中心化マトリックス

Kind of matrix

数学および多変量統計学において、中心化行列^[1]は対称かつべき等な行列であり、ベクトルと乗算すると、そのベクトルの各要素からベクトルの要素の平均を減算するのと同じ効果があります。

意味

サイズnの中心行列は、 n行n列の行列として定義される。

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

ここで、 はサイズnの単位行列であり、はすべて 1 のn行n列の行列です。 ${\displaystyle I_{n}\,}$ ${\displaystyle J_{n}}$

例えば

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$、

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

プロパティ

大きさnの列ベクトルが与えられたとき、の中心化特性は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ ${\displaystyle C_{n}\,}$

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

ここで、 は1 の列ベクトルであり、の成分の平均です。 ${\displaystyle J_{n,1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$

${\displaystyle C_{n}\,}$は対称半正定値です。

${\displaystyle C_{n}\,}$はべき等なので、に対して となります。平均値が除去されるとゼロになり、再度除去しても効果はありません。 ${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle C_{n}\,}$は特異です。変換を適用した結果を元に戻すことはできません。 ${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$

${\displaystyle C_{n}\,}$多重度n −1の固有値1 と多重度1の固有値0を持ちます。

${\displaystyle C_{n}\,}$ベクトルに沿って、次元 1 のヌル空間を持ちます。 ${\displaystyle J_{n,1}}$

${\displaystyle C_{n}\,}$は直交射影行列である。つまり、は零空間に直交する( n  −1)次元部分空間への射影である。（これは、成分の和がゼロになるすべてのnベクトルの部分空間である。） ${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ ${\displaystyle J_{n,1}}$

の痕跡はです。 ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$

応用

中心化行列の乗算は、ベクトルから平均を取り除く計算効率の悪い方法ですが、便利な解析ツールです。単一のベクトルの平均を取り除くだけでなく、m行n列の行列の行または列に格納された複数のベクトルの平均を取り除くこともできます。 ${\displaystyle X}$

左辺の を掛け合わせると、 n列のそれぞれから対応する平均値が減算されるため、積の各列の平均はゼロになります。同様に、右辺の を掛け合わせると、 m行のそれぞれから対応する平均値が減算されるため、積の各行の平均はゼロになります。両辺の掛け合わせにより、行と列の平均がゼロになる二重中心行列 が作成されます。 ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle C_{m}\,X}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle X\,C_{n}}$ ${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$

中心化行列は、特にデータサンプル （はサンプル平均 ）の散布行列 （ ）を簡潔に表現する方法を提供します。中心化行列により、散布行列をより簡潔に次のように表現できます。 ${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$は、多項分布の共分散行列です。この分布のパラメータが、およびである特殊なケースです。 ${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$

参考文献

1. ジョン・I・マーデン著『ランクデータの分析とモデリング』チャップマン＆ホール、1995年、ISBN 0-412-99521-2、59ページ。

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