Type of analog or digital filter
チェビシェフフィルタ は、 バターワースフィルタ よりも 急峻な ロールオフ特性を持つ アナログ または デジタル フィルタであり、 通過帯域 リップル （タイプI）または 阻止帯域 リップル（タイプII）のいずれかを持ちます。チェビシェフフィルタは、フィルタの動作周波数範囲全体にわたって、理想的なフィルタ特性と実際のフィルタ特性との誤差を最小化する特性を持ちますが [1] [2] 、この特性は 周波数応答 にリップルを伴います 。このタイプのフィルタは、その数学的特性が チェビシェフ多項式 に由来することから、 パフヌティ・チェビシェフ にちなんで名付けられました。タイプIチェビシェフフィルタは通常「チェビシェフフィルタ」と呼ばれ、タイプIIフィルタは通常「逆チェビシェフフィルタ」と呼ばれます [3] 。チェビシェフフィルタに固有の通過帯域リップルのため、特定の用途では、通過帯域ではより滑らかな応答を示し、阻止帯域ではより不規則な応答を示すフィルタが好まれます [4] 。
I型チェビシェフフィルタ（チェビシェフフィルタ） 4次I型チェビシェフローパスフィルタの周波数応答は、 ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1} タイプIチェビシェフフィルタは、最も一般的なチェビシェフフィルタです。 次ローパスフィルタ の 角周波数の関数としてのゲイン（または 振幅 ）応答 は、 における 伝達関数 の絶対値に等しくなります。 G n ( ω ) {\displaystyle G_{n}(\omega )} ω {\displaystyle \omega } n {\displaystyle n} H n ( s ) {\displaystyle H_{n}(s)} s = j ω {\displaystyle s=j\omega }
G n ( ω ) = | H n ( j ω ) | = 1 1 + ε 2 T n 2 ( ω / ω 0 ) {\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega /\omega _{0})}}}} ここで 、 はリップル係数、 は カットオフ周波数 、は 番目 の次数 チェビシェフ多項式 です 。 ε {\displaystyle \varepsilon } ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} T n {\displaystyle T_{n}} n {\displaystyle n}
通過帯域は等リップル挙動を示し、リップル係数 によってリップルが決定されます 。通過帯域では、チェビシェフ多項式は -1 と 1 の間を交互に変化するため、フィルタゲインは で最大値 、 で最小値の間を交互に変化します 。 ε {\displaystyle \varepsilon } G = 1 {\displaystyle G=1} G = 1 / 1 + ε 2 {\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}
リップル係数εは、 デシベル 単位の通過帯域リップルδと次の関係があります。
ε = 10 δ / 10 − 1 . {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.} カットオフ周波数では ゲインは再び値を持ちますが、 周波数が上昇するにつれて 阻止帯域 まで低下し続けます。この挙動は右の図に示されています。カットオフ周波数を -3dB に定義するという一般的な方法は、チェビシェフフィルタでは通常適用されません。代わりに、ゲインが最終的にリップルの値まで低下する点をカットオフとします。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 1 / 1 + ε 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}
3 dB 周波数は次の 関係にあります 。 ω H {\displaystyle \omega _{H}} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
ω H = ω 0 cosh ( 1 n cosh − 1 1 ε ) . {\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).} チェビシェフ フィルタの次数は、アナログ エレクトロニクス を使用してフィルタを実現するために必要な リアクタンス 部品 (たとえば、 インダクタ )の数に等しくなります 。
阻止帯域にリップルを許容し、 複素平面 の - 軸上に零点を許容することで、 さらに急峻な ロールオフ特性 を得ることができます。これにより、零点およびその近傍においてほぼ無限大の抑制効果が得られます（ただし、部品のQ値、寄生成分、および関連要因によって制限されます）。一方、阻止帯域全体の抑制効果は減少します。この結果は 楕円フィルタ 、またはカウアーフィルタと呼ばれます。 ω {\displaystyle \omega }
極と零点 複素周波数空間 （ s = σ + jω ） における8次チェビシェフI型フィルタのゲインの絶対値の対数（ε = 0.1、ω = 0.2 ）です。白い点は極であり、σ方向で0.3836...、ω方向で1.071...の半軸を持つ楕円上に配置されています。伝達関数の極は、左半平面にある極です。黒はゲインが0.05以下、白はゲインが20以上に対応します。 ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1} 簡略化のため、カットオフ周波数は1であると仮定します。 チェビシェフフィルタのゲイン関数の極は、ゲイン関数の分母の零点です。複素周波数を用いると 、これらは以下の場合に発生します。 ( ω p m ) {\displaystyle (\omega _{pm})} s {\displaystyle s}
1 + ε 2 T n 2 ( − j s ) = 0. {\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,} チェビシェフ多項式の三角関数の 定義と使用により次の式が得られます。 − j s = cos ( θ ) {\displaystyle -js=\cos(\theta )}
1 + ε 2 T n 2 ( cos ( θ ) ) = 1 + ε 2 cos 2 ( n θ ) = 0. {\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,} 解決する θ {\displaystyle \theta }
θ = 1 n arccos ( ± j ε ) + m π n {\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}} ここで、逆余弦関数の複数の値は、整数インデックスを用いて明示的に表されます 。チェビシェフゲイン関数の極は次のようになります。 m {\displaystyle m}
s p m = j cos ( θ ) {\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,} = j cos ( 1 n arccos ( ± j ε ) + m π n ) . {\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).} 三角関数と双曲線関数の性質を利用すると、これを明示的に複素形式で書くことができます。
s p m ± = ± sinh ( 1 n a r s i n h ( 1 ε ) ) sin ( θ m ) {\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})} + j cosh ( 1 n a r s i n h ( 1 ε ) ) cos ( θ m ) {\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})} どこで そして m = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle m=1,2,...,n}
θ m = π 2 2 m − 1 n . {\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.} これは、 の媒介変数方程式として見ることができ、 を中心とする 空間 の楕円上に極があり、 実半軸の長さが で 、虚半軸の長さが であることを示しています。 θ n {\displaystyle \theta _{n}} s {\displaystyle s} s = 0 {\displaystyle s=0} sinh ( a r s i n h ( 1 / ε ) / n ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)} cosh ( a r s i n h ( 1 / ε ) / n ) . {\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).}
伝達関数 上記の式はゲインの極を表す 。各複素極に対して、複素共役極が1つ存在し、各共役対に対して、その負の極がさらに2つ存在する。 伝達関数は 安定でなければならない。つまり、その極はゲインの極のうち負の実部を持つ極であり、したがって複素周波数空間の左半平面に位置する。伝達関数は次のように表される。 G {\displaystyle G}
H ( s ) = 1 2 n − 1 ε ∏ m = 1 n 1 ( s − s p m − ) {\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}} ここでは 、上記の式から得られた、実数項の前に負の符号が付いたゲインの極のみを示します。 s p m − {\displaystyle s_{pm}^{-}}
群遅延 ε = 0.5 の 5 次 I 型チェビシェフ フィルタのゲインとグループ遅延。 群遅延 は、 角周波数 に対する位相の微分として定義されます 。
τ g = − d d ω arg ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))} ε=0.5の5次I型チェビシェフフィルタのゲインと群遅延が左のグラフに示されています。阻止帯域にはリップルがありません。しかし、通過帯域における群遅延のリップルは、異なる周波数成分に異なる遅延があることを示しており、これが通過帯域におけるゲインのリップルと相まって波形の歪みを引き起こします。
注文の変更も 偶数次チェビシェフフィルタは、通常はインダクタ、コンデンサ、伝送線路などの受動素子を用いて、両側に等しい値の終端を施して実装されますが、従来のチェビシェフ伝達関数では結合コイルを使用せずに実装することはできません。これは、特に高周波においては望ましくなく、実現不可能な場合もあります。これは、偶数次チェビシェフ反射零点を物理的に収容できないことに起因し、 散乱行列の S12 値が における S12 値を超えることになります 。通過帯域 S12 に対応するために終端の 1 つを増減させてフィルタを設計することが実現不可能な場合は、 通過帯域の等リップル応答を維持しながら、最も低い偶数次反射零点を に移動するようにチェビシェフ伝達関数を変更する必要があります。 [5] ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = 0 {\displaystyle \omega =0}
必要な修正は、チェビシェフ伝達関数の各極を、最低周波数の反射零点を零点にマッピングし、残りの極を等リップル通過帯域を維持するために必要な位置にマッピングすることです。最低周波数の反射零点は、 チェビシェフノード 、から見つけることができます 。完全なチェビシェフ極マッピング関数を以下に示します。 [5] cos ( π ( n − 1 ) 2 n ) {\displaystyle \cos {\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}
P ′ = [ ( P 2 + c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) 1 − c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) ) ] Left Half Plane {\displaystyle P'=\left[{\sqrt {\left({\frac {P^{2}+cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}{1-{cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}}}\right)}}\right]_{\text{Left Half Plane }}}
どこ：
nはフィルタの次数です（偶数である必要があります）
Pは伝統的なチェビシェフ伝達関数の極である
P' は、修正偶数次伝達関数のマッピングされた極です。
「左半平面」は、 負の実数値を含む 平方根を使用することを示します。
完了すると、等リップル受動回路網を実装する場合、S12の反射零点 散乱行列 値が1、S11の反射零点散乱行列値が0となる置換等リップル伝達関数が作成されます。下の図は、等リップル通過帯域周波数応答を維持しながら、最低周波数反射零点を有限周波数から0に移動することで、偶数次の等リップル受動回路網をサポートするように修正された8次チェビシェフフィルタを示しています。
偶数次修正チェビシェフの図 カウアートポロジーにおけるLC素子の値の公式は、偶数次修正チェビシェフ伝達関数には適用できず、使用できません。したがって、LC値は、 反射係数 から導出できるインピーダンス関数の 従来の連分数 から計算する必要があります。反射係数は、伝達関数から導出できます。
最小注文数 必要最小限の要素数でチェビシェフフィルタを設計するには、チェビシェフフィルタの最小次数は次のように計算できます。 [6] これらの式は標準的なローパスチェビシェフフィルタのみを考慮しています。次数の変更や有限の阻止帯域透過零点によっても、これらの式では考慮されていない誤差が生じます。
n = c e i l [ cosh − 1 10 α s / 10 − 1 10 α p / 10 − 1 cosh − 1 ( ω s / ω p ) ] {\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}
どこ：
ω p {\displaystyle \omega _{p}} は 通過帯域リップル周波数と最大リップル減衰量（dB）である。 α p {\displaystyle \alpha _{p}}
