トライアングルセンター

幾何学において、三角形の中心（さんかくしん）とは、三角形の平面上において、ある意味で三角形の中心に位置する点のことである。例えば、重心、外心、内心、垂心は古代ギリシャ人にとって馴染み深いものであり、簡単な作図によって求めることができる。

これらの古典的な中心はそれぞれ、相似変換に対して不変（より正確には同変）であるという性質を持つ。言い換えれば、任意の三角形と任意の相似変換（回転、鏡映、拡大、平行移動など）において、変換された三角形の中心は、元の三角形の変換された中心と同じ点になる。この不変性は三角形の中心を定義する性質である。これは、鏡映に対して不変ではないブロカール点などの他のよく知られた点を排除し、三角形の中心としての資格を満たさない。

正三角形では、すべての三角形の中心はその重心で一致します。しかし、他のすべての三角形では、三角形の中心は一般的に互いに異なる位置にあります。数千もの三角形の中心の定義と性質は、「三角形の中心百科事典」にまとめられています。

歴史

古代ギリシャ人は三角形の典型的な中心を発見しましたが、三角形の中心の定義は定式化していませんでした。古代ギリシャの後、フェルマー点、九点中心、ルモワーヌ点、ジェルゴンヌ点、フォイエルバッハ点など、三角形に関連するいくつかの特別な点が発見されました

1980年代に三角形幾何学への関心が再燃した際、これらの特別な点がいくつかの一般的な性質を共有していることが注目され、それが三角形の中心の正式な定義の基礎となりました。^[1]^[2] Clark KimberlingのEncyclopedia of Triangle Centersには、50,000以上の三角形の中心の注釈付きリストが掲載されています。 ^[3]Encyclopedia of Triangle Centersのすべての項目は、またはで示されます。ここで、は項目の位置インデックスです。たとえば、三角形の重心は2番目の項目であり、またはで示されます。 $X(n)$ $X_{n}$ $n$ $X(2)$ $X_{2}$

正式な定義

3つの実変数 $a、b、cを持つ$ 実数値関数 f $は$ 、以下の性質を持つ場合があります

均質性:ある定数 $n$ とすべての $t$ $> 0$ に対して。 $f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)$
2番目と3番目の変数の左右対称性: $f(a,b,c)=f(a,c,b).$

非零の $fが$ これらの両方の性質を持つ場合、それは三角形の中心関数と呼ばれます。fが三角形の中心関数であり、a、b、cが基準三角形の辺の長さである場合 $、$ 三 $線$ 座標がである点は三角形の中心と呼ばれます。 $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

この定義により、相似三角形の中心は上記の不変性基準を満たすことが保証されます。慣例により、三角形の中心の3つの三線座標のうち最初の座標のみが引用されます。残りの2つは $a、b、c$ の巡回置換によって得られるためです。このプロセスは巡回性として知られています。^[4]^[5]

三角形の中心関数はどれも、唯一の三角形の中心に対応します。この対応は一対一ではありません。異なる関数が同じ三角形の中心を定義することもあります。例えば、関数とはどちらも重心に対応します。2つの三角形の中心関数が同じ三角形の中心を定義するのは、それらの比が $a、b、c$ に関して対称な関数である場合のみです。 $f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}$ $f_{2}(a,b,c)=bc$

三角形の中心関数があらゆる点で明確に定義されているとしても、それに対応する三角形の中心については必ずしも同じことが言えるとは限りません。例えば、⁠ ⁠と⁠ ⁠が両方とも有理数の場合に 0 を、そうでない場合は 1 とします。すると、整数辺を持つ任意の三角形について、対応する三角形の中心は 0:0:0 と評価され、これは未定義です。 $f(a,b,c)$ ${\tfrac {a}{b}}$ ${\tfrac {a}{c}}$

デフォルトドメイン

これらの関数は、 ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{3}.$ 全体で定義されていない場合があります。例えば、三角形の中心百科事典の365番目の項目であるX ₃₆₅の三線は、 $a、b、cが$ 負になることはありません。さらに、三角形の辺を表すには、三角不等式を満たす必要があります。そのため、実際には、すべての関数の定義域は⁠ ⁠の領域に制限されます。ここで、この領域 $T$ はすべての三角形の定義域であり、すべての三角形ベースの関数のデフォルトの定義域です。 $a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.$

その他の有用な領域

$分析をT$ よりも狭い領域に制限することが望ましい場合がいくつかある。例えば：

中心X ₃、X ₄、X ₂₂、X ₂₄、X _40は、鋭角三角形、つまり $T$ の領域を指します。 $a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.$
フェルマー点とX ₁₃を区別する場合、角度が 2π/3 を超える三角形の定義域が重要です。言い換えると、次のいずれかが当てはまる三角形です。

