完全位相ベクトル空間

Structure in functional analysis

関数解析や数学の関連分野において、完備位相ベクトル空間とは、点が互いに次第に近づくときはいつでも、それらすべてが近づくある点が存在するという性質を持つ位相ベクトル空間(TVS)です。「次第に近づく点」という概念は、コーシー列の一般化であるコーシー ネットまたはコーシー フィルタによって厳密化されますが、 「それらすべてが近づく点」とは、このコーシーネットまたはフィルタがに収束することを意味します。TVS の完全性の概念は、一様空間の理論をフレームワークとして使用して、距離空間の完全性の概念を一般化します。ただし、距離完全性とは異なり、TVS 完全性は任意の距離に依存せず、距離化可能またはハウスドルフでない TVS を含むすべてのTVS に対して定義されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

完全性は、位相ベクトル空間が持つべき極めて重要な特性です。ノルム空間の完全性と距離化可能 TVSの概念は、通常、特定のノルムまたは計量の完全性によって定義されますが、どちらもこの TVS 完全性の概念、つまり特定のノルムまたは計量に依存しない概念に還元できます。並進不変計量^{[注 1]}を持つ距離化可能な位相ベクトル空間が TVS として完全である場合、かつその場合のみ、が完全計量空間であり、これは定義により、すべての-コーシー列がのいずれかの点に収束することを意味します。距離化可能 でもある完全 TVS の代表的な例としては、すべてのF 空間が挙げられ、したがってすべてのフレシェ空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間も含まれます。 （典型的には）計量化可能でない完全な TVS の顕著な例としては、標準的な LF 位相を持つテスト関数の空間などの厳密なLF 空間、任意の非ノルム可能なフレシェ空間の強双対空間、および連続双対空間上の他の多くの極位相や線型写像の空間上の他の位相などがあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

明示的に、位相ベクトル空間(TVS) が完全であるとは、空間の標準一様性に関してコーシーであるすべてのネット、またはそれと同値のすべてのフィルタが、必ずある点に収束する場合です。言い換えると、TVS が完全であるとは、その標準一様性が完全な一様性である場合です。TVS上の標準一様性は、位相に誘導される唯一の^{[注 2]}平行移動不変一様性です 。この「TVS 完全性」の概念は、ベクトルの減算と TVS の位相にのみ依存します。したがって、それは、位相を計量または擬計量で定義できない TVS も含め、すべての TVS に適用できます。第 1 可算のTVS が完全であるとは、すべてのコーシー列 (またはそれと同値のすべての基本コーシーフィルタ) がある点に収束する場合に限ります。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

位相ベクトル空間は、たとえ計量化可能でなくハウスドルフでなくても、完備化 を持つ。これは定義により、稠密ベクトル部分空間としてTVS 埋め込み可能な完備 TVSである。さらに、すべてのハウスドルフ TVS はハウスドルフ完備化を持ち、これはTVS 同型を除いて必ず一意である。しかし、後述するように、すべての TVS には、互いに TVS 同型 ではない非ハウスドルフ完備化が無限に存在する。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

定義

この節では、ネットとプレフィルタの両方の観点から、完全な位相ベクトル空間（TVS）の定義を要約します。ネットとフィルタの収束性に関する情報（定義や特性など）については、位相におけるフィルタに関する記事を参照してください。

すべての位相ベクトル空間 (TVS) は、加算に関して単位元を持つ可換位相群であり、TVS の標準的な均一性は減算 (つまり加算) によって完全に定義されます。スカラー乗算は含まれず、追加の構造は必要ありません。

規範的な統一性

の対角線は集合^[1] であり、任意の ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ ${\displaystyle N\subseteq X,}$正統な側近/近傍とは ${\displaystyle N}$、対角線を含む集合である。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle 0\in N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

が対称集合である場合（つまり、 である場合）、 は対称となり、定義により が成り立ち、さらに、この対称集合とそれ自身と の合成は次のようになります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

がの原点における任意の近傍基数である場合、の部分集合族はのプレフィルタである。が の原点における近傍フィルタである 場合、 はの均一構造の周囲基数を形成し、それが標準的であると考えられる。^[2] 明示的に、定義により、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X:}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ^[2]によって誘導される の標準的な一様性は、上記の前置フィルタによって生成される のフィルタである。 ここで はにおけるの上方閉包を表す 。原点のすべての近傍のフィルタではなく、原点の近傍基底を使用することで、同じ標準的な一様性が得られる。 がにおける原点の任意の近傍基底である、前置フィルタによって生成されるのフィルタは、によって誘導される標準的な一様性と等しい。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~{\text{there exists }}N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ such that }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

コーシーネット

一般一様空間理論には、「コーシー前置フィルタ」と「コーシーネット」の独自の定義があります。これらの定義の標準的な一様性については、以下に示す定義に簡約されます。 ${\displaystyle X,}$

がネットで、がネットであるとする。積は 、および と を宣言することによって有向集合になる。そして は （直交座標）を表す。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}}$ ${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$積ネット、特に の場合、ベクトル加法写像の下のこのネットの像は、 ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$これら2つのネットの合計^は[3] 、同様に $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$差は、ベクトル減算マップの下の積ネットの像として定義されます。 特に、表記は- インデックス ネットを示し、 -インデックス ネット。これは、後者を定義として使用すると表記が役に立たなくなるためです。 ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$