ω s {\displaystyle \omega _{s}} および は阻止帯域周波数とその周波数における減衰量（dB）である。 α s {\displaystyle \alpha _{s}}
n {\displaystyle n} 最小の極数、つまりフィルタの次数です。
ceil []は次の整数への切り上げ関数です。
カットオフ減衰の設定 チェビシェフフィルタの通過帯域カットオフ減衰量は、通常、上記の計算によって設定される通過帯域リップル減衰量と同じである。しかし、ダイプレクサやトリプレクサ [5] などの多くの用途では、必要な反射を得るために-3.0103 dBのカットオフ減衰量が必要となる。その他の特殊な用途では、様々な理由から、カットオフ減衰量に異なる特定の値が必要となる場合がある。したがって、チェビシェフフィルタの通過帯域カットオフ減衰量を、通過帯域リップル減衰量とは独立して、-1 dB、-10 dBなどに設定できる手段があると便利である。カットオフ減衰量は、伝達関数の極を周波数スケーリングすることによって設定できる。
スケーリング係数は、定義するチェビシェフフィルタ関数 （および を 含む ）の直接的な代数操作によって決定できます。 チェビシェフ関数 の一般定義が必要です 。これは、 チェビシェフ多項式 方程式、および逆チェビシェフ関数 から導出できます 。 の値に対して実数値を維持するために 、 複素双曲恒等式 を用いて方程式を および と書き直すことができます 。 G n ( ω ) {\displaystyle G_{n}(\omega )} ε {\displaystyle \varepsilon } T n ( ω / ω 0 ) {\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})} T n ( ω / ω 0 ) = c o s ( n cos − 1 ( ω / ω 0 ) ) {\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cos(n\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0}))} T n − 1 ( ω / ω 0 ) = c o s ( cos − 1 ( ω / ω 0 ) / n ) {\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cos(\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)} ω / ω 0 ≥ 1 {\displaystyle \omega /\omega _{0}\geq 1} T n ( ω / ω 0 ) = c o s h ( n cosh − 1 ( ω / ω 0 ) ) {\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cosh(n\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0}))} T n − 1 ( ω / ω 0 ) = c o s h ( cosh − 1 ( ω / ω 0 ) / n ) {\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cosh(\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}
上記の方程式と参照に簡単な代数を使用すると、各チェビシェフ極をスケーリングする式は次のようになります。
p A = p 1 / T n − 1 ( 10 α / 10 − 1 10 δ / 10 − 1 , n ) For 0 < δ < ∞ and δ ≤ α < ∞ = p 1 ∗ s e c h ( 1 n c o s h − 1 ( 10 α / 10 − 1 10 δ / 10 − 1 ) ) For 0 < δ < ∞ and δ ≤ α < ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}/T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\alpha }/10}-1}{10^{\delta /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*sech{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}
どこ：
p A {\displaystyle p_{A}} 希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。
p 1 {\displaystyle p_{1}} 楕円上にあるリップルカットオフポールです。
δ {\displaystyle \delta } 通過帯域減衰リップル（dB 単位、0.05 dB、1 dB など）です。
α {\displaystyle \alpha } カットオフ周波数における所望の通過帯域減衰量（dB 単位、1 dB、3 dB、10 dB など）
n {\displaystyle n} 極の数（フィルタの次数）です。
通過帯域リップル減衰を通過帯域カットオフ減衰として使用して上記の式を 簡単に 検証すると、 この場合、極調整は予想どおり 1.0 になることがわかります。 ( α = δ ) {\displaystyle (\alpha =\delta )}
偶数次修正カットオフ減衰調整 受動等終端フィルタの通過帯域リップルを偶数次用に修正したチェビシェフフィルタを設計する場合、減衰周波数の計算には、計算された減衰周波数に対して偶数次調整演算を実行することにより、偶数次調整を含める必要があります。これにより、周波数を実変数（この場合は ）として扱うことができるため、偶数次調整演算が若干簡素化されます 。 ( ( J ω ) 2 becomes − ω 2 ) {\displaystyle ((J\omega )^{2}{\text{ becomes }}-\omega ^{2})}
p A = p 1 1 − c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) c o s h 2 ( 1 n c o s h − 1 ( 10 α / 10 − 1 10 δ / 10 − 1 ) ) − c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) For 0 < δ < ∞ and δ ≤ α < ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}{cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}
どこ：
p A {\displaystyle p_{A}} 希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。
p 1 {\displaystyle p_{1}} 偶数次通過帯域用に修正されたリップル カットオフ ポールです。
δ {\displaystyle \delta } 通過帯域減衰リップル（dB 単位、0.05 dB、1 dB など）です。
α {\displaystyle \alpha } カットオフ周波数における所望の通過帯域減衰量（dB 単位、1 dB、3 dB、10 dB など）
n {\displaystyle n} 極の数（フィルタの次数）です。
c o s ( π ( n − 1 ) 2 n ) {\displaystyle cos({\frac {\pi (n-1)}{2n}})} 最小の偶数次 チェビシェフノードである
タイプIIチェビシェフフィルタ（逆チェビシェフフィルタ） 5次II型チェビシェフローパスフィルタの周波数応答は、 ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} 逆チェビシェフフィルタとも呼ばれるタイプIIチェビシェフフィルタは、タイプIほど急激に減衰せず、部品点数も増えるため、あまり一般的ではありません。通過帯域にはリップルがありませんが、阻止帯域には等リップルがあります。ゲインは以下のとおりです。
G n ( ω ) = 1 1 + 1 ε 2 T n 2 ( ω 0 / ω ) = ε 2 T n 2 ( ω 0 / ω ) 1 + ε 2 T n 2 ( ω 0 / ω ) . {\displaystyle G_{n}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}.} 阻止帯域では、チェビシェフ多項式は-1と1の間で振動し、ゲインは0と1の間で振動する。
1 1 + 1 ε 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}} そして、この最大値に達する最小の周波数がカットオフ周波数である 。したがって、パラメータεは デシベル単位の 阻止帯域 減衰量 γ と以下の関係にある。 ω o {\displaystyle \omega _{o}}
ε = 1 10 γ / 10 − 1 . {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.} 阻止帯域減衰量が5 dBの場合、ε = 0.6801、10 dBの場合、ε = 0.3333です。周波数 f 0 = ω 0 /2 π はカットオフ周波数です。3 dB周波数 f Hは f 0 と以下の関係があります 。
f H = f 0 cosh ( 1 n cosh − 1 1 ε ) . {\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.}
極と零点 複素周波数空間（s = σ + jω）における8次チェビシェフII型フィルタのゲインの絶対値の対数。ε = 0.1 、。白い点は極、黒い点は零点である。16個の極がすべて示されている。各零点は多重度2で、12個の零点が示されている。そのうち4個は図の外側、正のω軸上に2個、負のω軸上に2個配置されている。伝達関数の極は左半平面上の極であり、伝達関数の零点は多重度1の零点である。黒はゲインが0.05以下、白はゲインが20以上である。 ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1} カットオフ周波数が1であると仮定すると、 チェビシェフフィルタのゲインの極はゲインの分母のゼロになります。 ( ω p m ) {\displaystyle (\omega _{pm})}
1 + ε 2 T n 2 ( − 1 / j s p m ) = 0. {\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.} タイプ II チェビシェフ フィルタのゲインの極は、タイプ I フィルタの極の逆になります。
1 s p m ± = ± sinh ( 1 n a r s i n h ( 1 ε ) ) sin ( θ m ) {\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})} + j cosh ( 1 n a r s i n h ( 1 ε ) ) cos ( θ m ) {\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})} ここで 、タイプIIチェビシェフフィルタの零点 はゲインの分子の零点である。 m = 1 , 2 , . . . n {\displaystyle m=1,2,...n} ( ω z m ) {\displaystyle (\omega _{zm})}
ε 2 T n 2 ( − 1 / j s z m ) = 0. {\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,} したがって、タイプ II チェビシェフ フィルタの零点は、チェビシェフ多項式の零点の逆数になります。
1 / s z m = − j cos ( π 2 2 m − 1 n ) {\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)} のために 。 m = 1 , 2 , . . . n {\displaystyle m=1,2,...n}
伝達関数 伝達関数はゲイン関数の左半平面の極によって与えられ、同じゼロを持ちますが、これらのゼロは二重ゼロではなく単一ゼロです。
群遅延 ε = 0.1 の 5 次タイプ II チェビシェフ フィルタのゲインとグループ遅延。 ε=0.1の5次タイプIIチェビシェフフィルタのゲインと群遅延を左のグラフにプロットしています。阻止域ではゲインにリップルがありますが、通過域ではリップルがないことがわかります。
注文の変更も チェビシェフ偶数次フィルタと同様に、標準チェビシェフ II 偶数次フィルタは結合コイルを使用せずに等終端受動素子で実装することはできず、これは望ましくなかったり実現不可能である可能性があります。チェビシェフ II の場合、これは阻止帯域における S12 の有限減衰によるものです。 [5] ただし、チェビシェフ II 阻止帯域の等リプル関数を維持しながら、最高周波数の有限伝送零点を無限大に変換することで、偶数次チェビシェフ II フィルタを変更できます。この変換を行うには、標準チェビシェフ関数の代わりに偶数次修正チェビシェフ関数を使用して、偶数次修正チェビシェフ II 伝達関数を作成するために必要なチェビシェフ II 極を定義します。零点は、 偶数次修正チェビシェフ多項式 の根、つまり 偶数次修正チェビシェフ ノード を使用して作成されます。
下の図は、等 リップル停止帯域周波数応答を維持しながら、最高周波数伝送ゼロを有限周波数からに移動することにより、偶数次の均等に終端された受動ネットワークをサポートするように変更された 8 次逆チェビシェフ フィルタを示しています。 ∞ {\displaystyle \infty }
偶数次修正逆チェビシェフの図
最小注文数 逆チェビシェフフィルタを必要最小限の要素数で設計するには、逆チェビシェフフィルタの最小次数は以下のように計算できます。 [7] これらの式は標準的なローパス逆チェビシェフフィルタのみを考慮しています。次数を変更しても、これらの式では考慮されていない誤差が生じます。この式はチェビシェフフィルタの最小次数に使用されている式と同じですが、変数の定義が若干異なります。
n = c e i l [ cosh − 1 10 α s / 10 − 1 10 α p / 10 − 1 cosh − 1 ( ω s / ω p ) ] {\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}
どこ：
ω p {\displaystyle \omega _{p}} は 通過帯域周波数とその周波数における減衰量（dB）である。 α p {\displaystyle \alpha _{p}}