$a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.$

$T$ に稠密でありながら、自明な三角形（つまり点）と退化した三角形（つまり直線）をすべて除外するため、非常に実用的な価値を持つ定義域が、不等辺三角形全体の集合である。これは、 $T$ から平面 $b = c$ 、 $c = a$ 、 $a = b$ を除去することによって得られる。

領域対称性

すべての部分集合 $D \subseteq T$ が有効な領域であるとは限りません。双対称性テストを支持するためには、 $D は$ 平面 $b = c$ 、 $c = a$ 、 $a = bについて対称でなければなりません。巡回性を支持するためには、直線$ $a = b = c$ の周りの 2π/3 回転に対して不変でなければなりません。最も単純な領域は直線 $(t, t, t)$ であり、これはすべての正三角形の集合に対応します

例

外心

$三角形△ ABC$ の辺の垂直二等分線の交わる点が外心です。外心の三線座標は

$a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

$f$ は同次かつ左右対称であることが示せる。したがって、 $f$ は三角形の中心関数である。対応する三角形の中心は外心と同じ三線分を持つので、外心は三角形の中心であることがわかる。 $f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$ ${\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}$

第一等角中心

$△ A'BCを$ 底辺 $BC$ 、頂点 $A'を$ $BC$ の負の側にある正三角形とし、 $△ AB'C$ と $△ ABC'を$ $三角形△ ABC$ の他の2辺に基づいて同様に作図された正三角形とします。すると、線分 $AA'、BB'、CC'$ は交わり、交わる点が第一等角中心となります。その三線座標は

$\csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).$

$これらの座標をa、b、c$ で表すと、三角形の中心の座標の定義特性を確かに満たしていることが確認できます。したがって、第1等角中心も三角形の中心となります。

フェルマー点

としましょう

f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C\leq 2\pi /3\end{cases}}

すると、 $f は$ 左右対称かつ同次なので、三角形の中心関数となります。さらに、対応する三角形の中心は、頂点角が2π/3を超える場合は鈍角の頂点と一致し、それ以外の場合は第1等角中心と一致します。したがって、この三角形の中心はフェルマー点に他なりません

非例

ブロカール点

最初のブロカール点の三線座標は次の通りです。これらの座標は同次性と巡回性を満たしますが、双対称性は満たしません。したがって、最初のブロカール点は（一般に）三角形の中心ではありません。2番目のブロカール点の三線座標は次の通りです。同様の注釈が当てはまります。 ${\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}$ ${\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}$

第一ブロカール点と第二ブロカール点は、多くの双心点対^[6]の一つである。双心点対とは、三角形から定義される点対であり、三角形の相似性によって（個々の点ではなく）その対が保存される性質を持つ。中点演算や三線積演算などの二項演算を、他の双心点対と同様に、この二つのブロカール点に適用することで、三角形の中心が得られる。

よく知られている三角形の中心

古典的な三角形の中心

ETC参照; 名称; 記号			三線座標	説明
× ₁	内心	$I$	$1:1:1$	角の二等分線の交点。三角形の内接円の中心。
X ₂	重心	$G$	$bc:ca:ab$	中線の交点。一様三角形の板の重心
× ₃	外心	$○$	$\cos A:\cos B:\cos C$	辺の垂直二等分線の交点。三角形の外接円の中心
X ₄	垂心	$H$	$\sec A:\sec B:\sec C$	高度の交点
X ₅	九点中心	$北$	$\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)$	各辺の中点、各高低の足、垂心と各頂点の中点を通る円の中心
X ₆	対称点	$K$	$a:b:c$	対称中線の交点 - 各中線を対応する角の二等分線について反射する点
X ₇	ジェルゴンヌ点	$G e$	${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$	各頂点と内接円が反対側に接する点を結ぶ線の交点。
X ₈	ナーゲル点	$N a$	${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$	各頂点と外接円が反対側の辺に接する点とを結ぶ線分の交点
X ₉	中間点	$M$	$(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)$	外心三角形の対称中点（およびそれと同等の様々な定義）。
× ₁₀	シュピーカー中心	$S p$	$bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b)$	中心三角形の内心。均一な三角形のワイヤーフレームの重心。
X ₁₁	フォイエルバッハ点	$F$	$1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B)$	9点円が内接円に接する点
× ₁₃	フェルマー点	$X$	$\csc(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{3}}).$ ^[a]	頂点からの距離の合計が最小となる点。
× ₁₅ × ₁₆	等力点	$S S'$	${\begin{aligned}\sin(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(C+{\tfrac {\pi }{3}})\\\sin(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sin(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$	三角形を正三角形に変える反転中心
X ₁₇ X ₁₈	ナポレオン点	$N N'$	${\begin{aligned}\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\\\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$	外側（第一ナポレオン点）または内側（第二ナポレオン点）を向いた正三角形の中心と各頂点を結ぶ線の交点。反対側に位置します
X ₉₉	シュタイナー点	$S$	${\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}$	様々な同等の定義