TVS 内のネットは 、次の場合 コーシー ネットと呼ばれます^[4]。 明示的には、内のあらゆる近傍に対して、 およびを満たすすべてのインデックスに対してとなるようなインデックスが存在することを意味します。内のの任意の近傍基数 に対して、これらの定義条件のいずれかを確認すれば十分です。 コーシーシーケンスは、コーシー ネットでもあるシーケンスです。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0}}$ ${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

ならば、においてとなり、によって定義されるベクトル減算写像の連続性は、において となることを保証する。ここで、となり、これは、すべての収束ネットがコーシーネットであることを証明している。定義により、空間が完備であるとは、その逆が常に成り立つことを意味する。つまり、が完備であるとは、以下の条件が成立する場合に限る。 ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle S:X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ ${\displaystyle X}$

がネットであるときはいつでも、が（ある点に）収束するのは、が収束する場合に限ります。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

ネットの代わりにフィルターとプレフィルターが使用される場合も、完全性の同様の特徴付けが当てはまります。

シリーズは ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$コーシー級数（それぞれ、収束級数）とは、部分和 の列がコーシー列（または収束級数）である^[5]すべての収束級数は必ずコーシー級数となる。完全TVSにおいては、すべてのコーシー級数は必ず収束級数となる。 ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

コーシーフィルタとコーシープレフィルタ

位相ベクトル空間上のプレフィルタは 、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、 コーシープレフィルタ^[6]と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$で ${\displaystyle X.}$
   • ファミリーはプレフィルターです。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
   • 明示的には、原点の任意の近傍に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$で ${\displaystyle X.}$
   • ファミリーは と同等のプレフィルタです(同等とは、これらのプレフィルタが で同じフィルタを生成することを意味します)。 ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
   • 明示的には、原点の任意の近傍に対して、 ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. における原点の近傍ごとに何らかの-小集合が含まれる（つまり、となるようなものが存在する）。^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$
   • 部分集合は-smallまたは ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle N}$小さいオーダー ${\displaystyle N}$^[6]場合 ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. 原点の近傍ごとに、とが存在し、^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$
   • この記述は、「 」を「 」に置き換えても成立する。 ${\displaystyle B\subseteq x+N}$ ${\displaystyle x+B\subseteq N.}$
5. の原点のすべての近傍は、およびの形の何らかの部分集合を含む。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+B}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

任意の近傍基数に対して上記の条件のいずれかをチェックするだけで十分である。 コーシーフィルタはコーシープレフィルタであり、またフィルタでもある。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

が位相ベクトル空間上のプレフィルタであり、がのとき、かつがコーシーである場合に限ります。^[3] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

完全なサブセット

任意の に対するプレフィルタはの部分集合となる。つまり、 ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

TVSのサブセットは ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$以下の同等の条件のいずれかを満たす場合は、 完全なサブセットとなります。

1. 上のすべてのコーシー前置フィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • がハウスドルフである場合、 上のすべてのプレフィルタはの最大 1 つの点に収束します。ただし、がハウスドルフでない場合は、プレフィルタは の複数の点に収束する可能性があります。ネットについても同様です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. のコーシーネットは少なくとも1つの点に収束する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$は、（点集合位相における「完全一様空間」の定義の下では）完全な一様空間であり、その上に、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

このサブセットは ${\displaystyle S}$のすべてのコーシー列（または同等に、 のすべての基本コーシーフィルタ/プレフィルタ）が の少なくとも1つの点に収束する場合、逐次完全部分集合となる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

重要なのは、の外側の点への収束は、集合が完全であることを妨げないということ ${\displaystyle S}$である。がハウスドルフでなく、 上のすべてのコーシー前置フィルタが の何らかの点に収束する場合、上のコーシー前置フィルタの一部またはすべてがの点にも収束したとしても、 は完全となる。つまり、 上のこれらのコーシー前置フィルタがの点にのみ収束するという要件はない。同じことが のコーシーネットの収束についても言える。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

結果として、TVSがハウスドルフでない場合、における閉包のすべての部分集合はコンパクトであり、すべてのコンパクト集合は必然的に完全であるため、完全である。特に、 が真部分集合、例えば のような場合、におけるすべてのコーシーネット（および におけるすべてのコーシー前置フィルタ）が に属さない における点を含む におけるすべての点に収束するとしても、 は完全となる 。この例は、非ハウスドルフTVSの完全部分集合（さらにはコンパクト部分集合でさえも）が閉じていない場合があることも示している。例えば、の場合、 においてが閉じている場合に限り、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

完全位相ベクトル空間

位相ベクトル空間 は ${\displaystyle X}$以下の同値な条件のいずれかが満たされる場合、完全な位相ベクトル空間となる。

1. ${\displaystyle X}$標準的な均一性が備わっているとき、それ は完全な均一空間です。
   • 一般一様空間理論において、一様空間上の各コーシーフィルタが 一様性によって誘導される位相においてのある点に収束するとき、その一様空間は完全一様空間と呼ばれます。がTVSである場合、標準一様性によって誘導される位相はの与えられた位相に等しくなります（したがって、この誘導された位相における収束は における通常の収束と全く同じです）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$それ自体の完全なサブセットです。
3. 原点近傍が存在し、これもまた^[6]の完全部分集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • これは、すべての局所コンパクトTVS が完全であることを意味します (TVS がハウスドルフでない場合でも)。
4. 上のすべてのコーシー前置フィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • がハウスドルフである場合、 上のすべてのプレフィルタはの最大 1 つの点に収束します。ただし、がハウスドルフでない場合は、プレフィルタは の複数の点に収束する可能性があります。ネットについても同様です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. 上のすべてのコーシーフィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
6. におけるすべてのコーシーネットは、少なくとも1つの点に収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