ω s {\displaystyle \omega _{s}} および は阻止帯域周波数と最小阻止帯域減衰量（dB）である。 α s {\displaystyle \alpha _{s}}
n {\displaystyle n} 最小の極数、つまりフィルタの次数です。
ceil []は次の整数への切り上げ関数です。
カットオフ減衰の設定 前述の標準的なカットオフ減衰量は、通過帯域リップル減衰量と同じです。しかし、チェビシェフフィルタと同様に、カットオフ減衰量を任意の値に設定することが有用であり、その理由も同じです。チェビシェフIIフィルタのカットオフ減衰量の設定は、チェビシェフフィルタの場合と同じです。ただし、算術減衰量とリップル成分が式の中で反転され、極と零点が結果に乗算されます（チェビシェフフィルタの場合は除算）。
p A = p 1 ∗ T n − 1 ( 10 δ / 10 − 1 10 α / 10 − 1 , n ) For 0 < δ < ∞ and 0 ≤ α < ∞ = p 1 ∗ c o s h ( 1 n c o s h − 1 ( 10 δ / 10 − 1 10 α / 10 − 1 ) ) For 0 < δ < ∞ and δ ≤ α < ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}*T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\delta }/10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}0\leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*cosh{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}
偶数次修正カットオフ減衰調整 チェビシェフ偶数次修正カットオフ減衰に使用されたのと同じ、極と零点に対する偶数次調整は、チェビシェフ II の場合にも使用できます。極と零点の両方が結果に掛けられます。
p A = p 1 c o s h 2 ( 1 n c o s h − 1 ( 10 δ / 10 − 1 10 α / 10 − 1 ) ) − c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) 1 − c o s 2 ( π ( n − 1 ) 2 n ) For 0 < δ < ∞ and δ ≤ α < ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}{1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}
実装
カウアー位相 パッシブLCチェビシェフ・ ローパスフィルタは、 カウアートポロジ を用いて実現できる。 次チェビシェフ プロトタイプフィルタ のインダクタンスまたはコンデンサの値は、 以下の式から計算できる。 [8] n {\displaystyle n}
G 0 = 1 {\displaystyle G_{0}=1} G 1 = 2 A 1 γ {\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}}{\gamma }}} G k = 4 A k − 1 A k B k − 1 G k − 1 , k = 2 , 3 , 4 , … , n {\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}}},\qquad k=2,3,4,\dots ,n} G n + 1 = { 1 if n odd coth 2 ( β 4 ) if n even and G n element shunt tanh 2 ( β 4 ) if n even and G n element series {\displaystyle G_{n+1}={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ odd}}\\\coth ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even and }}G_{n}{\text{ element shunt}}\\\tanh ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even and }}G_{n}{\text{ element series}}\end{cases}}} G 1 、 G k はコンデンサまたはインダクタ要素の値です。3 dB周波数f Hは次のように計算されます。 f H = f 0 cosh ( 1 n cosh − 1 1 ε ) {\displaystyle f_{H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}
係数 A 、 γ 、 β 、 A k 、および B k は次の式から計算できます。
γ = sinh ( β 2 n ) {\displaystyle \gamma =\sinh \left({\frac {\beta }{2n}}\right)} β = ln [ coth ( δ 17.37 ) ] {\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]} A k = sin ( 2 k − 1 ) π 2 n , k = 1 , 2 , 3 , … , n {\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}},\qquad k=1,2,3,\dots ,n} B k = γ 2 + sin 2 ( k π n ) , k = 1 , 2 , 3 , … , n {\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,3,\dots ,n} ここで 、通過帯域リップルはデシベル単位です。数値は 正確な値から切り上げられます 。 δ {\displaystyle \delta } 17.37 {\displaystyle 17.37} 40 / ln ( 10 ) {\displaystyle 40/\ln(10)}
カウアー位相を用いたローパスフィルタ 計算された G k 値は、右図に示すようにシャント コンデンサと 直列 インダクタに変換できます 。また、直列コンデンサとシャントインダクタに変換することもできます。例えば、
C 1 シャント = G 1 、 L 2 シリーズ = G 2 、... または
L 1 シリーズ = G 1 、 C 2 シャント = G 2 、... G 1 がシャントコンデンサまたは直列インダクタの場合、G 0 は それぞれ入力抵抗またはコンダクタンスに対応することに注意してください。G n+1 とG n についても同様の関係が成り立ちます。結果として得られる回路は正規化ローパスフィルタです。 周波数変換 と インピーダンススケーリング を用いることで、この正規化ローパスフィルタは、任意の カットオフ周波数 または 帯域幅を持つ ハイパスフィルタ 、 バンドパスフィルタ 、 バンドストップ フィルタに変換できます 。
デジタル ほとんどのアナログフィルタと同様に、チェビシェフフィルタは双線形変換 によってデジタル（離散時間） 再帰 型に変換できます 。ただし、 デジタルフィルタは 帯域幅が有限であるため、変換後のチェビシェフフィルタの応答形状は 歪んで しまいます。代わりに、 応答形状を歪ませない マッチングZ変換法を使用することもできます。
他の線形フィルタとの比較 次の図は、チェビシェフ フィルターと、同じ数の係数 (5 次) で得られる他の一般的なフィルター タイプを並べて示しています。
チェビシェフ フィルタはバターワース フィルタ よりも鋭いです。 楕円フィルタ ほど鋭くはありません が、帯域幅全体にわたってリップルが少なくなります。
チェビシェフフィルタの高度なトピック チェビシェフフィルタの設計柔軟性は、このセクションで説明するより高度な設計手法によって強化される可能性があります。 透過零点を 阻止帯域に挿入して、特定の不要な周波数を中和したり、カットオフ減衰量を増やしたり、軸外に挿入してより望ましい 群遅延 を実現したりできます。周波数非対称の設計要件をより効率的に満たすために、通過帯域の両側に異なる数の極を持つ非対称チェビシェフバンドパスフィルタを作成できます。チェビシェフフィルタの特徴である等リップル通過帯域は、通過帯域の一部のみを等リップルにするという設計要件をより効率的に満たすために、通過帯域の一定の割合に制限される場合があります。 [9]
チェビシェフ伝達零点 チェビシェフフィルタは、 等リップル通過帯域を維持しながら、阻止帯域に任意の位置に配置された有限の 透過零点 を持つように設計できます。軸に沿った阻止帯域零点は、通常、不要な周波数を除去するために使用されます。実軸に沿った阻止帯域零点、または複素平面における4つの阻止帯域零点は、 群遅延 をより望ましい形状に修正するために使用できます。透過零点の設計では、特性多項式K(S)を用いて透過零点と反射零点を配置し、これらの零点を用いて伝達関数[10]を作成し ます 。 j ω {\displaystyle j\omega } G ( s ) {\displaystyle G(s)}
G ( s ) = 1 1 + ε 2 K ( s ) K ( − s ) | left half plane (LHP) poles {\displaystyle G(s)={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{left half plane (LHP) poles}}}
K(S)の計算は、以下の観察された等式に基づいています。 [10]
| ∏ i = 1 N j ω z i 2 + 1 z i + 1 − ω 2 ( 1 − j ω / z i ) | = 1. for 0 ≤ ω ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{lcr}&{\bigg |}\prod _{i=1}^{N}{\frac {j\omega {\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}+{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}{(1-j\omega /z_{i})}}{\bigg |}=1.&&{\text{ for }}0\leq \omega \leq 1\end{array}}\\\end{aligned}}}
すべての 、虚 共役ペア 、四重共役ペア 、または実数の反対符号ペア に対して。 z i = ∞ {\displaystyle z_{i}=\infty }
通過帯域（）内で振幅が常に 1 であるとすると、 有理項と無理項は 0 から 1 の間で変化する必要があります。したがって、有理項のみを使用して 特性関数を作成すると、通過帯域内で等リプル応答が予想され、すべての で特性極（伝送零点）が予想されます 。 0 ≤ ω ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \omega \leq 1} K ( s ) {\displaystyle K(s)} s = z i {\displaystyle s=z_{i}}
上記の式を使用したK(S)の設計プロセスは以下のとおりです。
K ( s ) = { ∏ i = 1 N ( M i s + s 2 + 1 ) } rational term only ∏ i = 1 N ( 1 − s / z i ) M i = z i 2 + 1 z i for σ i ≠ 0 or ω i > 1 = ω i 2 − 1 ω i for σ i = 0 and ω i > 1 = 1 for ω i = ∞ z i = σ i + j ω i = complex transmision zero {\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{\prod _{i=1}^{N}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}>1\\&={\frac {\sqrt {\omega _{i}^{2}-1}}{\omega _{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{i}>1\\&=1{\text{ for }}\omega _{i}=\infty \\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\end{aligned}}}
実数 と 虚数の ペアには正の 解を用います 。複素数4つ組には、正の実数と共役虚数の 解を用います 。 M i {\displaystyle M_{i}} z i {\displaystyle z_{i}} M i {\displaystyle M_{i}} z i {\displaystyle z_{i}}
K ( s ) {\displaystyle K(s)} 必要に応じて、 となるように正規化する必要があります 。 | K ( s ) | = 1 at s = j {\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}
「有理項のみ」とは、積の有理数部を保持し、無理数部を破棄することを意味します。有理数部は、多項式演算を手動で実行することで得られるほか、以下のショートカット（多項式演算から導出され、 二項係数を 使用する解）を使用して得ることができます。このアルゴリズムは、二項係数が事前に計算された値の参照テーブルから実装されている場合、非常に効率的です。
B = ∏ i = 1 N ( M i s + 1 ) K ( s ) n u m = ∑ i = N i ≥ 0 , step = − 2 [ ∑ j = i j ≥ 0 , step = − 2 B j ( ( N − j ) / 2 ( N − i ) / 2 ) ] s i N = order of the Chebyshev filter B = a polynomial created by the product of the specified factors B j = the j t h order coefficient of polynomial B ( n k ) is the binomial coefficient function {\displaystyle {\begin{aligned}&B=\prod _{i=1}^{N}(M_{i}s+1)\\&K(s)_{num}=\sum _{i=N}^{i\geq 0{\text{, step }}=-2}{\bigg [}\sum _{j=i}^{j\geq 0{\text{, step }}=-2}B_{j}{\binom {(N-j)/2}{(N-i)/2}}{\bigg ]}s^{i}\\&N={\text{ order of the Chebyshev filter}}\\&B={\text{a polynomial created by the product of the specified factors}}\\&B_{j}={\text{ the }}j_{th}{\text{ order coefficient of polynomial }}B\\&{\binom {n}{k}}{\text{ is the binomial coefficient function}}\\\end{aligned}}}
