの分布は（全変動距離において）に近い ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$²
₁+ ⋯ + c²
_n= 1。

空隙三角級数

定理（セーラム・ジグムント）— Uを（0,2π）上に一様分布する確率変数とし、X _k = r _k cos( n _k U + a _k )とする。ここで

• n _{k は}空隙条件を満たす：すべてのkに対してn _{k + 1} ≥ qn _kとなるようなq > 1が存在する。
• r _kは、
  $${\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots =\infty \quad {\text{ and }}\quad {\frac {r_{k}^{2}}{r_{1}^{2}+\cdots +r_{k}^{2}}}\to 0,}$$
• 0 ≤ a _k < 2π。

その後^{[39] [40]}

$${\displaystyle {\frac {X_{1}+\cdots +X_{k}}{\sqrt {r_{1}^{2}+\cdots +r_{k}^{2}}}}}$$

分布的に に収束します。 ${\textstyle {\mathcal {N}}{\big (}0,{\frac {1}{2}}{\big )}}$

ガウス多面体

定理— A ₁ , ..., A _{n を}平面R ²上の独立なランダム点とし、それぞれが2次元標準正規分布に従うものとする。K n_をこれらの点の凸包とし、X _{n を}K _nの面積とする。すると^[41]

$${\displaystyle {\frac {X_{n}-\operatorname {E} (X_{n})}{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{n})}}}}$$nが無限大に近づくにつれて分布的に収束します。 ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

2 より大きいすべての次元でも同じことが当てはまります。

多面体K _nはガウスランダム多面体と呼ばれます。

同様の結果は、ガウス多面体の頂点数、辺の数、そして実際にはあらゆる次元の面の数にも当てはまります。^[42]

直交行列の線形関数

行列Mの線形関数は、その要素（与えられた係数を持つ）の線形結合、M ↦ tr( AM )です。ここで、Aは係数の行列です。「トレース (線形代数)#内積」を参照してください。

ランダム直交行列は、その分布が直交群O( n , R )上の正規化されたハール測度である場合、均一に分布していると言われます。回転行列#均一ランダム回転行列を参照してください。

定理— M を一様分布するランダムなn × n直交行列とし、A を固定されたn × n行列でtr( AA *) = nとし、X = tr( AM )とします。すると^[43] Xの分布は、全変動計量において^{[明確化が必要]}までほぼ等しくなります。 ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ 2√3​​/n − 1⁠。

部分列

定理—確率変数X ₁ , X ₂ , ... ∈ L ₂ (Ω)がL ₂ (Ω)において弱くX _n → 0 となり、X
_n→ 1 がL ₁ (Ω)において弱く成り立つ。すると、整数n ₁ < n ₂ < ⋯が存在し、

$${\displaystyle {\frac {X_{n_{1}}+\cdots +X_{n_{k}}}{\sqrt {k}}}}$$

kが無限大に近づくにつれて分布収束する。^[44] ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

結晶格子上のランダムウォーク

中心極限定理は結晶格子（有限グラフ上の無限倍アーベル被覆グラフ）上の単純ランダムウォークに対して確立され、結晶構造の設計に用いられる。 ^{[45] [46]}

アプリケーションと例

中心極限定理の簡単な例として、多数の同じ偏りのないサイコロを振ることが挙げられます。出た目の和（または平均）の分布は、正規分布でよく近似されます。現実世界の量は、観測されていない多くのランダム事象の均衡和であることが多いため、中心極限定理は正規確率分布が広く見られる理由を部分的に説明します。また、制御された実験において、大規模標本統計量を正規分布に近似することも正当化します。

二項分布を用いた別のシミュレーションです。ランダムな0と1を生成し、1から2048までのサンプルサイズでそれらの平均値を計算しました。サンプルサイズが大きくなるにつれて、裾が細くなり、分布が平均値の周辺に集中するようになることに注意してください。

回帰

回帰分析、特に最小二乗法は、従属変数が何らかの関数に従って1つ以上の独立変数に依存し、加法的な誤差項を伴うことを規定します。回帰分析に関する様々な統計的推論では、誤差項が正規分布すると仮定しています。この仮定は、誤差項が実際には多くの独立した誤差項の和であると仮定することで正当化されます。個々の誤差項が正規分布しない場合でも、中心極限定理により、それらの和は正規分布で十分に近似できます。

その他のイラスト

統計学におけるその重要性を考えると、中心極限定理に含まれる収束性を証明する論文やコンピュータパッケージが数多く存在する。^[47]

歴史

オランダの数学者ヘンク・タイムスは次のように書いている: ^[48]