ここで、加えて擬似計量化可能または計量化可能（例えばノルム空間）であれば、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle X}$順次完了します。

位相ベクトル空間は ${\displaystyle X}$以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合は、順次完了します。

1. ${\displaystyle X}$それ自体の連続的に完全なサブセットです。
2. のコーシー列は少なくとも1つの点に収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. 上のすべての基本コーシー前置フィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. 上のすべての基本コーシーフィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

正準均一性の唯一性

正準一様性の存在は、上で定義することによって証明された。以下の定理は、任意のTVSの正準一様性は、(1)並進不変であり、かつ(2)位相上に生成する唯一の一様性であることを確立する。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

定理^[7] （標準一様性の存在と一意性）—任意のTVSの位相は、唯一の並進不変一様性から導出できる。が原点の任意の近傍基数である場合、族はこの一様性の基数となる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ ${\displaystyle \left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}}$

このセクションでは、この一意性ステートメントに関係する用語の正確な意味を説明します。

均一空間と並進不変均一性

任意の部分集合に対して^[1]とすると、空でない族は ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$ $${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$随行員の拠点または次の条件をすべて満たすプレフィルタの場合の環境の基本システム: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\times X}$

1. の各集合は対角線を部分集合として含む。つまり、すべての に対して異なる言い方をすれば、プレフィルタはに固定される。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. あらゆるものに対して、 ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. あらゆるものに対して、 ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

あ均一性または均一な構造は、いくつかの環境のベースによって生成されたフィルタであり、その場合、環境のベースは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

可換加法群の場合、 ${\displaystyle X,}$並進不変な基本環境システム^[7]、そしてすべてのに対してあるような基本環境システムである。均一性は、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$並進不変な一様性^[7]とは、並進不変な周囲構造の基底を持つ場合である。あらゆるTVSにおける標準的な一様性は並進不変である。^[7]

二項演算子は次の条件をすべて満たします。 ${\displaystyle \;\circ \;}$

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• もし、そして ${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• 結合性: ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• 身元： ${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• ゼロ： ${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

対称的な取り巻き

部分集合が対称的であるとは、次のようになることである。この同値は、恒等式と 、もし ならば であるという事実から導かれる。例えば、集合 は常に任意の に対して対称的である。 そして、 とが対称的であるならば、 も対称的である。 ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ ${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$ ${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ ${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

均一性によって生成されるトポロジー

親族

を任意のものとし、をそれぞれ第 1 および第 2 の座標への標準射影とします。 ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$

任意の に対して定義する 。ここで(それぞれ、 ) は(内の点) の左(それぞれ、右) -相対の集合と呼ばれる。 が何らかの に対して単集合である 特別な場合を次のように表記する。ならばとなる。さらに 、右は和集合と積集合の両方に分配される。つまり、となる。 ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi \cdot S}$ ${\displaystyle S\cdot \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle p\in X}$ $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

近傍とオープンセット

2点とが-近い場合、部分集合は-小さい場合と呼ばれます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

側近の拠点となる ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ ${\displaystyle X.}$点におけると部分集合における近傍フィルタはそれぞれ集合の族であり、 それぞれが生成するフィルタ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$の近傍フィルタ（それぞれ、の）。すべての近傍フィルタ 、「開集合」の近傍定義によって誘導される位相、または によってと呼ばれる位相を得る ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$誘導位相。明示的には、この位相において部分集合が開集合であるためには、任意のに対して、となるようなものが存在することが必要、任意のに対して、となるようなものが存在することが ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$ ${\displaystyle N\subseteq U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

このトポロジの サブセットの閉包は次のとおりです。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

コーシー前置フィルタと完全一様性

一様性を持つ一様空間上の前置フィルタは、任意の側近に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

均一空間は ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$完全一様空間（それぞれ、が によって誘導される位相を持つとき、 上のすべてのコーシー前置フィルタ（それぞれ、すべての基本コーシー前置フィルタ）がの少なくとも1つの点に収束するとき、 は順次完全一様空間である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

位相ベクトル空間の場合

が位相ベクトル空間である場合、任意の および に対して、標準一様性によってに誘導される位相はで始まった位相と同じである（つまり、 である）。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

均一な連続性

とをTVSとし、写像をとする。すると、が一様連続であるとは、原点の任意の近傍に対して、原点の近傍が存在し、すべてのに対してとなることを指す。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

が一様連続であると仮定します。 が のコーシーネットである場合、はのコーシーネットです。が のコーシープレフィルタである 場合（つまり、 がにおいてコーシーであるの部分集合の族である場合） 、は のコーシープレフィルタです。ただし、が のコーシーフィルタである場合、 はコーシープレフィルタになりますが、 がにおいてコーシーフィルタになるのは、 が射影的である場合に限ります。 ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$

