コンパクトオペレーター

Type of continuous linear operator

数学の一分野である関数解析において、コンパクト作用素とは、ノルムベクトル空間 を成す線型作用素であり、 の有界部分集合を の相対コンパクト部分集合（においてコンパクト閉包を持つ部分集合）に写す性質を持つ。このような作用素は必然的に有界作用素であり、したがって連続である。^[1]一部の著者は がバナッハであることを要求しているが、定義はより一般的な空間に拡張することができる。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

有限階数の有界作用素はコンパクト作用素である。実際、コンパクト作用素のクラスは、無限次元の設定における有限階数作用素のクラスの自然な一般化である。 がヒルベルト空間のとき、任意のコンパクト作用素は有限階数作用素の（作用素ノルムにおける）極限であるということは真であり、 ^{[1]そのため、コンパクト作用素のクラスは、}ノルム位相における有限階数作用素の集合の閉包として代わりに定義することができる。 これがバナッハ空間に対して一般に真であるかどうか（近似特性）は、長年未解決の問題であった。 1973 年、ペル・エンフロはアレクサンダー・グロタンディークとステファン・バナッハの研究を基にして反例を示した。^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

コンパクト作用素の理論の起源は積分方程式の理論にあり、積分作用素はそのような作用素の具体的な例を提供する。典型的なフレドホルム積分方程式は関数空間上のコンパクト作用素Kを生じ、そのコンパクト性は等連続性によって示される。有限階数作用素による近似法は、このような方程式の数値解法の基本となる。フレドホルム作用素という抽象的な概念は、この関係から派生したものである。

定義

TVSケース

を位相ベクトル空間、を線形演算子 とします。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

以下の記述は同等であり、異なる著者は「コンパクト演算子」の主な定義としてこれらのいずれかを選択する可能性がある。^[3] ${\displaystyle T}$

• には原点の近傍 が存在し、は の比較的コンパクトな部分集合である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$
• には原点の近傍 と、となるコンパクト部分集合が存在する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• には空でない開集合が存在し、 は の比較的コンパクトな部分集合である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$

正規化されたケース

さらにノルム空間の場合、これらのステートメントは次と同値である: ^[4] ${\displaystyle X,Y}$

• 下の単位球のイメージは比較的コンパクトです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• の任意の有界部分集合の像はにおいて相対的にコンパクトである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• 内の任意の有界シーケンスに対して、シーケンスには収束する部分シーケンスが含まれます。 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

バナッハケース

さらにバナッハの場合、次のステートメントも次のステートメントと同等です。 ${\displaystyle Y}$

• の任意の有界部分集合の像はにおいて完全に有界である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

プロパティ

以下では、はバナッハ空間、は演算子ノルムの下での有界演算子の空間、 はコンパクト演算子の空間を表します。は、、、および上の恒等演算子を表します。 ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle K(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$

• 線形演算子がコンパクトであれば、それは連続です。
• ${\displaystyle K(X,Y)}$は（ノルム位相において）の閉部分空間である。同値に、 ^[5] ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • コンパクト演算子のシーケンス (ここで、 はバナッハ) が与えられ、演算子ノルムに関してに収束する場合、はコンパクトです。 ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• 特に、有限ランク演算子のシーケンスの極限はコンパクト演算子です。
• 逆に、 がヒルベルト空間である場合、 からのすべてのコンパクト作用素は有限階数作用素の極限となる。特に、この「近似性」は一般のバナッハ空間およびに対しては偽である。^{[2] [4]} ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z),}$ここで、集合の合成は要素ごとに行われます。特に、は において両側イデアルを形成します。 ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle B(X)}$
• 任意のコンパクト演算子は厳密に特異であるが、その逆は成り立たない。^[6]
• バナッハ空間間の有界線型作用素がコンパクトであるための必要十分条件は、その随伴作用素がコンパクトである（シャウダーの定理）。^[7]
  • が有界かつコンパクトな場合、次の式が成り立つ： ^{[5] [7]} ${\displaystyle T:X\to Y}$
    • の値域の閉包は分離可能である。 ${\displaystyle T}$
    • の値域が で閉じている場合、 の値域は有限次元です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$
• がバナッハ空間であり、可逆な有界コンパクト作用素が存在する場合、は必然的に有限次元である。^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