最近の三角形の中心

以下の比較的新しい三角形の中心の表では、各点について具体的な表記は示されていません。また、各中心については、最初の三線座標 f(a,b,c) のみが示されています。他の座標は、三線座標の巡回性を利用して簡単に導出できます。

ETC参照番号：名称		センター機能 $f(a,b,c)$	記載年
X ₂₁	シフラー点	${\frac {1}{\cos B+\cos C}}$	1985
X ₂₂	エクセター点	$a(b^{4}+c^{4}-a^{4})$	1986
X ₁₁₁	パリーポイント	${\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}$	1990年代初頭
X ₁₇₃	合同な等角線点	$\tan {\tfrac {A}{2}}+\sec {\tfrac {A}{2}}$	1989
X ₁₇₄	Yff合同中心	$\sec {\tfrac {A}{2}}$	1987
× ₁₇₅	等周点	$\sec {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}-1$	1985
× ₁₇₉	第一アジマ・マルファッティ点	$\sec ^{4}{\tfrac {A}{4}}$
X ₁₈₁	アポロニウス点	${\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}$	1987
X ₁₉₂	等しい平行線は点	$bc(ca+ab-bc)$	1961
X ₃₅₆	モーリーセンター	$\cos {\tfrac {A}{3}}+2\cos {\tfrac {B}{3}}\cos {\tfrac {C}{3}}$	1978 ^[7]
360_倍	ホフスタッターの零点	${\frac {A}{a}}$	1992

三角形の中心の一般類

キンバーリング・センター

32,000以上の三角形の中心を収録したオンライン百科事典を作成したクラーク・キンバーリングに敬意を表し、百科事典に掲載されている三角形の中心は総称してキンバーリング・センターと呼ばれています。^[8]

多項式三角形の中心

三角形の中心 $Pは、$ $P$ の三線座標が $a、b、c$ の多項式で表せる場合、多項式三角形の中心と呼ばれます

正三角形の中心

三角形の中心 $Pは、$ $P$ の三線座標が $△、$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ の多項式で表せる場合、正三角形の点と呼ばれます。ここで $、△$ は三角形の面積です

三角形の長中心

三角形の中心 $P$ は、 Pの三線座標が、 ⁠ ⁠が角度 $X$ のみの関数であり、他の角度や辺の長さに依存しない形で表せる場合、三角形の長中心と呼ばれます。^[9] $f(A):f(B):f(C)$ $f(X)$

超越三角形の中心

三角形の中心 $Pは$ $、代数関数$ $a、b、c$ のみを用いた三線表現を持たない場合、 超越三角形の中心と呼ばれます

その他

二等辺三角形と正三角形

$f$ を三角形の中心関数とします。三角形の2辺が等しい場合（例えば $a = b$ ）、対応する三角形の中心の2つの成分は常に等しくなります。したがって、二等辺三角形のすべての三角形の中心は、その対称線上になければなりません。正三角形の場合、3つの成分すべてが等しいため、すべての中心は重心と一致します。したがって、円と同様に、正三角形には唯一の中心があります ${\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}$

外心

としましょう $f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}$

これは三角形の中心関数であることが容易にわかり、（三角形が不等辺三角形である場合）対応する三角形の中心は、最大の頂角の反対側の外心です。他の2つの外心も同様の関数で選ぶことができます。しかし、上で示したように、二等辺三角形の外心は1つだけであり、正三角形の外心はどれも三角形の中心になることはできません

双反対称関数

関数 $f$ が双反対称関数である場合、そのような関数が非零かつ同次であれば、その写像は三角形の中心関数であることが容易にわかります。対応する三角形の中心は、このため、三角形の中心関数の定義には、非零の同次双反対称関数が含まれると解釈されることがあります $f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.$ $(a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)$ $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).$

古いセンターから新しいセンターへ

任意の三角形中心関数 $f は$ $、a、b、cの対称関数を$ $n$ $= 0$ となるように掛け合わせることで正規化できます。正規化された三角形中心関数は、元の三角形中心と同じ三角形中心を持ち、さらに、ゼロ関数と組み合わせることで、加算、減算、乗算の代数を形成するというより強い性質を持ちます。これにより、新しい三角形中心を簡単に作成できます。ただし、異なる正規化された三角形中心関数が同じ三角形中心を定義することがよくあります。例えば、 $f$ と $f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).$ $(abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.$