中心極限定理には興味深い歴史があります。この定理の最初のバージョンは、フランス生まれの数学者アブラアン・ド・モアブルによって提唱されました。彼は1733年に発表された注目すべき論文の中で、正規分布を用いて、公平なコインを何度も投げた際に表が出る回数の分布を近似しました。この発見は当時をはるかに先取りしており、1812年に出版されたフランスの著名な数学者ピエール＝シモン・ラプラスの金字塔『確率分析理論』によって、この発見が忘れ去られるまで、ほとんど忘れ去られていました。ラプラスは、二項分布を正規分布で近似することで、ド・モアブルの発見を拡張しました。しかし、ド・モアブルと同様に、ラプラスの発見も彼の時代にはほとんど注目されませんでした。中心極限定理の重要性が認識されたのは、19世紀末になってからでした。1901年、ロシアの数学者アレクサンドル・リャプノフが中心極限定理を一般的な言葉で定義し、数学的にどのように機能するかを正確に証明したのです。今日では、中心極限定理は確率論における非公式の権威とみなされています。

フランシス・ゴルトン卿は中心極限定理を次のように説明しました。^[49]

「誤りの頻度の法則」によって表現される驚異的な宇宙秩序ほど、想像力を掻き立てるものを私はほとんど知らない。もしギリシャ人がこの法則を知っていたなら、擬人化され、神格化されたであろう。この法則は、最も激しい混乱の中にあっても、静謐に、そして完全に自己を隠蔽して君臨する。群衆が巨大であればあるほど、そして見かけ上の無秩序が大きければ大きいほど、その支配はより完璧なものとなる。これは不合理の至高の法則である。混沌とした要素の大きなサンプルを取り上げ、その大きさの順序に従って並べてみると、そこには思いもよらぬ、そして最も美しい形の規則性が、ずっと前から潜んでいたことが明らかになる。

「中心極限定理」（ドイツ語：zentraler Grenzwertsatz）という用語自体は、 1920年にジョージ・ポリアが論文のタイトルで初めて使用しました。^{[50] [51]}ポリアは、確率論におけるその重要性から、この定理を「中心」と呼びました。ル・カムによれば、フランス確率学派は「中心」という言葉を「分布の裾ではなく中心の挙動を記述する」という意味で解釈しています。^[51]ポリア^[50]が1920年に発表した論文「確率積分学の中心極限定理とモーメント問題」の要約は、以下のように翻訳されています。

繰り返し実験、測定誤差（非常に多くの基本誤差と非常に小さな基本誤差の組み合わせにつながる）、拡散過程などにおいて、ガウス確率密度1 = e ^{− x 2}が発生する現象は、よく知られているように、まさにこの極限定理によって説明できます。この極限定理は確率論において中心的な役割を果たしています。この極限定理の実際の発見者はラプラスです。その厳密な証明はチェビシェフによって初めて与えられ、私の知る限り、最も明確な定式化はリアポウノフの論文に見出すことができます。…

ラプラスの基礎研究およびコーシー、ベッセル、ポアソンの貢献を詳述した定理の歴史の徹底的な説明は、ハルドによって提供されています。^[52]ハンス・フィッシャーは、ラプラスからコーシーへの発展をカバーし、もう1つは1920年代のフォン・ミーゼス、ポリア、リンデバーグ、レヴィ、クラマーの貢献をカバーする2つの歴史的説明を提供しています。 ^[53]ル・カムは1935年頃の期間について説明します。 ^[51]バーンスタイン^{[54]は、一般的な設定でCLTの最初の証明につながった}パフヌティ・チェビシェフと彼の学生アンドレイ・マルコフとアレクサンドル・リャプノフの仕事に焦点を当てた歴史的議論を示しています。

中心極限定理の歴史における興味深い脚注として、1922年のリンデバーグ中心極限定理に類似した結果の証明が、アラン・チューリングが1934年にケンブリッジ大学キングス・カレッジのフェローシップ論文のテーマとしていたことが挙げられます。チューリングは論文を提出した後に初めて、それが既に証明されていたことを知りました。そのため、チューリングの論文は出版されませんでした。^[55]

参照

• 漸近等分割性
• 漸近分布
• ベイツ分布
• ベンフォードの法則– CLT をランダム変数の積に拡張した結果。
• ベリー・エッシーン定理
• 方向統計の中心極限定理– 方向統計の場合に適用される中心極限定理
• デルタ法- ランダム変数の関数の極限分布を計算します。
• エルデシュ・カッツ定理– 整数の素因数の数と正規確率分布を結び付ける
• フィッシャー・ティペット・グネデンコの定理– 極値定理（max{ X _n }など）
• アーウィン・ホール分布
• マルコフ連鎖の中心極限定理
• 正規分布
• トゥイーディー収束定理- 中心極限定理とポアソン収束定理の橋渡しとなる定理^[56]
• ドンスカーの定理

注記

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外部リンク

• カーンアカデミーの中心極限定理
• 「中心極限定理」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• ワイスタイン、エリック・W.「中心極限定理」。MathWorld。
• カール・マクタグによるゴルトンボードを使った中心極限定理を説明するミュージックビデオ

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