ここで、 がバナッハ空間であり、がコンパクト線型作用素であり、 がTの随伴または転置であるとします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}}$

• 任意の に対して、は指数 0 のフレドホルム作用素である。特に、は閉じている。これはコンパクト作用素のスペクトル特性を発展させる上で重要である。この性質と、とが の部分空間（ただしは閉じており は有限次元である）である場合、も閉じているという事実との類似性に気づくだろう。 ${\displaystyle T\in K(X)}$ ${\displaystyle {\operatorname {Id} _{X}}-T}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• が任意の有界線型作用素である場合、と は両方ともコンパクト作用素である。^[5] ${\displaystyle S\colon X\to X}$ ${\displaystyle S\circ T}$ ${\displaystyle T\circ S}$
• の場合には の値域は閉じており、 の核は有限次元である。^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$
• すると、次の式は有限かつ等しい：^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right){\big )}}$
• のスペクトルは コンパクトで可算であり、最大で1つの極限点を持ち、その極限点は必然的に原点となる。^[5] ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$
• が無限次元の場合、 となる。^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• およびの場合、はおよびの両方の固有値である。^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$
• 任意のに対して集合は有限であり、任意の非ゼロに対しての値域はの真部分集合である。^[5] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$

積分方程式理論の起源

コンパクト作用素の重要な性質の一つは、線型方程式の解におけるフレドホルム代替法である。コンパクト作用素、与えられた関数、そして解くべき未知関数を とする。フレドホルム代替法によれば、方程式は有限次元の場合とほぼ同様に振舞う。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$$

コンパクト作用素のスペクトル理論は、Frigyes Riesz (1918)によるものです。この理論によれば、無限次元バナッハ空間上のコンパクト作用素のスペクトルは、0 を含む有限部分集合であるか、またはを唯一の極限点とする可算無限部分集合であるかのいずれかになります。さらに、いずれの場合も、スペクトルの非零元は有限重複度を持つの固有値です（したがって、すべての複素数 に対して は有限次元核を持ちます）。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

コンパクト作用素の重要な例としては、ソボレフ空間のコンパクト埋め込みが挙げられる。これは、ゴーディング不等式やラックス・ミルグラム定理とともに、楕円型境界値問題をフレドホルム積分方程式に変換するために用いることができる。 ^[8]コンパクト作用素の理論から、解の存在とスペクトル特性が導かれる。特に、有界領域上の楕円型境界値問題には、孤立した固有値が無限に存在する。その結果、固体は固有値によって与えられる孤立した周波数でのみ振動することができ、任意の高い振動周波数が常に存在する。

バナッハ空間からそれ自身へのコンパクト作用素は、その空間上のすべての有界作用素の代数において両側イデアルを形成する。実際、無限次元可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素は最大イデアルを形成するため、カルキン代数として知られる商代数は単純となる。より一般に、コンパクト作用素は作用素イデアルを形成する。

ヒルベルト空間上のコンパクト作用素

ヒルベルト空間の場合、コンパクト演算子の別の同等の定義は次のように与えられます。

無限次元ヒルベルト空間上の作用素、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$、

次のように書ける場合、コンパクトであると言われる。

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$、

ここで、 とは直交集合（必ずしも完備ではない）であり、 は極限がゼロである正の数列であり、これは作用素の特異値と呼ばれ、右辺の級数は作用素ノルムに収束する。特異値はゼロでのみ累積する。もし、あると任意の に対しての列がゼロで定常になるなら、作用素は有限階数、すなわち有限次元の範囲 を持ち、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$。

コンパクト演算子の重要なサブクラスは、トレースクラス演算子または核演算子、すなわち となる演算子です。すべてのトレースクラス演算子はコンパクト演算子ですが、その逆は必ずしも真ではありません。例えば、である間ははゼロに近づきます。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty }$ ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$

完全連続演算子

をバナッハ空間とする。有界線型作用素が完全連続であるとは、からのすべての弱収束列に対して、その列が でノルム収束することである(Conway 1985, §VI.3)。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})}$ ${\displaystyle Y}$

バナッハ空間上のコンパクト作用素は常に完全連続であるが、その逆は真である。なぜなら、コンパクトではない完全連続作用素が存在するからである。しかし、 が反射的バナッハ空間である場合、その逆は真であり、すべての完全連続作用素はコンパクトである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