すべての M の値が 1 に設定されている場合、は 標準のチェビシェフ方程式になります。これは、すべての伝達零点が であるため予想されます 。偶数次の有限伝達零点チェビシェフ フィルタには、等終端受動ネットワークを使用して構築できないという、全極の場合と同じ制限があります。同じ偶数次の修正を偶数次の特性多項式 に加えることで、等終端受動ネットワークの実装が可能になります。ただし、偶数次の修正により、有限伝達零点もわずかに動きます。この動きは、最低の チェビシェフ ノード を使用して、 偶数次の修正の逆で伝達零点を提案することで、大幅に緩和される可能性があります 。 K ( s ) n u m {\displaystyle K(s)_{num}} ∞ {\displaystyle \infty } K ( s ) {\displaystyle K(s)} c o s ( π ( N − 1 ) / ( 2 N ) ) {\displaystyle cos(\pi (N-1)/(2N))}
z i ′ = z i 2 ( 1. − C 0 2 ) − C 0 2 C 0 2 = c o s 2 ( π ( N − 1 ) 2 N ) z i = desired finite transmission zero z i ′ = prepositioned finite transmission zero {\displaystyle {\begin{aligned}&z_{i}'={\sqrt {z_{i}^{2}(1.-C_{0}^{2})-C_{0}^{2}}}\\&C_{0}^{2}=cos^{2}({\frac {\pi (N-1)}{2N}})\\&z_{i}={\text{desired finite transmission zero}}\\&z_{i}'={\text{prepositioned finite transmission zero}}\\\end{aligned}}}
単純な伝送ゼロの例 1 dB の通過帯域、2 rad/sec の透過ゼロ、次の透過ゼロを持つ 3 極チェビシェフ フィルタを設計します 。 ∞ {\displaystyle \infty }
M 1 = M 2 = ( j 2 ) 2 + 1 / j 2 = 1 − 4 / j 2 = 3 / 2 = 0.866025 , M 3 = ∞ 2 + 1 / ∞ = 1 Full polynomial derivation: K ( s ) n u m = ( 0.86602540 s + s 2 + 1 ) ( 0.86602540 s + s 2 + 1 ) ( s + s 2 + 1 ) K ( s ) n u m = 3.4820508 s 3 + 2.7320508 s + … discarding the irrational … and keeping only the rational part: K ( s ) n u m = 3.4820508 s 3 + 2.7320508 s K ( s ) n u m shortcut derivation: B = ( 0.86602540 s + 1 ) ( 0.86602540 s + 1 ) ( s + 1 ) = .75 s 3 + 2.4820508 s 2 + 2.7320508 s + 1 K ( s ) n u m = ( 0.75 ( 0 0 ) + 2.4820508 ( 1 0 ) ) s 3 + ( 2.7320508 ( 1 1 ) ) s K ( s ) n u m = 3.4820508 s 3 + 2.7320508 s k ( s ) d e n = ( s j 2 + 1 ) ( s − j 2 + 1 ) = 0.25 s 2 + 1 Check | K ( s ) | at s = j to insure it is unity, and adjust with a constant, if necessary: | K ( s ) n u m ( s = j ) K ( s ) d e n ( s = j ) | = 1 Check! K ( s ) = 3.4820508 s 3 + 2.7320508 s 0.25 s 2 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&M_{1}=M_{2}={\sqrt {(j2)^{2}+1}}/j2={\sqrt {1-4}}/j2={\sqrt {3}}/2=0.866025{\text{, }}M_{3}={\sqrt {\infty ^{2}+1}}/\infty =1\\&\\&{\text{Full polynomial derivation:}}\\&K(s)_{num}={\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s+{\sqrt {\dots }}\\&{\text{discarding the irrational }}{\sqrt {\dots }}{\text{ and keeping only the rational part:}}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&K(s)_{num}{\text{ shortcut derivation:}}\\&B=(0.86602540s+1)(0.86602540s+1)(s+1)=.75s^{3}+2.4820508s^{2}+2.7320508s+1\\&K(s)_{num}={\bigg (}0.75{\binom {0}{0}}+2.4820508{\binom {1}{0}}{\bigg )}s^{3}+{\bigg (}2.7320508{\binom {1}{1}}{\bigg )}s\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&k(s)_{den}=({\frac {s}{j2}}+1)({\frac {s}{-j2}}+1)=0.25s^{2}+1\\&{\text{Check }}|K(s)|{\text{ at }}s=j{\text{ to insure it is unity, and adjust with a constant, if necessary:}}\\&{\bigg |}{\frac {K(s)_{num}(s=j)}{K(s)_{den}(s=j)}}{\bigg |}=1{\text{ Check!}}\\&K(s)={\frac {3.4820508s^{3}+2.7320508s}{0.25s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}
伝達関数を求めるには 、次の手順に従います。 [10] [11] G ( s ) {\displaystyle G(s)}
ε 2 = 10 1 d B / 10. − 1. = .25892541 G ( s ) = G ( s ) G ( − s ) | LHP poles = 1 1 + ε 2 K ( s ) K ( − s ) | LHP poles = K ( s ) d e n K ( − s ) d e n K ( s ) d e n K ( − s ) d e n + ε 2 K ( s ) n u m K ( − s ) n u m | LHP poles = { 0.25 ( s ) 2 + 1 } { 0.25 ( − s ) 2 + 1 } { 0.25 ( s ) 2 + 1 } { 0.25 ( − s ) 2 + 1 } + .25892541 { 3.4820508 ( s ) 3 + 2.7320508 ( s ) } { 3.4820508 ( − s ) 3 + 2.7320508 ( − s ) } | LHP poles = 0.25 ( s ) 2 + 1 − 3.1393872 s 6 − 4.8638872 s 4 − 1.4326456 s 2 + 1 | LHP poles {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon ^{2}=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\&G(s)={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\sqrt {\frac {\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}}{\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}+.25892541\{3.4820508(s)^{3}+2.7320508(s)\}\{3.4820508(-s)^{3}+2.7320508(-s)\}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.25(s)^{2}+1}{{\sqrt {-3.1393872s^{6}-4.8638872s^{4}-1.4326456s^{2}+1}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}
左半平面から求めるには 、分子と分母を因数分解して根を求めます。分母の右半平面にあるすべての根と、分子の重複根の半分を捨て、 残りの根で再構築します。一般に、 で 1 に正規化します 。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} | G ( s ) | {\displaystyle |G(s)|} s = 0 {\displaystyle s=0}
G ( s ) = 0.25 s 2 + 1 1.7718316 s 3 + 1.7200107 s 2 + 2.2074118 s + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.25s^{2}+1}{1.7718316s^{3}+1.7200107s^{2}+2.2074118s+1}}\\\end{aligned}}}
例が正しいことを確認するために、 通過帯域リップルが 1 dB、カットオフ周波数が 1 rad/秒、ストップ帯域ゼロが 2 rad/秒である のプロットを以下に示し ます 。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} j ω {\displaystyle j\omega }
2 rad/sec でのチェビシェフ伝達零点
非対称バンドパスフィルタ チェビシェフ帯域通過フィルタは、 上記チェビシェフ透過零点方程式のより一般化された形 [10] と下記を用いて、零点と無限大に所望の数の 透過零点 を配置することにより、幾何学的に非対称な周波数応答を持つように設計することができる。下記の方程式は、1から の周波数正規化された通過帯域を考慮している 。零点における透過零点の数が における透過零点の数と同じでない場合 、フィルタは幾何学的に非対称となる。有限の透過零点が幾何学的中心周波数(この場合は )の周りに対称的に配置されていない場合も、フィルタは非対称となる 。非対称方程式が使用可能な結果を生成するためには、フィルタが正味偶数次、すなわちすべての極の合計が偶数でなければならないという制約がある 。実数および複素数の4つ組透過零点もこの技術を使用して作成することができ、ローパスフィルタの場合と同様に 群遅延 応答を修正するのに有用である。 非対称チェビシェフバンドパスフィルタを作成するため の特性方程式の導出を以下に示します。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} ∞ {\displaystyle \infty } ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\omega _{2}}}} K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
K ( s ) = { ∏ i = 1 N ( M i s 2 + ω 2 2 + s 2 + 1 ) } rational term only s N z ∏ i = 1 N f ( 1 − s / z i ) M i = z i 2 + 1 z i 2 + ω 2 2 for σ i ≠ 0 or ω i < 1 or ω i > ω 2 = 1 − ω i 2 ω 2 2 − ω i 2 for σ i = 0 and 0 < ω i < 1 = ω i 2 − 1 ω i 2 − ω 2 2 for σ i = 0 and ω 2 < ω i < ∞ = 1 ω 2 for z i = 0 = 1 for z i = ∞ N z = number of transmission zeros at zero N f = number of finite transmission zeros (imaginary, real, and complex) z i = σ i + j ω i = complex transmision zero ω 2 = upper passband corner frequency (lower corner is normalized to 1) {\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}{\sqrt {s^{2}+\omega _{2}^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{N_{z}}\prod _{i=1}^{N_{f}}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\sqrt {\frac {z_{i}^{2}+1}{z_{i}^{2}+\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}<1{\text{ or }}\omega _{i}>\omega _{2}\\&={\sqrt {\frac {1-\omega _{i}^{2}}{\omega _{2}^{2}-\omega _{i}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}0<\omega _{i}<1\\&={\sqrt {\frac {\omega _{i}^{2}-1}{\omega _{i}^{2}-\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{2}<\omega _{i}<\infty \\&={\frac {1}{\omega _{2}}}{\text{ for }}z_{i}=0\\&=1{\text{ for }}z_{i}=\infty \\N_{z}&={\text{ number of transmission zeros at zero}}\\N_{f}&={\text{ number of finite transmission zeros (imaginary, real, and complex)}}\\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\omega _{2}&={\text{ upper passband corner frequency (lower corner is normalized to 1)}}\\\end{aligned}}}