TVSの完全性と（疑似）メトリクスの完全性

予備知識: 完全擬距離空間

完備擬距離空間の一般理論に関連する基本概念を復習する。すべての計量は擬距離空間であり、擬距離空間が計量空間となるのは、 が計量空間である場合と同値である。したがって、すべての計量空間は擬距離空間であり、擬距離空間が計量空間となるのは、 が計量空間である場合と同値である。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$

が擬距離空間の部分集合である場合、その直径は次のように定義される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

擬距離空間上のプレフィルタは、各実数に対して、その直径が以下となるようなものが存在するとき、 -コーシープレフィルタまたは単にコーシープレフィルタと呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r.}$

擬距離空間を仮定する。 がコーシー前置フィルタであるとき、そのネットは-コーシーネットまたは単にコーシーネットと呼ばれる。コーシー前置フィルタは、 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$

任意のに対して、もし​ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j,k\in I}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle k\geq i}$ ${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

または、等価的に、 がの場合に限り、 が点に収束するという次の特徴付けに類似している：が の場合に限り、 がの場合に限り、 ${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

コーシー列はコーシーネットでもある列である。^{[注 3]}

集合上のすべての擬距離は、によって表記される通常の標準位相を誘導します。また、 によって表記される標準一様性も誘導します。一様性によって誘導される上の位相は に等しいです。のネットが に関してコーシーである場合、かつその場合のみ、それが一様性に関してコーシーです。 擬距離空間が完備な（それぞれ逐次完備な）擬距離空間である場合、かつその場合のみ、 は完備な（それぞれ逐次完備な）一様空間です。さらに、擬距離空間（それぞれ一様空間）が完備な場合、かつその場合のみ、それが逐次完備です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$ ${\displaystyle \tau _{p}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$

擬似距離空間(たとえば、距離空間) は完全と呼ばれ、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合は完全擬似距離と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

1. 上のすべてのコーシー前置フィルタは、少なくとも1つの点に収束します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. 上記の記述で、「prefilter」という単語が「filter」に置き換えられています。
3. のコーシーネットは少なくとも1つの点に収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • が上の計量であるとき、任意の極限点は必然的に一意であり、同じことはコーシー前置フィルタの極限にも当てはまる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. のコーシー列は少なくとも1つの点に収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • したがって、が完全であることを証明するには、 の Cauchy シーケンスのみを考慮するだけで十分です(より一般的な Cauchy ネットを考慮する必要はありません)。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$
5. 擬似距離によって誘導される の標準的な均一性は完全な均一性です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

そして、追加が測定基準である場合、このリストに次のものを追加できます。 ${\displaystyle d}$

6. 直径が減少する閉じた球体のすべての減少列には、空でない交差が存在する。^[8] ${\displaystyle 0}$

完全な擬似測定と完全なTVS

あらゆるF空間、ひいてはあらゆるフレシェ空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間は完備TVSである。あらゆるF空間はベール空間であるが、ベール空間でありながらバナッハ空間ではないノルム空間が存在することに注意されたい。^[9]

ベクトル空間上の擬距離は、 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$すべてのベクトルに対して並進不変擬距離 ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

が擬距離化可能なTVS（例えば、距離化可能なTVS）で、 が 上の任意の擬距離的であって、 によって誘導される上の位相が に等しいものとしよう。が並進不変であれば、 が完全TVSとなるのは、が完全擬距離的空間である場合に限る。 ^[10]が並進不変でない場合 、が完全TVSであっても、完全擬距離的空間ではない可能性がある^[10] （例については、この脚注^{[注4]を参照）。 [10]} ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$

定理^{[11] [12]}  (Klee) —任意の^{[注 5]}ベクトル空間上の計量で、によって誘起される位相が位相ベクトル空間を形成するものとし、が完備計量空間であるならば、は完備TVSである。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

完全規範と同等規範

ベクトル空間上の二つのノルムは、それらが同じ位相を誘導する場合に限り、同値であると^{呼ばれる。 [13]}と がベクトル空間上で同値な二つのノルムであるとき、ノルム空間がバナッハ空間である場合に限り、がバナッハ空間である。バナッハ空間上の連続ノルムがそのバナッハ空間の与えられたノルムと同値でない例については、この脚注を参照のこと。 ^{[注 6] [13]} 有限次元ベクトル空間上のすべてのノルムは同値であり、すべての有限次元ノルム空間はバナッハ空間である。^[14]すべてのバナッハ空間は完備な TVS である。ノルム空間がバナッハ空間である（つまり、その標準ノルム誘導計量が完備である）場合と、それが位相ベクトル空間として完備である場合に限り、ノルム空間がバナッハ空間である。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

完了

TVSの完備化[ ^15]とは、TVS同型な稠密ベクトル部分空間を含む完備TVSのことである。言い換えれば、TVSは稠密ベクトル部分空間としてTVS埋め込みできる完備TVSである。すべてのTVS埋め込みは一様埋め込みである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

位相ベクトル空間には必ず完備化が存在する。さらに、ハウスドルフTVSにはハウスドルフ完備化が存在し、これはTVS同型性を除いて 必ず一意である。しかし、ハウスドルフTVSであっても、（既に）完備化されていても、あるいは計量化可能であるTVSであっても、互いにTVS同型 ではない非ハウスドルフ完備化は無限に存在する。