興味のない中心

$a、b、c$ を実変数とし、 $α、β、γを$ 任意の3つの実定数とします

$f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}$

すると、 $f$ は三角形の中心関数となり、 $α : β : γ$ は、基準三角形の辺が $a < b < c$ となるようにラベル付けされているときに対応する三角形の中心となります。したがって、すべての点は三角形の中心となる可能性があります。しかし、ほとんどの連続関数があまり重要でないのと同様に、三角形の中心の大部分はそれほど重要ではありません。

重心座標

$f$ が三角形の中心関数であれば、 $af$ も三角形の中心関数であり、対応する三角形の中心はである。これらはまさに $f$ に対応する三角形の中心の重心座標であるため、三角形の中心は三線座標系ではなく重心座標系で定義することも同様に可能である。実際には、ある座標系から別の座標系に切り替えることは難しくない。 $a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).$

連星系

フェルマー点と第1等角中心以外にも、中心対が存在します。X 3 と接三角形の内心によって形成される別の連星系もあります。_三角形の中心関数が次のように与えられるとします

$f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}$

対応する三角形の中心には 4 つの異なる可能性があります。最初の中心は外心でもあることに注意してください。 ${\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}$

通常の計算で、これらの三線はいずれの場合も接三角形の内心を表すことがわかります。つまり、この点は外心に近い三角形の中心です。

対称性と不変性

三角形を鏡映すると、辺の順序が逆になります。図では、座標は $(c, b, a)$ 三角形を指し、（区切り文字として「|」を使用）任意の点の鏡映はです。f $が$ 三角形の中心関数である場合、その三角形の中心の鏡映はであり、対称性により、これは同じになります。これは、 $($ $c$ $,$ $b$ $,$ $a$ $)$ 三角形に対する $f$ に対応する三角形の中心でもあるため、対称性により、すべての三角形の中心は鏡映に対して不変であることが保証されます。回転と並進は二重鏡映と見なすことができるため、それらも三角形の中心を保存する必要があります。これらの不変性は、定義の正当性を提供します $\gamma :\beta :\alpha$ $\gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .$ $f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),$ $f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).$

代替用語

膨張の別名には、均一スケーリング、等方性スケーリング、相似性、相似性などがあります

非ユークリッド幾何学およびその他の幾何学

三角形の中心の研究は伝統的にユークリッド幾何学に関係しているが、三角形の中心は非ユークリッド幾何学でも研究することができる。^{[10]ユークリッド幾何学と}双曲幾何学の両方で同じ形を持つ三角形の中心は、回転三角法を使用して表すことができる。^[11]^[12]^[13]非ユークリッド幾何学では、三角形の内角の合計が180度であるという仮定を破棄する必要がある。

四面体や高次元単体の中心も、2次元三角形との類推によって定義できる。^[13]

いくつかの中心は、3辺以上の多角形にも拡張できます。例えば、重心は任意の多角形で求めることができます。3辺以上の多角形の中心に関する研究もいくつか行われています。^[14]^[15]

参照

注釈

^実際には第1等角中心であるが、 A、B、C≤2π /3のときはフェルマー点でもある。

^ Kimberling, Clark . 「三角形の中心」。2009年5月23日閲覧。正方形や円とは異なり、三角形には多くの中心があります。古代ギリシャ人は、内心、重心、外心、垂心の4つの中心を発見しました。ずっと後になって発見された5つ目の中心は、フェルマー点です。その後、九点中心、対称点、ジェルゴンヌ点、フォイエルバッハ点などと呼ばれる点が文献に追加されました。1980年代には、これらの特別な点がいくつかの一般的な性質を共有していることが指摘され、それが三角形の中心の正式な定義の基礎となっています。
^ キンバリング、クラーク(2018年4月11日) [1994]. 「三角形の平面における中心点と中心線」.数学マガジン. 67 (3): 163– 187. doi :10.2307/2690608. JSTOR 2690608.
^ キンバリング、クラーク. 「これはパート26：中心X(50001)-X(52000)です」.三角形の中心百科事典. 2022年6月17日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.「Triangle Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「三角形の中心関数」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年7月1日閲覧。
^ 双心点対、三角形の中心百科事典、2012年5月2日アクセス
^ Oakley, Cletus O.; Baker, Justine C. (1978年11月). 「モーリーの三等分線定理」 .アメリカ数学月刊. 85 (9): 737– 745. doi :10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN 0002-9890.
^ Weisstein, Eric W. 「Kimberling Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「Major Triangle Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。
^ ラッセル、ロバート A. (2019-04-18). 「非ユークリッド三角形の中心」. arXiv : 1608.08190 [math.MG].
^ Ungar, Abraham A. (2009). 「双曲的重心座標」(PDF) .オーストラリア数学解析応用ジャーナル. 6 (1): 1– 35.記事番号18
^ ウンガー、エイブラハム・A. (2010).双曲型三角形の中心：特殊相対論的アプローチ. ドルドレヒト：シュプリンガー. ISBN 978-90-481-8637-2 OCLC 663096629
^ ab Ungar, Abraham Albert (2010年8月). ユークリッド幾何学と双曲幾何学における重心計算. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1。
^ Al-Sharif, Abdullah; Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (2009年11月). 「平面四辺形の中心の一致」 . Results in Mathematics . 55 ( 3–4 ): 231–247 . doi :10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN 1422-6383. S2CID 122725235
^ Prieto-Martínez, Luis Felipe; Sánchez-Cauce, Raquel (2021-04-02). 「Kimberlingの三角形の中心概念の他の多角形への一般化」. Results in Mathematics . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi :10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN 1420-9012. S2CID 214795185.