K ( s ) {\displaystyle K(s)} 必要に応じて、 となるように正規化する必要があります 。 | K ( s ) | = 1 at s = j {\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}
単純な非対称の例 1～2 rad/秒の1dB通過帯域リップル、に1つの透過零点、0に3つの透過零点を持つ非対称チェビシェフフィルタを設計します。 上記の式に数値を適用すると、特性多項式は 次のように計算できます。 ∞ {\displaystyle \infty } K ( s ) {\displaystyle K(s)}
ω 2 = 2 M 1 = M 2 = M 3 = .5 M 4 = 1 K ( s ) = { ( .5 s 2 + 2 2 + s 2 + 1 ) ( .5 s 2 + 2 2 + s 2 + 1 ) ( .5 s 2 + 2 2 + s 2 + 1 ) ( s 2 + 2 2 + s 2 + 1 ) } rational term only s 3 K ( s ) = C 3.375 s 4 + 14.25 s 2 + 12 + … s 3 where C is a constant used to normalize the magnitude to 1 at s = j {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=2\\M_{1}&=M_{2}=M_{3}=.5\\M_{4}&=1\\K(s)&={\frac {{\bigg \{}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{3}}}\\K(s)&=C{\frac {3.375s^{4}+14.25s^{2}+12+{\sqrt {\dots }}}{s^{3}}}{\text{ where C is a constant used to normalize the magnitude to 1 at }}s=j\\\end{aligned}}}
無理数部分を破棄し、 s=j で 1 に正規化すると、 | K ( s ) | {\displaystyle |K(s)|}
K ( s ) = 3 s 4 + 12.666667 s 2 + 10.666667 s 3 {\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {3s^{4}+12.666667s^{2}+10.666667}{s^{3}}}\\\end{aligned}}}
ローパスの場合と同じ手順で からを求め 、定数を使って 大きさをスケーリングします。 [10] [11] G ( s ) {\displaystyle G(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} C {\displaystyle C}
ε 2 = 10 1 d B / 10. − 1. = .25892541 G ( s ) = C K ( s ) d e n K ( − s ) d e n K ( s ) d e n K ( − s ) d e n + ε 2 K ( s ) n u m K ( − s ) n u m | LHP poles = C s 3 ( s ) 3 ( − s ) 3 + .25892541 { 3 ( s ) 4 + 12.666667 ( s ) 2 + 10.666667 } { 3 ( − s ) 4 + 12.666667 ( − s ) 2 + 10.666667 } | LHP poles = C s 3 2.3303287 s 8 + 18.678331 s 6 + 58.11437 s 4 + 69.9674 s 2 + 29.459958 | LHP poles {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&=C{\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {(s)^{3}(-s)^{3}+.25892541\{3(s)^{4}+12.666667(s)^{2}+10.666667\}\{3(-s)^{4}+12.666667(-s)^{2}+10.666667\}}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {2.3303287s^{8}+18.678331s^{6}+58.11437s^{4}+69.9674s^{2}+29.459958}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}
左半平面の極から分母を再構成する際には、 反射零点が0dBで発生するように振幅を設定する必要があります。そのためには、 通過帯域コーナー周波数において = -1dB、 かつ となるようにスケーリングする必要があります 。これが完了すると、設計された非対称チェビシェフフィルタの最終的な伝達関数は以下のようになります。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} | G ( s ) | {\displaystyle |G(s)|} s = j {\displaystyle s=j} s = j 2 {\displaystyle s=j2}
G ( s ) = 0.18424001 s 3 0.28125000 s 4 + 0.34089984 s 3 + 1.3337548 s 2 + 0.54084155 s + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {0.18424001s^{3}}{0.28125000s^{4}+0.34089984s^{3}+1.3337548s^{2}+0.54084155s+1}}\\\end{aligned}}}
s=j および s=2j で評価すると 、どちらの場合も -1dB の値が得られ、例が正しく合成されたことが保証されます。周波数応答は以下のとおりです。 に対してチェビシェフの 1dB 等リップル通過帯域応答 、通過帯域端でのカットオフ減衰量が -1dB、 に向かって -60dB / デケード減衰、 に向かって -20dB / デケード減衰 、そして通過帯域端付近でチェビシェフ型の急勾配が見られます。 | G ( s ) | {\displaystyle |G(s)|} 1 < ω < 2 {\displaystyle 1<\omega <2} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = ∞ {\displaystyle \omega =\infty }
非対称チェビシェフを示すシミュレーション
通過帯域リップルの抑制 標準的なローパスチェビシェフフィルタ設計では、0 rad/secから周波数正規化値1 rad/secまでの等リップル通過帯域が形成されます。しかし、設計要件によっては、低周波数域で等リップル通過帯域を必要としない場合もあります。この用途に標準的な完全等リップルチェビシェフフィルタを適用すると、過剰設計のフィルタとなってしまいます。等リップルを通過帯域の一定割合に制限することで、より効率的な設計が可能になり、フィルタのサイズが縮小され、部品点数を1～2点削減できる可能性があります。これは、基板スペース効率を最大化し、量産品の製造コストを最小限に抑えるのに役立ちます。 [9]
狭窄された通過帯域リップルは、この記事で上で説明した手法を使用し、0 次非対称ハイパス側（0 に透過零点がない）と 狭窄されたリップル周波数に設定された を持つ非対称チェビシェフ バンド パス フィルタを設計することによって実現できます。ローパス側の次数は、奇数次フィルタの場合は N-1、偶数次修正フィルタの場合は N-2、標準偶数次フィルタの場合は N です。この結果、 における S12 は 1 未満になりますが 、これは偶数次標準チェビシェフ設計の典型であるため、標準偶数次チェビシェフ設計の場合、このステップでプロセスは完了です。 奇数次設計の場合は に 1 つの反射零点を挿入し、偶数次修正設計の場合は に 2 つの反射零点を挿入する必要があります。追加された反射零点により、通過帯域に顕著な誤差が生じ、問題になる可能性があります。この誤差は 、連立方程式のニュートン法 を使用して有限反射零点の位置を変更することで、迅速かつ正確に除去できます 。 ω 2 {\displaystyle \omega 2} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = 0 {\displaystyle \omega =0}
ニュートン法の応用 ニュートン法で反射ゼロを配置するには、次の 3 つの情報が必要です。
制限されたリップル周波数よりも高い周波数に存在する各通過帯域リップル最小値の位置。 正規化された振幅の値 、すなわち 、狭窄周波数および狭窄周波数を超える各極小値における振幅の値。今後この関数を参照する場合は、また はと表記する。 | K ( j ω ) | {\displaystyle |K(j\omega )|} | K ( j ) | = 1 {\displaystyle |K(j)|=1} | K ( j ω ) | K ( j ) | = 1 | {\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|} | K ( s ) | K ( j ) | = 1 | {\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|} 狭窄周波数および狭窄周波数を超える各最小値における 偏導関数 の ヤコビ 行列 。各反射ゼロに関して。 | K ( j ω ) | K ( j ) | = 1 | {\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|} チェビシェフ特性方程式 では、 すべての反射零点が軸上にあり 、すべての透過零点が 軸上または軸対称 （受動素子の実装に必要）にあるため、通過帯域リップルの最小値の位置は、 の導関数の分子を因数分解し、根を求めるアルゴリズム を用いることで求めることができます 。 この 多項式 の根は、通過帯域の最小値周波数となります。 は 標準的な多項式導関数の定義 から得られ 、 は です 。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} j ω {\displaystyle j\omega } j ω {\displaystyle j\omega } j ω {\displaystyle j\omega } K ( s ) {\displaystyle K(s)} ( d K ( s ) / d s ) n u m {\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}} ( d K ( s ) / d s ) n u m {\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}} ( d K ( s ) / d s ) n u m = K ( s ) d e n ( d ( K ( s ) n u m ) / d s ) − K ( s ) n u m ( d ( K ( s ) d e n ) / d s ) {\displaystyle (dK(s)/ds)num=K(s)_{den}(d(K(s)_{num})/ds)-K(s)_{num}(d(K(s)_{den})/ds)}
偏微分は を用いてデジタル的に計算できます が、連続偏微分は一般的に精度が高く収束時間が短いため、推奨されます。 反射零点に関する の連続偏微分を得るには、 常に を作用させる連続的な式を得る必要があります。これは 、以下に示すように、 をその共役根の対の関数として表すことで実現できます。 ∂ | K ( R k , j ω ) K ( j ) = 1 | / ∂ R k = | K ( R k , j ω ) | K ( j ) | = 1 | − | K ( R k + △ R k , j ω ) | K ( j ) | = 1 | ) / △ R k {\displaystyle \partial |K(R_{k},j\omega )_{K(j)=1}|/\partial R_{k}=|K(R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|-|K(R_{k}+\vartriangle R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|)/\vartriangle R_{k}} | K ( s ) | K ( j ) | = 1 | {\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|} K ( s ) {\displaystyle K(s)} | K ( j ) | = 1 {\displaystyle |K(j)|=1} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