補完の例

たとえば、スカラー値の単純な関数で構成されるベクトル空間 (この半ノルムは通常の方法で ルベーグ積分によって定義されます) は、この半ノルムが付与されると半ノルム空間になり、その結果、擬距離空間と非ハウスドルフ非完全 TVS の両方になります。この空間の任意の完備化は非ハウスドルフ完全半ノルム空間であり、これをその原点の閉包で割ると (ハウスドルフ TVS を取得するように)、通常の完全ハウスドルフ -空間 (通常の完全ノルム が付与) (と線型等長同型の空間) になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

完備化の有用性を示す別の例として、バナッハ空間の位相テンソル積（射影テンソル積や入射テンソル積など）の完備化は、完全なハウスドルフ局所凸 TVS によって、 上の -値関数からなる「一般化された」 -空間と TVS 同型である完全な TVS をもたらします（ここで、この「一般化された」TVS は、 上のスカラー値関数の元の空間と同様に定義されます）。同様に、スカラー値 -テスト関数の空間のそのような TVS による入射テンソル積の完備化は、同様に定義された -値テスト関数の TVS と TVS 同型です。 ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$

すべての補完の非一意性

以下の例が示すように、空間がハウスドルフであるか既に完備であるかに関わらず、すべての位相ベクトル空間（TVS）には同型でない完備化が無限に存在する。^[16]

しかしながら、すべてのハウスドルフTVSはTVS同型性を除いて一意なハウスドルフ完備化を持つ。 ^[16]しかしそれにもかかわらず、すべてのハウスドルフTVSは、同型でない非ハウスドルフ完備化を無限に持つ。

例(完備化の非一意性): ^[15]を任意の完全 TVS とし、 を非離散位相 を備えた任意の TVS とすると、 は完全 TVS になることを思い出してください。と はどちらも完全 TVS なので、それらの積も です。と がそれぞれと の空でない開部分集合である 場合、となり、がの稠密部分空間であることを示します。 したがって、「完備化」の定義により、は の完備化です( が既に完備であるかどうかは関係ありません)。したがって、がの稠密ベクトル部分空間である場合、 と同一視することにより、との両方が完備化として存在します。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle U=I}$ ${\displaystyle (U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C}$

ハウスドルフ完成

すべてのハウスドルフTVSはTVS同型性を除いて一意なハウスドルフ完備化を持つ。 ^[16]しかし、それにもかかわらず、上で示したように、すべてのハウスドルフTVSには、同型でない非ハウスドルフ完備化が無限に存在する。

ハウスドルフ完備化の性質^[17] —とが完全なハウスドルフTVSであるとする。がの稠密ベクトル部分空間へのTVS埋め込みであるとする。すると ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E:X\to C}$ ${\displaystyle C.}$

普遍性：完全なハウスドルフTVSへの連続線型写像に対して、次のような唯一の連続線型写像が存在する。 ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle F:C\to Z}$ ${\displaystyle f=F\circ E.}$

が上記の普遍的性質を持つ完全ハウスドルフTVSの稠密ベクトル部分空間へのTVS埋め込みである場合、次のような唯一の（全単射の）TVS同型が存在する。 ${\displaystyle E_{2}:X\to C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle I:C\to C_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}=I\circ E.}$

系^[17] —が完全なハウスドルフTVSで、がの稠密ベクトル部分空間であるとする。すると、完全なハウスドルフTVSへのすべての連続線型写像は、写像への唯一の連続線型拡張を持つ。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\to Z.}$

ハウスドルフ完成の存在

TVS上のコーシーフィルタは ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$最小コーシーフィルタ^[17]とは、より厳密に粗いコーシーフィルタが 上に存在しない（つまり、「 より厳密に粗い」とは の適切な部分集合として が含まれることを意味する）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

が 上の Cauchy フィルタである場合、次のプレフィルタによって生成されるフィルタは上の唯一の最小 Cauchy フィルタであり、^[17]のサブセットとして含まれる。 特に、任意の に対して、の近傍フィルタは最小 Cauchy フィルタである。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$

を 上のすべての最小コーシー フィルタの集合とし、をの近傍フィルタに送ることで定義されるマップとします。に、次のベクトル空間構造を 付与します。およびスカラーが与えられ、 (resp. ) が(resp. )によって生成されたフィルタに含まれる一意の最小コーシー フィルタを表すものとします。 ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle \{sB:B\in {\mathcal {B}}\}}$

letの原点の均衡近傍ごとに ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}}$$

がハウスドルフ写像であるとき、原点のすべての均衡近傍上のすべての集合の値域としての集合の集合は、ハウスドルフTVS写像を完全写像とすることでベクトル位相を形成する。さらに、この写像は^[17]の稠密ベクトル部分空間へのTVS埋め込みである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

が計量化可能な TVSである場合、 のハウスドルフ完備化は、最小コーシーフィルタの代わりにコーシー列の同値類を使用して構築できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

非ハウスドルフ補完

この節では、すべての非ハウスドルフTVSが、完備TVSの稠密ベクトル部分空間にTVS埋め込み可能であることを詳述する。すべてのハウスドルフTVSがハウスドルフ完備化を持つという証明は広く公開されているため、この事実を用いて（証明は行わずに）すべての非ハウスドルフTVSにも完備化が存在することを示す。これらの詳細は、ハウスドルフTVSの結果を非ハウスドルフTVSに拡張する際に役立つ場合がある。 ${\displaystyle X}$