外部リンク

マンフレッド・エヴァース著『楕円平面における三角形の中心と中心線について』
マンフレッド・エヴァース「楕円面と拡張双曲面における三角形の幾何学について」
クラーク・キンバリング、エバンズビル大学のトライアングルセンター
Ed Pegg、 Wolfram Researchの 2D、3D、球面および双曲面の三角形の中心。
Paul Yiu、フロリダアトランティック大学の三角形幾何学ツアー。

[7] ^実際には第1等角中心であるが、 A、B、C≤2π /3のときはフェルマー点でもある。

[1] Kimberling, Clark . 「三角形の中心」。2009年5月23日閲覧。正方形や円とは異なり、三角形には多くの中心があります。古代ギリシャ人は、内心、重心、外心、垂心の4つの中心を発見しました。ずっと後になって発見された5つ目の中心は、フェルマー点です。その後、九点中心、対称点、ジェルゴンヌ点、フォイエルバッハ点などと呼ばれる点が文献に追加されました。1980年代には、これらの特別な点がいくつかの一般的な性質を共有していることが指摘され、それが三角形の中心の正式な定義の基礎となっています。

[2] キンバリング、クラーク(2018年4月11日) [1994]. 「三角形の平面における中心点と中心線」.数学マガジン. 67 (3): 163– 187. doi :10.2307/2690608. JSTOR 2690608.

[3] キンバリング、クラーク. 「これはパート26：中心X(50001)-X(52000)です」.三角形の中心百科事典. 2022年6月17日閲覧。

[wolf1-4] Weisstein, Eric W.「Triangle Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。

[5] Weisstein, Eric W. 「三角形の中心関数」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年7月1日閲覧。

[6] 双心点対、三角形の中心百科事典、2012年5月2日アクセス

[8] Oakley, Cletus O.; Baker, Justine C. (1978年11月). 「モーリーの三等分線定理」 .アメリカ数学月刊. 85 (9): 737– 745. doi :10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN 0002-9890.

[9] Weisstein, Eric W. 「Kimberling Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。

[10] Weisstein, Eric W. 「Major Triangle Center」. MathWorld–A Wolfram Web Resource . 2009年5月25日閲覧。

[11] ラッセル、ロバート A. (2019-04-18). 「非ユークリッド三角形の中心」. arXiv : 1608.08190 [math.MG].

[12] Ungar, Abraham A. (2009). 「双曲的重心座標」(PDF) .オーストラリア数学解析応用ジャーナル. 6 (1): 1– 35.記事番号18

[13] ウンガー、エイブラハム・A. (2010).双曲型三角形の中心：特殊相対論的アプローチ. ドルドレヒト：シュプリンガー. ISBN 978-90-481-8637-2 OCLC 663096629

[barycalc-14] Ungar, Abraham Albert (2010年8月). ユークリッド幾何学と双曲幾何学における重心計算. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1。

[15] Al-Sharif, Abdullah; Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (2009年11月). 「平面四辺形の中心の一致」 . Results in Mathematics . 55 ( 3–4 ): 231–247 . doi :10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN 1422-6383. S2CID 122725235

[16] Prieto-Martínez, Luis Felipe; Sánchez-Cauce, Raquel (2021-04-02). 「Kimberlingの三角形の中心概念の他の多角形への一般化」. Results in Mathematics . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi :10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN 1420-9012. S2CID 214795185.