| K ( s ) | K ( j ) | = 1 | = { K f i n i t e ( s ) if n is even s K f i n i t e ( s ) if n is odd K f i n i t e ( s ) = ∏ i = 1 N R z ( R z i 2 + s 2 ) ∏ i = 1 N T z ( T z i 2 + s 2 ) ∏ i = 1 N T z ( T z i 2 − 1 ) ∏ i = 1 N R z ( R z i 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}|K(s)_{|K(j)|=1}|&={\begin{cases}K_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\sK_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\\end{cases}}\\&\\K{finite}(s)&={\frac {\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}+s^{2})}{\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}+s^{2})}}{\frac {\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}-1)}{\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}-1)}}\\\end{aligned}}}
ここで、 は有限の反射零点と透過零点を含み、 と は 反射零点と透過零点の共役対の数を表し、 と は 反射零点と透過零点の共役対です。 奇数項は、奇数次チェビシェフフィルタに発生する、0 における単一の反射零点を表します。4つ組の透過零点を使用する場合は、4つ組の項に対応するように式を修正する必要があることに注意してください。 上記の式で は 、必ず であることが分かります。 K f i n i t e ( s ) {\displaystyle K{finite}(s)} N R z {\displaystyle N_{Rz}} N T z {\displaystyle N_{Tz}} R z i {\displaystyle Rz_{i}} T z i {\displaystyle Tz_{i}} s {\displaystyle s} | K ( s ) | = 1 {\displaystyle |K(s)|=1} s = j {\displaystyle s=j}
チェビシェフ通過帯域を形成するには反射零点の移動のみが必要なので、偏微分表現は項についてのみ行えばよく 、 項は定数として扱われます。各 に対する偏微分表現の決定を容易にするために 、上記の式は以下のように書き直すことができます。 R z i {\displaystyle Rz_{i}} T z i {\displaystyle Tz_{i}} R z i {\displaystyle Rz_{i}}
| K ( j ω ) | K ( j ) | = 1 | = R z k 2 − ω 2 R z k 2 − 1 | K ( j ω ) | less the R z k 2 terms {\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}_{{\text{less the }}Rz_{k}^{2}{\text{ terms}}}}
ここで、 特定の反射ゼロ共役対を指定します。 R z k 2 {\displaystyle Rz_{k}^{2}}
この式の に関する微分は、標準的な 微分規則 に従って簡単に計算できます。定数 は 、関数の完全性を保つために項 を除算する必要があります。これを行う最も簡単な方法は、前に移動した項 の逆数を乗じることです 。微分可能な式は次のように書き直すことができます。 R z k {\displaystyle Rz_{k}} R k 2 {\displaystyle R_{k}^{2}} | K ( j ω ) | {\displaystyle |K(j\omega )|} R k 2 {\displaystyle R_{k}^{2}}
| K ( j ω ) | K ( j ) | = 1 | = R z k 2 − ω 2 R z k 2 − 1 { | K ( j ω ) | | R z k 2 − 1 R z k 2 − ω 2 | } constant {\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg \{}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}{\bigg |}{\frac {Rz_{k}^{2}-1}{Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}}{\bigg |}{\bigg \}}_{\text{constant}}}
偏微分は、標準的な微分手順を適用して 簡約化することで決定できます。結果は以下の通りです。 R z k {\displaystyle Rz_{k}}
∂ | K ( j ω ) | K ( j ) | = 1 | ∂ | R z k | = 2 R z k 2 ( 1 − ω 2 ) ( 1 − R z k 2 ) ( R z k 2 − ω 2 ) | K ( j ω ) | {\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega ^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega ^{2})}}|K(j\omega )|}
関連する周波数は狭窄点の周波数と の 根だけなので 、ヤコビ行列は次のように構築できます。 i = 2 to N R z {\displaystyle i=2{\text{ to }}N_{Rz}} | ( d K ( s ) / d s ) n u m | {\displaystyle |(dK(s)/ds)_{num}|}
J ( R z k , ω i ) = [ ∂ | K ( R z 1 , j ω 1 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z 1 ∂ | K ( R z 2 , j ω 1 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z 2 … ∂ | K ( R z N R z , j ω 1 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z N R z ∂ | K ( R z 1 , j ω 2 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z 1 ∂ | K ( R z 2 , j ω 2 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z 2 … ∂ | K ( R z N R z , j ω 2 ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z N R z ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ | K ( R z 1 , j ω N R z ) | K ( j ) | = 1 | ) ∂ R z 1 ∂ | K ( R z 2 , j ω N R z ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z 2 … ∂ | K ( R z N R z , j ω N R z ) | K ( j ) | = 1 | ∂ R z N R z ] {\displaystyle J(Rz_{k},\omega _{i})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|)}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\end{bmatrix}}}
ここで 、 は狭窄限界周波数、 は残りの通過帯域最小値の根の大きさ 、 は 反射零点です。 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω ( i > 1 ) {\displaystyle \omega _{(i>1)}} | d K ( s ) / d s ) n u m | {\displaystyle |dK(s)/ds)_{num}|} R z k {\displaystyle Rz_{k}}
フィルタのカットオフ減衰がリップル振幅と同じであると仮定すると、 の値は において常に1なので 、解ベクトルの要素はすべて1となり、ニュートン法を解くための反復方程式は次のようになる。 | K ( j ω i ) | {\displaystyle |K(j\omega _{i})|} ω i {\displaystyle \omega _{i}}
[ B k ] = [ | K ( j ω 1 ) | K ( j ) | = 1 | − 1 | K ( j ω 2 ) | K ( j ) | = 1 | − 1 ⋮ | K ( j ω N R z ) | K ( j ) | = 1 | − 1 ] [ J ( R k , ω i ) ] [ Δ k ] = [ B k ] [ R z k + 1 ] = [ R z k ] + [ Δ k ] {\displaystyle {\begin{aligned}&[B_{k}]={\begin{bmatrix}|K(j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|-1\\|K(j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|-1\\\vdots \\|K(j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|-1\\\end{bmatrix}}\\&\\&[J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]\\&\\&[Rz_{k+1}]=[Rz_{k}]+[\Delta _{k}]\\\end{aligned}}}
収束は、すべてのフィルタ とフィルタの合計 がアプリケーションに対して十分に小さい値、通常は1.e-05～1.e-16の範囲にあるときに達成されます。より大きなフィルタの場合、 収束初期における過度な変動を防ぐために各フィルタのサイズを制限する必要がある場合があります。また、収束中に各フィルタの値が制限されたリップル範囲内に収まるように、各フィルタのサイズを制限する必要が ある場合もあります。 ∑ k = 1 N R z | Δ k | < δ {\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta } δ {\displaystyle \delta } Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} R z k + 1 {\displaystyle Rz_{k+1}}
狭帯域通過帯域の例 通過帯域の 55% に制限された 1 dB 等リップル通過帯域を持つ 7 極チェビシェフ フィルタを設計します。
ステップ 1: 上記の非対称合成プロセス (コーナー周波数 = 0.45 を使用) を使用して、 に 6 つのローパス極 、 0 つのハイパス極を持つ、 .45 から 1 までの非対称周波数応答の特性多項式を 設計します 。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} ∞ {\displaystyle \infty } ω 2 {\displaystyle \omega _{2}}
K ( s ) = 63.089619 s 6 + 113.7979 s 4 + 60.897476 s 2 + 9.1891952 1 {\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{6}+113.7979s^{4}+60.897476s^{2}+9.1891952}{1}}}
ステップ1: 7極55%狭帯域リップル通過帯域 1 1 + ε 2 | K ( j ω ) | 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}|K(j\omega )|^{2}}}}} 1dB等リップル通過帯域 ε 2 = 10 ( 1 d B / 10 ) − 1 = 0.25892541 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541} 線形周波数スケール
ステップ2: ステップ1のフィルタに反射ゼロを1つ挿入します。 (偶数次修正フィルタの場合は、反射ゼロを2つ追加する必要があります) K ( s ) {\displaystyle K(s)}
K ( s ) = 63.089619 s 7 + 113.7979 s 5 + 60.897476 s 3 + 9.1891952 s 1 {\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{7}+113.7979s^{5}+60.897476s^{3}+9.1891952s}{1}}}
ステップ2: 7極55%狭帯域リップル通過帯域 1 1 + ε 2 | K ( j ω ) | 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}|K(j\omega )|^{2}}}}} 1dB等リップル通過帯域 ε 2 = 10 ( 1 d B / 10 ) − 1 = 0.25892541 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541} 線形周波数スケール
ステップ3: 通過帯域から の根の正の実数値または虚数値を計算してゼロ導関数周波数 を決定し 、 の最小根を 0.45 の狭窄周波数に置き換えます 。 ω ( 1 to N ) {\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}} | ( d K ( s ) / d s ) n u m | {\displaystyle |(d{K(s)}/ds)_{num}|} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}}
計算された 反復 ω i {\displaystyle \omega _{i}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} 1 0.45 0.64670785 0.89924235 2 0.45 0.68010003 0.9147864 3 0.45 0.6710597 0.91089712 4 0.45 0.66969972 0.91042253 5 0.45 0.66967763 0.9104163 6 0.45 0.66967762 0.9104163
ステップ 4 :各制限された微分ゼロ点における の値を決定します。 | K ( j ω i ) | {\displaystyle |K(j\omega _{i})|}