で原点の閉包を表すとしよう。ここでは によって誘導される部分空間位相を備えている（したがって は非離散位相 を持つ）。 は自明位相を持つので、におけるの代数的補集合であるのすべてのベクトル部分空間は、必然的に におけるの位相的補空間であることが簡単に示される^{[18] [19]} 。で におけるの任意の位相的補空間を表すと しよう。これは必然的にハウスドルフ TVS となる（これは商 TVS と TVS 同型であるため^{[注 7]}）。 は と の位相的直和であるため（これはTVSのカテゴリでは を意味する）、標準写像 は TVS 同型である^[19] 。 でこの標準写像の逆を表す。（補足として、 のすべての開部分集合とすべての閉部分集合は^{[証明 1]}を 満たす ${\displaystyle I=\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ $${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$ ${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=I+U.}$

ハウスドルフTVSは、例えばその完備化の稠密ベクトル部分空間への写像を介してTVS埋め込みできる。 と は完備なので、それらの積も完備である。を恒等写像と表記し、積写像がTVS埋め込みであり、その像が に稠密である点に注目する 。を完備TVSの稠密ベクトル部分空間にTVS埋め込みする 写像^[注8]を定義する 。さらに、 の原点の閉包はに等しく、 と はにおける位相補集合であることに注目する。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:H\to C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}:I\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ $${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A}$$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle I\times \{0\},}$ ${\displaystyle I\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$

要約すると、^{[19] の}任意の代数的（したがって位相的）補集合とハウスドルフTVSの任意の完備化が与えられ、その場合自然な包含^[20]は、完備TVSの稠密ベクトル部分空間への のよく定義されたTVS埋め込みであり、さらに、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subseteq C,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\oplus C}$ $${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

完了のトポロジー

定理^{[7] [21]}  (完備化の位相) —完備TVSと稠密ベクトル部分空間を仮定する。 が原点の任意の近傍基数である とき、その集合は 完備化における原点の近傍である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

が局所凸であり、がの位相を生成する連続半ノルムの族である場合、 のすべての要素のへのすべての連続拡張の族は、の半ノルムの生成族である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C.}$

言い換えれば、がTVSの完備化であり、がにおける原点の近傍基数である場合、集合族は ^[3]における原点の近傍基数である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ ${\displaystyle C.}$

定理^[22] （商の完備化）—が計量化可能な位相ベクトル空間で、が の閉ベクトル部分空間であるとします。が の完備化であるとすると、 の完備化はと TVS 同型です。さらに がノルム空間である場合、この TVS 同型も等長変換になります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle C/\operatorname {cl} _{C}N.}$ ${\displaystyle M}$

グロタンディークの完全性定理

を​ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$定義により^[23]の等連続な弱*閉かつ弱*有界な絶対凸部分集合（これらは必然的に の弱*コンパクト部分集合である）連続双対空間上の等連続コンパクト論。任意の が弱*位相 を備えている。上のフィルタは ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$が連続的に収束するとは、を含む（つまりが存在してのトレースがで族に収束する（つまり、与えられた弱*位相で の場合）に収束することである。^[24] フィルタがに連続的に収束するのは、 が原点に連続的に収束する場合であり、これは、スカラー場（または）のフィルタ、 が原点における任意の近傍基数を表す双対性ペアを表し、が によって生成されるフィルタを表す^[24]位相空間（または など） 写像は と呼ばれる。 ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-x^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.}$ ${\displaystyle f:X^{\prime }\to T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$-連続とは、フィルタが連続的に収束するときに[^24] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).}$

グロタンディークの完全性定理^[24] —場合、その完備化は γ {\displaystyle \gamma} -連続な線形関数全体の集合に線型同型である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

補完によって保存されるプロパティ

TVS に次のいずれかの特性がある場合、その完了にもその特性があります。 ${\displaystyle X}$

• ハウスドルフ
• 局所的に凸
• 擬似子宮頸がん^[16]
• メートル法化可能^[16]
• 半正規形
• 標準化可能
  • さらに、 がノルム空間である場合、の TVS 埋め込みが等長変換となるようなバナッハ空間が完成として選択される可能性があります。 ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$
• ハウスドルフ・プレヒルベルト。つまり、内積によって誘導されるTVSである。^[25]
• 核^[26]
• バレル型^[27]
• マッキー^[28]
• DFスペース^[29]

ヒルベルト空間の完備化

任意の内積空間にはヒルベルト空間となる完備化が存在する。ここで内積は元の内積の唯一の連続拡張である。によって誘導されるノルムは、によって誘導されるノルムの唯一の連続拡張でもある^{[25] [21]} ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

その他の保存資産

がハウスドルフTVSである場合、 の連続双対空間はの完備化の連続双対空間と同一である。^[30]局所凸ボルノロジー空間の完備化は樽型空間である。^[27]と がDF-空間である場合、これらの空間の射影テンソル積とその完備化はDF-空間である。^[31] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

2つの核空間の射影テンソル積の完備化は核空間である。^{[26]核空間の完備化は}ヒルベルト空間の射影極限とTVS同型である。^[26]

（つまり、加法写像がTVS同型である）がハウスドルフ完備化を持つ場合、 加法が内積空間であり、とが（つまり、）において互いに直交補集合である場合、とがヒルベルト空間において直交補集合である。 ${\displaystyle X=Y\oplus Z}$ ${\displaystyle Y\times Z\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Z}$ ${\displaystyle C.}$

