閉範囲定理

バナッハ空間に関する数学定理

バナッハ空間の数学的理論において、閉範囲定理は、閉じた稠密に定義された演算子が閉範囲を持つための必要十分条件を与えます。

この定理は、Stefan Banachによって1932 年の Théorie des operations linéairesで証明されました。

声明

をバナッハ空間とし、その定義域が に稠密な閉線型作用素、の転置とする。定理は、以下の条件が同値であることを主張する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:D(T)\to Y}$ ${\displaystyle D(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle R(T),}$の範囲は閉じている ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$の範囲は双対で閉じている ${\displaystyle T',}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

ここで、 はそれぞれ、およびのヌル空間です。 ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N(T')}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

常に包含 が存在することに注意してください。なぜなら、 かつ ならば となるからです。同様に、包含 も存在します。したがって、上記の定理の非自明な部分は、最後の2つの箇条書きにおける反対の包含です。 ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}$ ${\displaystyle y=Tx}$ ${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$ ${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$ ${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}$

帰結

この定理からいくつかの系が直ちに導かれる。例えば、上記のように稠密に定義された閉作用素が である必要十分条件は、転置が連続逆を持つ場合である。同様に、が連続逆を持つ場合である必要十分条件は、転置が連続逆を持つ場合である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R(T)=Y}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle R(T')=X'}$ ${\displaystyle T}$

証明のスケッチ

Tのグラフは閉じているので、証明は がバナッハ空間間の有界作用素である場合に帰着する。ここで はとなる。双対的には ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X{\overset {p}{\to }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}\operatorname {im} T{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y}$ ${\displaystyle T'}$

${\displaystyle Y'\to (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\to }}(X/\operatorname {ker} T)'\to X'.}$

さて、が閉じている場合、それはバナッハであり、開写像定理より、は位相同型である。したがって、 は同型であり、 となる。（その他の意味については更なる検討が必要である。） ${\displaystyle \operatorname {im} T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}'}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}$ ${\displaystyle \square }$

参考文献

• ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl  0005.20901。2014 年 1 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2020年7月11日に取得。
• Yosida, K. (1980)、『Functional Analysis』、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)、vol. 123 (第 6 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Closed_range_theorem&oldid=1235564534」より取得