計算された 反復 | K ( j ω i ) | {\displaystyle |K(j\omega _{i})|} | K ( j ω 1 ) | {\displaystyle |K(j\omega _{1})|} | K ( j ω 2 ) | {\displaystyle |K(j\omega _{2})|} | K ( j ω 3 ) | {\displaystyle |K(j\omega _{3})|} 1 0.45 0.64035786 0.89703503 2 1.3886545 1.1638033 1.0148793 3 1.045108 1.0133721 0.99991225 4 1.0007289 1.0001094 0.99998768 5 1.0000002 1 1 6 1 1 1
ステップ 5 : 各周波数でのターゲット値を減算して、線形方程式の B ベクトルを作成します。この場合、カットオフ減衰量は、この特定の例では通過帯域リップル減衰量に等しいため、ターゲット値はすべて 1 になります。 カットオフ周波数は です 。 ω k {\displaystyle \omega _{k}} | K ( j ) | = 1 {\displaystyle |K(j)|=1} j {\displaystyle j}
計算された線形方程式のベクトル反復 | K ( j ω 1 ) | − 1 {\displaystyle |K(j\omega _{1})|-1} | K ( j ω 2 ) | − 1 {\displaystyle |K(j\omega _{2})|-1} | K ( j ω 3 ) | − 1 {\displaystyle |K(j\omega _{3})|-1} 1 -0.55 -0.35964214 -0.10296497 2 0.38865445 0.1638033 0.014879269 3 0.045108043 0.013372137 -8.7751135e-05 4 7.2893112e-04 1.0943442e-04 -1.2324941e-05 5 1.7276985e-07 5.2176787e-09 -2.6640391e-09 6 1.8873791e-14 1.5765167e-14 -2.553513e-15
ステップ6: 各反射零点に関して、 各 の 偏微分のヤコビ行列を決定する 。 | K ( j ω i ) | K ( j ) | = 1 | {\displaystyle |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|} ω ( 1 to N ) {\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}} R z k {\displaystyle Rz_{k}} ∂ | K ( j ω i ) | K ( j ) | = 1 | ∂ | R z k | = 2 R z k 2 ( 1 − ω i 2 ) ( 1 − R z k 2 ) ( R z k 2 − ω i 2 ) | K ( j ω i ) K ( j ) = 1 | {\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega _{i}^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega _{i}^{2})}}|K(j\omega _{i})_{K(j)=1}|}
反復処理 ∂ | K ( j ω i ) | K ( j ) | = 1 | ∂ | R z k | = 2 R z k 2 ( 1 − ω i 2 ) ( 1 − R z k 2 ) ( R z k 2 − ω i 2 ) | K ( j ω i ) K ( j ) = 1 | {\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega _{i}^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega _{i}^{2})}}|K(j\omega _{i})_{K(j)=1}|} 反復1 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 9.1345241 3.5002523 17.567498 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -0.35964214 -3.1210264 25.682621 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.10296497 -0.4223115 45.32731
反復2 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 18.978308 11.684784 67.247144 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -5.5693485 15.014974 57.94421 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.46259286 -4.7583095 63.000455
反復3 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 15.724251 8.5751083 48.268068 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -4.8309573 12.860042 48.094251 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.45645647 -4.3455391 59.167024
反復4 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 15.342666 8.1871355 46.007638 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -4.7516921 12.655385 47.240959 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.45514037 -4.3046963 58.87818
反復5 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 15.337079 8.1808716 45.971655 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -4.7506789 12.653283 47.233095 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.45510227 -4.3042391 58.875318
反復6 R z 1 {\displaystyle Rz_{1}} R z 2 {\displaystyle Rz_{2}} R z 3 {\displaystyle Rz_{3}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 15.337078 8.1808702 45.971647 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} -4.7506787 12.653283 47.233094 ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} -0.45510225 -4.3042391 58.875317
ステップ 7 :ステップ 5 の B ベクトルを使用して 線形方程式 を解き、反射ゼロの移動を取得します。 [ Δ k ] {\displaystyle [\Delta _{k}]} [ J ( R k , ω i ) ] [ Δ k ] = [ B k ] {\displaystyle [J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]}
Δ 1 {\displaystyle \Delta _{1}} Δ 1 {\displaystyle \Delta _{1}} Δ 3 {\displaystyle \Delta _{3}} ∑ k = 1 N | Δ k | {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|\Delta _{k}|} 1 -0.033937389 -0.040973291 -0.0054977233 .02680 2 0.010159103 0.010436353 0.001099011 .00723149 3 0.0018170271 0.001314472 1.090765e-04 .00108019 4 3.4653892E-05 1.6843291E-05 1.2899974E-06 1.75957e-05 5 9.0033707E-09 2.9081531E-09 2.3695501E-10 4.04949e-08 6 0 0 0 0
ステップ 8: 上記で計算した値を過去の反射ゼロ位置の反復から 差し引いて、新しい反射ゼロ位置を計算します。 [ Δ ] {\displaystyle [\Delta ]}
[ R z k ] next = [ R z k ] − [ Δ z k ] {\displaystyle [Rz_{k}]_{\text{next}}=[Rz_{k}]-[\Delta z_{k}]}
( R z 1 ) next {\displaystyle (Rz_{1})_{\text{next}}} ( R z 2 ) next {\displaystyle (Rz_{2})_{\text{next}}} ( R z 3 ) next {\displaystyle (Rz_{3})_{\text{next}}} 1 0.53982509 0.81637641 0.97841993 2 0.52966599 0.80594006 0.97732092 3 0.52784896 0.80462559 0.97721185 4 0.52781431 0.80460874 0.97721056 5 0.5278143 0.80460874 0.97721056 6 0.5278143 0.80460874 0.97721056
適用収束基準を 満たすまで、手順3から8を繰り返します。この例では、収束基準は1.e-12としています。収束基準を満たすと、最終 的な反射零点の位置、+/-j0.5278143、+/-J0.80460874、+/-J0.97721056、および0から最終的な が構築されます。振幅を となるように正規化すると 、構築された は 以下のようになります。 ∑ k = 1 N R z | Δ k | < δ m i n {\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta _{min}} K ( s ) {\displaystyle K(s)} | K ( j ) | = 1 {\displaystyle |K(j)|=1} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
K ( s ) = 87.245248 s 7 + 164.10165 s 5 + 92.882626 s 3 + 15.026225 s 1 {\displaystyle K(s)={\frac {87.245248s^{7}+164.10165s^{5}+92.882626s^{3}+15.026225s}{1}}}
G ( s ) = K ( s ) d e n K ( s ) d e n K ( − s ) d e n + ε 2 K ( s ) n u m K ( − s ) n u m | LHP roots {\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}
Where ε 2 = 10 ( 1 d B / 10 ) − 1 = 0.25892541 {\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541}
G ( s ) = 1 44.394495 s 7 + 30.711417 s 6 + 94.125494 s 5 + 46.949428 s 4 + 58.490258 s 3 + 17.844618 S 2 + 9.7031614 s + 1 {\displaystyle G(s)={\frac {1}{44.394495s^{7}+30.711417s^{6}+94.125494s^{5}+46.949428s^{4}+58.490258s^{3}+17.844618S^{2}+9.7031614s+1}}}
合成プロセスは、ステップ3の各周波数における 簡単なチェックを行うことで検証できます。これにより、 これらの周波数で1dBの減衰が確保され、カットオフ減衰 も1dBであることが保証されます。以下の計算結果の要約は、この例の合成プロセスを検証するものです。 | G ( j ω k ) | {\displaystyle |G(j\omega _{k})|} ω k {\displaystyle \omega _{k}} ω = 1 {\displaystyle \omega =1}
検証の概要 ω i {\displaystyle \omega _{i}} | G ( j ω k ) | {\displaystyle |G(j\omega _{k})|} ω 1 = 0.45 {\displaystyle \omega _{1}=0.45} -1 dB ω 2 = 0.66967762 {\displaystyle \omega _{2}=0.66967762} -1 dB ω 3 = 0.9104163 {\displaystyle \omega _{3}=0.9104163} -1 dB ω c u t = 1 {\displaystyle \omega _{cut}=1} -1 dB
順方向伝達関数の最終的な振幅周波数応答を 以下に示します。 | G ( j w ) | {\displaystyle |G(jw)|}
最終ステップ: 7極55%狭帯域リップル通過帯域 | G ( s ) | = 1 1 + ε 2 | K ( j ω ) | 2 {\displaystyle |G(s)|={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}|K(j\omega )|^{2}}}}} 1dB等リップル通過帯域 ε 2 = 10 ( 1 d B / 10 ) − 1 = 0.25892541 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541} 線形周波数スケール
