コンパニオンマトリックス

Square matrix constructed from a monic polynomial

線形代数学において、 単項多項式のフロベニウス 伴行列は次のように定義される正方行列である。 $${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

著者によっては、この行列の転置 を使用します。これは、線形再帰関係などのいくつかの目的には便利です(以下を参照)。 ${\displaystyle C(p)^{T}}$

${\displaystyle C(p)}$は の係数から定義され、の特性多項式と最小多項式はに等しい。^[1]この意味で、行列と多項式は「仲間」である。 ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$

コンパニオンマトリックスとの類似性

体Fを要素とする任意の行列Aには特性多項式 が含まれ、特性多項式 には対応する行列 が含まれる。これらの行列は以下のように関係している。 ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$ ${\displaystyle C(p)}$

次の文は同等です。

• A はF上でと相似である、すなわち、A はGL _n ( F )内の行列によってその伴行列に共役できる。 ${\displaystyle C(p)}$
• 特性多項式はAの最小多項式と一致する、つまり最小多項式の次数はnである。 ${\displaystyle p(x)}$
• 線型写像は、 の形式の基底を持つ巡回 - 加群を作成します。または、 - 加群として同等です。 ${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$ ${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$ ${\displaystyle F[A]}$

上記が成り立つ場合、Aは非軽蔑的であると言えます。

すべての正方行列が伴行列と相似であるわけではありませんが、すべての正方行列は伴行列からなるブロック対角行列と相似です。各対角ブロックの多項式が次のブロックの多項式を割り切ることも要求すると、それらはAによって一意に決定され、これによりAの有理標準形が得られます。

対角化可能性

特性多項式の根はの固有値です。n個の異なる固有値 がある場合、 はと対角化できます。ここで、Dは対角行列、Vはλに対応するヴァンデルモンド行列です。 実際、かなり難しい計算によって、転置行列には の固有ベクトルがあることが示され、これは から導かれます。したがって、その基底行列の対角化変換は であり、つまり となり、両辺の転置を取ると となります。 ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n-1}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ ${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$ ${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$ ${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$ ${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$

の固有ベクトルは、式 から読み取ることができます。これらは、逆ヴァンデルモンド行列の列ベクトルです。この行列は明示的に知られており、ラグランジュ多項式の係数に等しい座標を持つ固有ベクトル を与えます。あるいは、スケールされた固有ベクトルはより単純な係数を持ちます。 ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ ${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$ $${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$

が多重根を持つ場合、対角化できません。むしろ、ジョルダン標準形は、異なる根ごとに1つのジョルダンブロックを含みます。根の多重度がmの場合、ブロックは対角線上に1、対角線上の要素が1であるm × m行列 です。この場合、Vは合流型ヴァンデルモンド行列になります。^[2] ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda }$

線形再帰シーケンス

によって定義される線形再帰列は特性多項式 を持ち、その転置行列 は列 を生成する。ベクトル はこの行列の固有ベクトルであり、固有値は の根である。列の初期値をこのベクトルに設定すると、再帰性を満たす幾何列が得られる。n個の異なる固有値の場合、任意の解はそのような幾何解の線形結合として表すことができ、最大複素ノルムの固有値は漸近近似 を与える。 ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

線形常微分方程式から一次線形常微分方程式系へ

上記の線形再帰の場合と同様に、スカラー関数のn次同次線形 ODE を考えます。これは、ベクトル関数 の 1 次同次線形 ODE の結合システムとして同等に記述できます。ここで、 は特性多項式の転置コンパニオン マトリックスです 。ここで、係数は定数だけでなく関数である場合もあります。 ${\displaystyle y=y(t)}$ $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$ ${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$ ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$

が対角化可能な場合、基底の対角化変更により、これは各座標における 1 つのスカラー同次 1 次線形 ODE と等価な分離システムに変換されます。 ${\displaystyle C(p)^{T}}$

非同次方程式 は、非同次項を持つシステム: と同等です。 $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$ ${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$

再び、基底の対角化変更により、これはスカラー不同次 1 次線形 ODE の分離されたシステムに変換されます。

巡回シフト行列

の場合、固有値が1 の複素根であるとき、伴行列とその転置は両方とも、巡回行列であるシルベスターの巡回シフト行列に簡約されます。 ${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$

単純な体拡大上の乗算写像

体 の係数を持つ多項式を考え、 が多項式環において既約であるとする。すると、の根を付加すると体拡大が生成され、これもまた標準基底 を持つベクトル空間となる。すると、-線型乗法写像は ${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ 定義 ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

は標準基底に関してn × n行列を持つ。 およびなので、これは のコンパニオン行列である。この拡張が分離可能（例えば、が特性ゼロを持つか、 が有限体である場合）と仮定すると、はに対して異なる根を持つので、 となり 、 は分解体 を持つ。 は上で対角化できないので、上の -線型写像、つまり 上のベクトル空間（標準基底 を持ち、ベクトル を含む）に拡張する必要がある。拡張された写像は によって定義される。 ${\displaystyle [m_{\lambda }]}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$ $${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ ${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$

行列は変更されないが、上述と同様に、 の要素を持つ行列によって対角化することができる。 対角行列とに対応するヴァンデルモンド行列Vについて。固有ベクトル（逆ヴァンデルモンド行列のスケールされた列ベクトル）の明示的な式は次のように書ける。ここではスケールされたラグランジュ多項式の係数である。 ${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ $${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$ ${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$ $${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

参照

• フロベニウス準同型
• ケーリー・ハミルトン定理
• クリロフ部分空間

注記

1. Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp.  146– 147. ISBN  0-521-30586-1. 2010年2月10日閲覧。
2. Turnbull, HW; Aitken, AC (1961). 『正準行列理論入門』ニューヨーク: ドーバー. p. 60. ISBN  978-0486441689。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Companion_matrix&oldid=1285634201"