閉グラフ定理

グラフと連続性に関する定理

区間 上の3次関数 のグラフは、関数が連続であるため閉じています。区間 上のヘヴィサイド関数のグラフは、関数が連続ではないため閉じていません。 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$ ${\displaystyle [-4,4]}$ ${\displaystyle [-2,2]}$

数学において、閉グラフ定理（くっグラフていりつ）とは、連続関数をそのグラフの観点から特徴付けるいくつかの基本的な結果の一つを指す。それぞれの定理は、閉グラフを持つ関数が必然的に連続となるための条件を与える。

T. Taoのブログ記事^[1]には、数学全体にわたるいくつかの閉グラフ定理が列挙されている。

閉じたグラフを含むグラフとマップ

が位相空間間の写像である場合、のグラフは集合 であり、または同等に、が の閉部分集合である場合(積位相を持つ) 、 のグラフは閉じていると言えます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$ $${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

ハウスドルフ空間への任意の連続関数は閉グラフを持つ（§点集合位相における閉グラフ定理を参照）

2つの位相ベクトル空間の間の線型写像であって、その位相が並進不変計量に関して（コーシー）完全であるものにおいて、さらに（1a）が積位相の意味で連続であるならば、写像は連続であり、そのグラフGr Lは必然的に閉じている。逆に、（1a）の代わりに（1b）のグラフが直積空間において閉じていることが知られているような線型写像であるならば、は連続であり、したがって必然的に連続である。^[2] ${\displaystyle L:X\to Y,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle L}$

連続マップの例ない閉じたグラフを持つ

が任意の空間である場合、恒等写像は連続であるが、そのグラフである対角線は、がハウスドルフである場合に限り、において閉じている。 ^[3]特に、がハウスドルフでない場合、は連続であるが、閉じたグラフを持た ない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$

実数を通常のユークリッド位相で表し、を離散位相で表す（ただし、 はハウスドルフ位相ではなく、 で値をとるすべての関数は連続である）。を で定義し、すべての に対して定義するとする。するとは連続だが、そのグラフはにおいて閉じていない。^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

点集合位相における閉グラフ定理

点集合位相において、閉グラフ定理は次のように述べます。

閉グラフ定理^[5] —が位相空間からハウスドルフ空間への写像である場合、 のグラフはが連続であれば閉じている。がコンパクトであれば逆が成り立つ。（コンパクト性とハウスドルフ性は互いに無関係であることに注意。） ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

証拠

最初の部分: のグラフは、 の対角線が である原像と同じであることに注目してください。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f\times \operatorname {id} _{Y})^{-1}(D)}$ ${\displaystyle D=\{(y,y)\mid y\in Y\}}$ ${\displaystyle Y^{2}}$

第二部:

任意の開 に対して、 が開であることを確認します。したがって、任意の に対して、となるような の開近傍を構築します。 ${\displaystyle V\subset Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subset V}$

のグラフは閉じているので、 「xにおける垂直線」上のすべての点について、のグラフとは交わらない開いた長方形を描きます。これらの開いた長方形をy軸に投影すると、 を除いてy軸を覆うので、もう1つの集合 を追加します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y')}$ ${\displaystyle y'\neq f(x)}$ ${\displaystyle U_{y'}\times V_{y'}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle V}$

単純に を取ろうとすると を含む集合が構築されますが、それが開集合であるとは限らないので、ここではコンパクト性を使用します。 ${\displaystyle U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}}$ ${\displaystyle x}$

はコンパクトなので、 の有限開被覆を として取ることができます。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}}$

さて、 を取ります。これは単なる有限の交差なので、 の開近傍です。これが我々が求めるの開近傍であると主張します。 ${\displaystyle U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

そうでなければ、となるような手に負えない が存在し、その場合、 に対して開被覆により が成り立つことになりますが、 の場合は のグラフとは素であるはずなので矛盾が生じます。 ${\displaystyle x'\in U}$ ${\displaystyle f(x')\not \in V}$ ${\displaystyle f(x')\in V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle f}$

X、Yがコンパクト ハウスドルフ空間である場合、この定理はそのような空間の開写像定理からも導出できます。§ 開写像定理との関係を参照してください。

非ハウスドルフ空間は稀ですが、非コンパクト空間はよく見られます。非コンパクト空間の例としては実数直線があり、これは閉グラフを持つ不連続関数を許容します。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}}$

また、関数解析における閉じた線形演算子(閉じたグラフを持つ線形演算子) は通常、連続ではありません。

集合値関数の場合

集合値関数の閉グラフ定理^[6] —ハウスドルフ コンパクト値域空間に対して、集合値関数が閉グラフを持つ場合と、それが上半連続で、かつF ( x )がすべての に対して閉集合である場合に限ります。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to 2^{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$

関数解析では

が位相ベクトル空間(TVS)間の線型演算子である場合、 が積位相を備えているときにのグラフが で閉じられているとき、 は閉じた演算子であるといいます。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

閉グラフ定理は、関数解析における重要な結果であり、閉線型作用素が特定の条件下で連続であることを保証する。元の結果は何度も一般化されてきた。閉グラフ定理のよく知られたバージョンは以下の通りである。

定理^{[7] [8]} — 2つのF空間（例えばバナッハ空間）間の線型写像は、そのグラフが閉じている場合にのみ連続である。

この定理は開写像定理の結果です。以下の「開写像定理との関係」を参照してください（逆に、開写像定理は閉グラフ定理から演繹することができます）。

開写像定理との関係

閉グラフ定理は、しばしば開写像定理の系として次のように得られる。^{[1] [9]}を任意の写像とする。すると、 ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _{f}{\overset {q}{\to }}Y}$。

さて、は射影 の逆写像です。したがって、 に対して開写像定理が成り立つ場合、つまり が開写像である場合、は連続であり、は連続です（連続写像の合成として）。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p:\Gamma _{f}\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

たとえば、上記の議論は、が閉グラフを持つバナッハ空間間の線型演算子である場合、または がコンパクト ハウスドルフ空間間の閉グラフを持つ写像である場合に適用されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

参照

• ほぼ開いた線形地図 - 開いた地図と類似の条件を満たす地図リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 閉グラフ – 位相幾何学における関数の性質リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 閉じた線形作用素 – グラフが閉じた線形作用素
• 不連続線形マップ
• 角谷不動点定理 – 集合値関数の不動点定理
• 開写像定理（関数解析）  – 線型作用素が開写像となるための条件
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間
• ザリスキの主定理 – 代数幾何学と可換代数の定理

注記

参考文献

1. 「さまざまなカテゴリにおける閉グラフ定理」。2012年11月21日。
2. ルディン1991、51-52ページ。
3. ルディン1991、50ページ。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、459–483頁。
5. ムンクレス 2000、163–172ページ。
6. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). 「第17章」. 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』（第3版）. Springer.
7. シェーファー＆ウォルフ 1999、78ページ。
8. トレヴェス（2006年）、173ページ
9. Noll, Dominikus (2024). 「閉グラフ定理を満たす位相空間」. arXiv : 2403.03904 [math.GN].

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190。
• フォランド、ジェラルド・B.（1984年）、実分析：現代技術とその応用（第1版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-80958-6
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC  8210342 。
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。
• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。
• 「閉グラフ定理の証明」。PlanetMath 。

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