少々紛らわしいことに、コンパクト演算子は、現代の用語の定義によれば必ずしも完全に連続しているわけではないにもかかわらず、古い文献では「完全に連続」と呼ばれることがあります。

例

• すべての有限ランク演算子はコンパクトです。
• 任意の非零のスケーリング作用素がコンパクトであることと、空間が有限次元であることは同値である。これは直接証明することも、リースの補題の系として証明することもできる。^[9] ${\displaystyle x\mapsto kx}$ ${\displaystyle k}$
• 固定された を持つシーケンス空間上の乗算演算子は、と定義され、シーケンスがゼロに収束するので、コンパクトです。 ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle (Tx)_{n}=t_{n}x_{n}}$ ${\displaystyle (t_{n})}$
• すべてのヒルベルト・シュミット演算子はコンパクトです。
  • 特に、すべてのヒルベルト・シュミット積分作用素はコンパクトである。つまり、が の任意の領域であり、積分核がを満たす場合、によって定義される上の積分作用素はコンパクト作用素である。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k:\Omega \times \Omega \to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \iint |k|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$$
• 任意の固定されたに対して によって定義される上の積分変換(つまり、閉じた有界実区間上の連続関数空間) は、Arzelà–Ascoli の定理によりコンパクト演算子となります。 ${\displaystyle C([0,1];\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t,}$$ ${\displaystyle g\in C([0,1];\mathbf {R} )}$
• 任意のおよびに対して、ソボレフ空間をルベーグ空間にコンパクトに埋め込む包含写像は、 レリッヒ・コンドラチョフの定理によりコンパクト作用素である。 $${\displaystyle I:W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{q}(\Omega ),\quad I(x)=x,}$$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{q}(\Omega )}$ ${\displaystyle 1\leq q<{\tfrac {np}{n-p}}}$ ${\displaystyle 1\leq p<n}$

• 前方および後方の片側シフト演算子はコンパクトではありません。

参照

• コンパクトな埋め込み
• ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 – 関数解析の概念
• フレドホルムの代替定理 - 数学におけるフレドホルムの定理の一つ
• フレドホルム積分方程式
• フレドホルム演算子 – 積分方程式におけるフレドホルム理論の一部
• 厳密に特異な演算子
• コンパクト作用素のスペクトル理論

注記

1. Conway 1985、セクション2.4
2. エンフロ 1973より
3. シェーファー＆ウォルフ 1999、98ページ。
4. Brézis, H. (2011).関数解析、ソボレフ空間、偏微分方程式. H.. Brézis. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. OCLC  695395895。
5. Rudin 1991、103–115 ページ。
6. NL Carothers、「バナッハ空間理論の短期講座」、(2005) ロンドン数学会学生用テキスト64、ケンブリッジ大学出版局。
7. コンウェイ1990、173–177頁。
8. ウィリアム・マクリーン著『強楕円系と境界積分方程式』ケンブリッジ大学出版局、2000年
9. Kreyszig 1978、定理2.5-3、2.5-5。

参考文献

• コンウェイ、ジョン・B. (1985). 『関数解析コース』シュプリンガー・フェアラーク. 第2.4節. ISBN 978-3-540-96042-3。
• コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析講座』. 『数学大学院テキスト』. 第96巻（第2版）. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908。
• Enflo, P. (1973). 「バナッハ空間における近似問題に対する反例」. Acta Mathematica . 130 (1): 309– 317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962. MR  0402468.
• クレイジグ、エルウィン (1978).応用を伴う関数解析入門. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-50731-4。
• クタテラゼ、SS (1996)。機能分析の基礎。数理科学のテキスト。 Vol. 12（第2版）。ニューヨーク: Springer-Verlag。 p. 292.ISBN​ 978-0-7923-3898-7。
• ラックス、ピーター（2002）『関数解析』ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Renardy, M.; Rogers, RC (2004).偏微分方程式入門. 応用数学テキスト 第13巻（第2版） . ニューヨーク: Springer-Verlag . p. 356. ISBN 978-0-387-00444-0。（セクション7.5）
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Compact_operator&oldid=1320710847"