円形アンサンブル

ランダム行列の理論において、円形アンサンブルはフリーマン・ダイソンがガウス行列アンサンブルの修正として導入したユニタリ行列の空間上の測度である。^[1] 3つの主な例としては、対称ユニタリ行列上の円形直交アンサンブル（COE）、ユニタリ行列上の円形ユニタリアンサンブル（CUE）、自己双対ユニタリ四元数行列上の円形シンプレクティックアンサンブル（CSE）がある。

確率分布

ユニタリー円集合CUE( n )の分布は、ユニタリー群U(n)上のハール測度である。UがCUE( n )のランダム元であれば、U ^T UはCOE( n )のランダム元である。UがCUE( 2n )のランダム元であれば、U ^R UはCSE( n )のランダム元である。ここで

${\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.}$

円集合の各要素はユニタリ行列であるため、単位円上に固有値を持ちます。k =1,2,... nに対して となります。ここで は固有角または固有位相とも呼ばれます。CSEでは、これらのn個の固有値はそれぞれ2回出現します。分布は固有角に関して密度を持ち、次のように表されます。 ${\displaystyle \lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}}$ ${\displaystyle 0\leq \theta _{k}<2\pi }$ ${\displaystyle \theta _{k}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}$

（対称化版）において、COEの場合はβ=1、CUEの場合はβ=2、CSEの場合はβ=4である。密度はワイル積分公式によって導出される。正規化定数Z _n,βは次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}}$

${\displaystyle Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}$

これはセルバーグの積分公式によって検証できる。

一般化

円集合の一般化は、Uの行列要素を実数（Uは直交群 O(n)に属する）または実四元数（Uはシンプレクティック群 Sp(2n)に属する）に制限する。直交群上のハール測度は円実集合（CRE）を生成し、シンプレクティック群上のハール測度は円四元数集合（CQE）を生成する。

直交行列の固有値は複素共役対とで与えられ、+1または-1に固定された固有値によって補完される可能性がある。n =2mの偶数かつdet U=1の場合には、固定された固有値は存在せず、位相θ _{k は}確率分布に従う^[2]。 ${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$ ${\displaystyle e^{-i\theta _{k}}}$

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

Cは未指定の正規化定数である。n =2m+1の奇数に対しては、固定された固有値σ=det Uが±1となる。位相は分布に従う。

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

n=2m+2の偶数とdet U=-1の場合には、 +1と-1に固定された固有値のペアがあり、位相は分布を持つ。

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

これはSp(2m)の行列の固有値の分布でもあります。

これらの確率密度関数は、相関関数がヤコビ多項式で表現できるため、ランダム行列理論ではヤコビ分布と呼ばれます。

計算

円形アンサンブルにおける行列要素の積の平均は、ワインガルテン関数を用いて計算できる。行列の次元が大きい場合、これらの計算は非現実的となり、数値計算が有利となる。円形アンサンブルにおいてランダム行列を生成する効率的なアルゴリズムが存在する。例えば、ジニブレ行列のQR分解などが挙げられる。 ^[3]

参考文献

1. FM Dyson (1962). 「三重の道：量子力学における対称群とアンサンブルの代数的構造」. Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1199. Bibcode :1962JMP.....3.1199D. doi :10.1063/1.1703863.
2. VL Girko (1985). 「直交ランダム行列の固有値と固有ベクトルの分布」.ウクライナ数学ジャーナル. 37 (5): 457. doi :10.1007/bf01061167. S2CID  120597749.
3. F. Mezzadri (2007). 「古典コンパクト群からランダム行列を生成する方法」(PDF) . AMS の通知. 54 : 592. arXiv : math-ph/0609050 . Bibcode :2006math.ph...9050M.

ソフトウェア実装

• 「Wolfram Mathematicaの円形アンサンブル」。Wolfram言語。
• Suezen, Mehmet (2017). 「Bristol: ランダム行列アンサンブルのためのPythonパッケージ（円形アンサンブル生成の並列実装）」doi :10.5281/zenodo.579642.
  • 「Bristol: ランダム マトリックス アンサンブル用の Python パッケージ」。pypi。

外部リンク

• Mehta, Madan Lal (2004), Random matrices , Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), vol. 142 (第3版), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4、MR  2129906
• フォレスター、ピーター・J.（2010）「対数ガスとランダム行列」プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12829-0

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