補完の拡張によって保存されるマップの特性

が2つの局所凸空間間の核線形作用素であり、がの完備化である場合、核線形作用素への唯一の連続線形拡張を持つ^[26] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to Y.}$

とを完全なハウスドルフTVSとする。をの完備化とする。を連続線型作用素のベクトル空間とし、を任意のをその唯一の連続線型拡大に写す写像とする。すると、は（射影的）ベクトル空間同型となる。さらに、は等連続部分集合の族を互いに写す。がG {\displaystyle {\mathcal {G}}} -位相を持ち、がにおける集合の閉包を表すと仮定する。すると、写像はTVS同型でもある。^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

完全なTVSの例と十分条件

定理— ^{[11]をベクトル空間上の}任意の（並進不変であるとは仮定されない）計量とし、によって誘起される位相が位相ベクトル空間を形成するものとする。が完備計量空間であるならば、は完備TVSである。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

• 自明位相を持つ任意のTVSは完備であり、その部分集合はすべて完備である。さらに、自明位相を持つ任意のTVSはコンパクトであり、したがって局所コンパクトである。したがって、完全半ノルム可能かつ局所凸かつ局所コンパクトであるTVSは、ハウスドルフでない限り、必ずしも有限次元である必要はない。
• 完全（または逐次完全、準完全）TVSの任意の積も同じ性質を持つ。すべての空間がハウスドルフ空間であれば、逆もまた成り立つ。^[32]ハウスドルフ完備のTVS族の積は、その積TVSのハウスドルフ完備である。^[32]より一般的には、TVS族の完全部分集合の任意の積は、TVSの積の完全部分集合である。^[33]
• ハウスドルフ完全（それぞれ逐次完全、準完全）TVSの射影システムの射影極限も同じ性質を持つ。^[32]ハウスドルフ完備のTVSの逆システムの射影極限は、その射影極限のハウスドルフ完備である。^[32]
• が完全な擬似計量化可能なTVSの閉ベクトル部分空間である場合、商空間は完全である。^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• が計量化可能なTVSの完全なベクトル部分空間であるとする。商空間が完全なら^{[3] [34]}も完全である。しかし、商TVSが完全ではないような閉じたベクトル部分空間を持つ完全なTVSが存在する。^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$
• すべてのF 空間、フレシェ空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間は完全な TVS です。
• 厳密なLF空間と厳密なLB空間は完全である。^[35]
• がTVSの稠密部分集合であるとする。もし上のすべてのコーシーフィルタがTVSのある点に収束するならば、 TVSは完全である。^[34] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 滑らかな関数のシュワルツ空間は完全である。
• 分布とテスト関数の空間は完全です。
• とが局所凸TVSであり、連続線型写像の空間がの有界部分集合上の一様収束の位相を備えていると仮定する。がボルノロジー空間であり、が完備であれば、は完備 TVS である。^[35]特に、ボルノロジー空間の強双対は完備である。^[35]しかし、ボルノロジーである必要はない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• あらゆる準完備 DF空間は完備である。^[29]
• とをベクトル空間上のハウスドルフTVS位相とし、が の原点における近傍基底であり、かつ がの完全部分集合であるようなプレフィルタが存在する場合、は完全TVSである。^[6] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\omega ),}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

プロパティ

完全なTVS

すべての TVS には完備化があり、すべてのハウスドルフ TVS にはハウスドルフ完備化がある。^[36] すべての完備 TVS は準完備空間であり、順次完備である。^[ 37] しかし、上記の含意の逆は一般に偽である。^[37]準完備ではない順次完備な局所凸 TVS が存在する。^[29]

TVSが原点の完全な近傍を持つ場合、それは完全である。^[38] すべての完全な擬計量化可能なTVSは樽型空間であり、ベール空間である（したがって非希薄である）。^[39] 完全な計量化可能なTVSの次元は有限次元か無数次元である。^[19]

コーシーネットとプレフィルタ

TVS 内の任意の点の任意の近傍基数は、コーシー前置フィルタです。

TVSにおけるすべての収束ネット（それぞれ、前置フィルタ）は、必然的にコーシーネット（それぞれ、コーシー前置フィルタ）である。^[6] コーシー前置フィルタに従属する（つまり、コーシー前置フィルタよりも細かい）前置フィルタは、必然的にコーシー前置フィルタでもある^[6]。また、コーシー前置フィルタよりも細かい前置フィルタもコーシー前置フィルタである。TVSにおけるシーケンスに関連付けられたフィルタは、そのシーケンスがコーシーシーケンスである場合に限り、コーシーである。すべての収束前置フィルタはコーシー前置フィルタである。

がTVSであり、がコーシーネット（またはコーシープレフィルタ）のクラスタ点である場合、そのコーシーネット（またはコーシープレフィルタ）は^[3]で収束する 。TVSのコーシーフィルタに蓄積点がある場合、収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

一様連続写像はコーシーネットをコーシーネットに送る。^[3] ハウスドルフTVSのコーシー列は集合として考えた場合、必ずしも相対コンパクトではない（つまり、 における閉包は必ずしもコンパクトではない^[注9]）が、プレコンパクト（つまり、 の完備化における閉包はコンパクト）である。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

