閉凸関数

数学において、関数が閉じているとは、各 に対して、その部分集合が 閉集合であることを意味します ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}$

同様に、によって定義された エピグラフ が閉じている場合、関数は閉じています。 ${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}}$ ${\displaystyle f}$

この定義は任意の関数に対して有効ですが、凸関数に対して最もよく用いられます。真凸関数が閉じている場合、かつその関数が下半連続である場合に限ります。^{[ 1 ]}

性質

• が連続関数で、が閉じている場合、は閉じています ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$ ${\displaystyle f}$
• が連続関数で開関数である場合、 が閉関数となるのは、 の境界点に収束するすべての列に沿ってに収束する場合に限ります。^{[ 2 ]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$
• 閉じた真凸関数fは、 h ≤ fを満たすすべてのアフィン関数hの集合の各点の最大値です( fのアフィン小関数と呼ばれる)。

参考文献

1. 凸最適化理論。アテナ・サイエンティフィック。2009年。10、11ページ。ISBN 978-1886529311。
2. ボイド、スティーブン、ヴァンデンバーグ、リーヴェン (2004).凸最適化(PDF) . ニューヨーク: ケンブリッジ. pp.  639– 640. ISBN 978-0521833783。

• ロッカフェラー、R. ティレル(1997) [1970].凸解析. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-01586-6。

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