チェビシェフIIストップバンドリップル狭窄 標準的なローパス逆チェビシェフフィルタ設計では、正規化された値1 rad/secから始まる等リップル阻止帯域が生成される 。しかし、設計要件によっては、高周波域で等リップル通過帯域を必要としない場合もある。この用途に標準的な完全等リップル逆チェビシェフフィルタを適用すると、過剰設計のフィルタとなってしまう。等リップルを阻止帯域の一定割合に制限することで、より効率的な設計が可能になり、フィルタのサイズが縮小され、部品点数を1～2個削減できる可能性がある。これは、基板スペース効率を最大化し、量産品の生産コストを最小化するために役立つ。 [9] ∞ {\displaystyle \infty }
狭窄リップルを持つ逆チェビシェフフィルタは、標準的な逆チェビシェフと全く同じプロセスで合成されます。狭窄リップルチェビシェフは 、反転した （ ここで はdB単位のストップバンド減衰量）を用いて設計され、設計された狭窄リップルチェビシェフフィルタの極と零点は反転され、カットオフ減衰量は に設定されます。標準的なチェビシェフ方程式は狭窄リップル設計には適用できないため、カットオフ減衰量は 楕円砂時計 設計で説明したプロセスを使用して設定する必要があります。 ε {\displaystyle \varepsilon } ε 2 = 1 / ( 10 ( γ / 10 ) − 1 ) {\displaystyle \varepsilon ^{2}=1/(10^{(\gamma /10)}-1)} γ {\displaystyle \gamma }
以下は、3dB カットオフ減衰を備えた 7 極狭窄リップル逆チェビシェフ フィルタの |S11| および |S12| 散乱パラメータです。
7極逆チェビシェフ狭窄阻止帯域リップル
非標準カットオフ減衰と透過ゼロ 上記の狭窄リップルの例は、カットオフ減衰量を通過帯域リップル減衰量と等しくし、任意の透過零点を省略し、偶数次への変更を必要としない奇数次を用いることで、意図的に単純化されています。ただし、ステップ5で目標値をカットオフ周波数 に存在する必要な 1 からオフセットするように計算し 、 透過零点を含む微分定数の一部として分母を含め、ステップ2で元の に反射零点を1つではなく2つ挿入することで、非標準的なカットオフ減衰量にも対応できます 。 ω = j {\displaystyle \omega =j} K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
阻止帯域透過零点を含める場合、 の根には の 阻止帯域極大値が含まれることを覚えておくことが重要です 。これらの根は、計算で使用される通過帯域極小値には含めないでください。 d K ( s ) / d s ) n u m {\displaystyle dK(s)/ds)_{num}} ω > 1 {\displaystyle \omega >1}
は のカットオフ減衰を設定するために使用できる ため 、ステップ 5 の 目標値は 1 に関して作成できます。ステップ 5 の目標値は、 上記の式から取得できる の式を使用して計算できます。 ε 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}} G ( s ) {\displaystyle G(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} | K ( j ω ) | {\displaystyle |K(j\omega )|}
| K ( j ω ) | = 10 A r i p p l e d B / 10 − 1. 10 A c u t d B / 10 − 1. = 0.01010101... at the pass band minima frequencies | K ( j ω ) | = 1 at the pass band cut-off frequency ε 2 = 10 ( A c u t d B / 10 ) − 1 = 99.0 {\displaystyle {\begin{aligned}&|K(j\omega )|={\sqrt {\frac {10^{Aripple_{dB}/10}-1.}{10^{Acut_{dB}/10}-1.}}}=0.01010101...{\text{ at the pass band minima frequencies}}\\&|K(j\omega )|=1{\text{ at the pass band cut-off frequency}}\\&\varepsilon ^{2}=10^{(Acut_{dB}/10)}-1=99.0\\\end{aligned}}}
%constriction = 55、次数 = 8、単一透過零点 = 1.1、通過帯域リップル減衰量 = 0.043648054（ ロスレスネットワークの関係式に基づくとS12 = 20dB減衰に相当 [12] ）、通過帯域カットオフ減衰量 = 20dBのフィルタ設計を考えてみましょう。 | S 11 | 2 + | S 12 | 2 = 1 {\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}
ステップ 5 の目標値は .01010101 で、 計算する値 は 99 です。完了すると、特性多項式、、 および順方向伝達関数、 は以下のようになります。 ε 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}} G ( s ) {\displaystyle G(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)}
K ( s ) = 2.3081085 s 8 + 3.7315386 s 6 + 1.8867298 s 4 + 0.28974597 s 2 0.82644628 s 2 + 1 {\displaystyle K(s)={\frac {2.3081085s^{8}+3.7315386s^{6}+1.8867298s^{4}+0.28974597s^{2}}{0.82644628s^{2}+1}}}
G ( s ) = K ( s ) d e n K ( s ) d e n K ( − s ) d e n + ε 2 K ( s ) n u m K ( − s ) n u m | LHP roots {\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}
Where ε 2 = 10 ( 20 d B / 10 ) − 1 = 99.0 {\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(20_{dB}/10)}-1=99.0}
G ( s ) = 0.82644628 s 2 + 1 22.96539 s 8 + 39.774072 s 7 + 71.570971 s 6 + 73.962937 s 5 + 65.358572 s 4 + 40.848153 s 3 + 19.393829 S 2 + 6.0938301 s + 1 {\displaystyle G(s)={\frac {0.82644628s^{2}+1}{22.96539s^{8}+39.774072s^{7}+71.570971s^{6}+73.962937s^{5}+65.358572s^{4}+40.848153s^{3}+19.393829S^{2}+6.0938301s+1}}}
検証は、 以下に示すように、狭窄周波数、カットオフ周波数、その間の残りの通過帯域最小周波数、および透過ゼロ周波数の 散乱パラメータ （それぞれ および ）を計算することから構成されます。 | S 12 | and | S 11 | {\displaystyle |S12|{\text{ and }}|S11|} | G ( s ) | {\displaystyle |G(s)|} 1 − | G ( s ) | 2 {\displaystyle {\sqrt {1-|G(s)|^{2}}}}
8極非標準カットオフ減衰および伝送ゼロ検証の概要 ω i {\displaystyle \omega _{i}} | S 12 | = | G ( j ω k ) | {\displaystyle |S12|=|G(j\omega _{k})|} | S 12 | = 1 − | G ( j ω k ) | 2 {\displaystyle |S12|={\sqrt {1-|G(j\omega _{k})|^{2}}}} ω 1 = 0.45 {\displaystyle \omega _{1}=0.45} -0.043648054 dB -20dB ω 2 = 0.66133008 {\displaystyle \omega _{2}=0.66133008} -0.043648054 dB -20dB ω 3 = 0.82704812 {\displaystyle \omega _{3}=0.82704812} -0.043648054 dB -20dB ω c u t = 1 {\displaystyle \omega _{cut}=1} -20 dB -0.043648054 dB ω T z 1 = 1.1 {\displaystyle \omega _{Tz_{1}}=1.1} - ∞ {\displaystyle \infty } 0 dB
最終的な振幅周波数応答を 以下に示します。 | S 12 | and | S 11 | {\displaystyle |S_{12}|{\text{ and }}|S_{11}|}
最終ステップ: 8極55%狭帯域リップル通過帯域 | G ( s ) | = 1 1 + ε 2 | K ( j ω ) | 2 {\displaystyle |G(s)|={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}|K(j\omega )|^{2}}}}} 20dB S11等リップル通過帯域 1.1 rad/sec での有限透過率ゼロ 非標準S12カットオフ減衰20dB 幾何学的頻度スケール
参照
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外部リンク ウィキメディア・コモンズのチェビシェフフィルタ関連メディア .svg/1280px-Chebyshev_Type_I_Filter_Response_(4th_Order).svg.png)
.svg/1280px-Chebyshev_Type_I_Filter_s-Plane_Response_(8th_Order).svg.png)
![{\displaystyle P'=\left[{\sqrt {\left({\frac {P^{2}+cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}{1-{cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}}}\right)}}\right]_{\text{左半平面 }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d85b6994fd30599cdefbbebe97d4d04fc99623)
![{\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70577ff1ae5804a8bbbe75fa1fb842e4030b4adf)
.svg/1280px-Chebyshev_Type_II_Filter_s-Plane_Response_(8th_Order).svg.png)
![{\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510d0b303b2f5a1fb8e4ec4aafaa780908223ec9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&B=\prod _{i=1}^{N}(M_{i}s+1)\\&K(s)_{num}=\sum _{i=N}^{i\geq 0{\text{, step }}=-2}{\bigg [}\sum _{j=i}^{j\geq 0{\text{, step }}=-2}B_{j}{\binom {(Nj)/2}{(Ni)/2}}{\bigg ]}s^{i}\\&N={\text{ チェビシェフフィルタの次数}}\\&B={\text{ 指定された因子の積によって作成された多項式}}\\&B_{j}={\text{ 多項式Bのj_{番目}{\text{次係数}}\\&{\binom {n}{k}}{\text{ は二項係数である関数}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a45ca8458d15d2b8a48a92c19422788b351c46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[B_{k}]={\begin{bmatrix}|K(j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|-1\\|K(j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|-1\\\vdots \\|K(j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|-1\\\end{bmatrix}}\\&\\&[J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]\\&\\&[Rz_{k+1}]=[Rz_{k}]+[\Delta _{k}]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d39e112491de61de26542a660d170b37916368f)
![{\displaystyle [\Delta _{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6441738822de8bac7eb3f8d38b2f9083bf44f823)
![{\displaystyle [J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30891bad690af45f8fe4b04230804be590ef930)
![{\displaystyle [\Delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72f4d90ef418b5b2e91f343208ef0d36587d3df)
![{\displaystyle [Rz_{k}]_{\text{next}}=[Rz_{k}]-[\Delta z_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdd13ac745c12b5b779f462fd190a1b054a0d06)
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