カッシーニ投影図

Cylindrical equidistant map projection

カッシーニによる世界の投影

1,000 km の指標を使用したカッシーニ投影法

カッシーニ投影の世界は、偏平率が1:2（=離心率√3 ⁄ 2 ）の非常に扁平な楕円体としてモデル化されています。

カシニ図法（カシニ・ゾルドナー図法、ゾルドナー図法^[1]とも呼ばれる）は、1745年にセザール＝フランソワ・カシニ・ド・テュリーによって初めて近似的に記述された地図投影法である。その正確な公式は、 1810年頃にヨハン・ゲオルク・フォン・ゾルドナーによる解析によって発見された。 ^[2]これは、地球儀をまず中心子午線が「赤道」になるように回転させ、次に通常の正距円筒図法を適用するという点で、正距円筒図法の横方向の側面である。地球を球体とみなすと、この投影は以下の操作で構成される。

${\displaystyle x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\operatorname {atan2} (\sin \varphi ,\cos \varphi \cos \lambda )\\&=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right)\qquad {\text{restricted to }}-{\tfrac {\pi }{2}}<\lambda <{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

ここで、λは中心子午線からの経度、φは緯度です。これらの式をプログラミングする際に使用される逆正接関数は、実際にはatan2関数であり、最初の引数は sin  φ、2番目の引数はcos φ cos λ です。

逆操作は次の操作で構成されます。

${\displaystyle \varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatorname {atan2} (\tan x,\cos y).}$

実際には、この投影法は常に地球の楕円体モデルに適用されてきました。これは数学的発展を非常に複雑にしますが、測量には適しています。しかしながら、少なくとも中央の地図作成機関においては、カッシーニ図法の使用は横メルカトル図法にほぼ取って代わられました。

歪み

中心子午線に沿った地域、およびそれに直角な地域は歪みません。それ以外の地域では、歪みは主に南北方向に発生し、中心子午線からの距離の2乗に比例して変化します。そのため、地域の経度範囲が広いほど、歪みは大きくなります。

このため、カシニ図法は東西よりも南北に広い地域に最適です。例えば、 イギリスの陸地測量部地図は、1924年からナショナルグリッドが導入されるまでカシニ図法を使用していました。^{[3] [4]}

楕円形

カッシーニは球面投影として知られていますが、楕円形として一般化することもできます。

地球を楕円形とみなすと、投影は次の操作で構成されます。

${\displaystyle N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{-1/2}}$

${\displaystyle T=\tan ^{2}\varphi }$

${\displaystyle A=\lambda \cos \varphi }$

${\displaystyle C={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi }$

${\displaystyle x=N\left(A-T{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120}}\right)}$

${\displaystyle y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)}$

Mは子午線距離関数です。

逆操作は次の操作で構成されます。

${\displaystyle \varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)}$

もしそうならそして ${\displaystyle \varphi '={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi '}$ ${\displaystyle \lambda =0.}$

それ以外の場合は、上と同様にTとNを計算し、 ${\displaystyle \varphi '}$

${\displaystyle R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}}$

${\displaystyle D=x/N}$

${\displaystyle \varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}}$

参照

• カッシーニグリッド

参考文献

1. 「カッシーニ・ゾルトナー – ヘルプ」Environmental Systems Research Institute, Inc. 2016年6月9日閲覧。
2. 『地球の平坦化：地図投影の2000年』、ジョン・P・スナイダー、1993年、74～76ページ、 ISBN 0-226-76747-7。
3. ウィンターボサム、ハロルド・セント・ジョン・ロイド (1925). 「スコットランド陸地測量局『普及版』1インチ地図. レビュー」.地理学ジャーナル. 65 (2): 160– 162. JSTOR  1782246.
4. Monkhouse, FJ (1950). 「新陸地測量地図シリーズ：縮尺1:25,000」.都市計画評論. 21 : 70–81 . JSTOR  40102113.

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおけるカッシーニの投影に関するメディア
• radicalcartography.net からのすべての一般的な投影法の例と特性の表
• カッシーニ計画に関する陸地測量局のGeoFacts
• カッシーニ計画4

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