すべてのコーシー列は有界部分集合ですが、これはコーシーネットでは必ずしも当てはまりません。たとえば、 が通常の順序を持​​つとすると、 が非離散TVS上の任意の事前順序を表すものとし（つまり、は自明な位相を持たない。 とも仮定する）、 が任意の および に対して成り立つと宣言することにより、これら 2 つの事前順序を和集合に拡張します。の場合、 がで定義され、そうでない場合（つまり、 の場合）は、 のネットです。事前順序付きセットは有向であるためです（ 上のこの事前順序は、が真であれば半順序（それぞれ全順序）でもあります）。 このネットは原点に収束するため のコーシーネットですが、セットはの有界部分集合ではありません（は自明な位相を持たないため）。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle f(i)=i}$ ${\displaystyle i\in X}$ ${\displaystyle f(i)=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

がTVS族であり、がこれらのTVSの積を表すとする。任意の添字に対してが上の前置フィルタであるとする。すると、この前置フィルタ族の積が上のコーシーフィルタであることと、各が上のコーシーフィルタであることは同値である^[17]。 ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

地図

が完全TVSからハウスドルフTVSへの入射的な位相準同型である場合、 （つまり）の像は^[34]の閉部分空間である。が完全計量化可能TVSからハウスドルフTVSへの位相準同型である 場合、の値域は^[34]の閉部分空間である。が2つのハウスドルフTVS間の一様連続写像である 場合、の全有界部分集合の像はの全有界部分集合である。^[40] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

均一に連続した拡張

がTVSの稠密部分集合から完全なハウスドルフTVSへの一様連続写像であるとする。すると、は^[3]のすべてへの唯一の一様連続拡大を持つ。 さらに、が準同型ならば、その唯一の一様連続拡大も準同型である。^[3] これは、「TVS」を「可換位相群」に置き換えても成り立つ。^[3] 写像は線型写像である必要はなく、はのベクトル部分空間である必要はない。 ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

均一に連続した線状拡張

を2つのハウスドルフTVS間の連続線型作用素と仮定する。がの稠密ベクトル部分空間であり、への制限が位相準同型であれば、も位相準同型となる。^[41]したがって、とがそれぞれとハウスドルフ完備化であり、が位相準同型であれば、の唯一の連続線型拡大は位相準同型となる。（が射影的であっても、が入射的でない可能性がある点に注意。）^[41] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

とがハウスドルフTVSであるとし、はの稠密ベクトル部分空間であり、はの稠密ベクトル部分空間であるとする。とが位相準同型を介して位相同型加法部分群である場合、（これも同相である）の唯一の一様連続拡大を介して、とについても同じことが成り立つ。 ^[42] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

サブセット

完全なサブセット

TVSの完全な部分集合はどれも順序的に完全である。ハウスドルフTVSの完全な部分集合は^{[3] [38]}の閉部分集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

TVSのすべてのコンパクト部分集合は完備である（TVSがハウスドルフ集合や完備でなくても）。^{[3] [38]} 完備TVSの閉部分集合は完備である。しかし、TVSが完備でない場合、の閉部分集合は完備ではない。空集合はすべてのTVSの完全部分集合である。 がTVSの完全部分集合である場合（TVSは必ずしもハウスドルフ集合や完備である必要はない）、に閉じたの部分集合は完全である。^[38] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

位相補完

が非ノルム可能フレシェ空間であり、その上に連続ノルムが存在する場合、位相補空間を持たない閉ベクトル部分空間を含む。^[29]が完備TVSであり、が完備でない閉ベクトル部分空間である 場合、は^[29]に位相補空間を持たない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$

補完のサブセット

を可分な局所凸計量化可能な位相ベクトル空間とし、をその完備化とする。がの有界部分集合ならば、の有界部分集合が存在し、^[29] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$

コンパクト部分集合との関係

TVSの部分集合（ハウスドルフ集合や完全集合であるとは仮定されない）がコンパクトであるためには、それが完全かつ全有界である必要がある。^{[43] [証明2]}したがって、完全TVSの 閉じた全有界部分集合はコンパクトである。 ^{[44] [3]}

ハウスドルフ局所凸TVSでは、プレコンパクト集合の凸包は再びプレコンパクトである。^[45]結果的に、完全な局所凸ハウスドルフTVSでは、コンパクト部分集合の閉じた凸包は再びコンパクトである。^[46]

ヒルベルト空間のコンパクト部分集合の凸包は必ずしも閉じているわけではなく、したがって必ずしもコンパクトでもない。たとえば、通常のノルムを持つ平方和可能列の可分ヒルベルト空間を とし、標準の直交基底(つまり-座標にある) を とすると、閉集合はコンパクトであるが、その凸包は閉集合ではない。なぜなら はにおけるの閉包に属するが(すべての列はの元の有限凸結合であり、したがって は必然的に有限個以外の座標では存在するが、 ではそうではないため)、^[47]しかし、すべての完全ハウスドルフ局所凸空間と同様に、このコンパクト部分集合の閉凸包はコンパクトである。 ^[46]ベクトル部分空間は、ヒルベルト空間がその上に誘導する部分構造を備えているときはプレヒルベルト空間であるが、完全ではなく( であるため)、 である。におけるの閉凸包（ここで「閉」とは に関してであり、前述のように に関してではない）は に等しく、これはコンパクトではない（完備部分集合ではないため）。これは、完備ではないハウスドルフ局所凸空間においては、コンパクト部分集合 の閉凸包がコンパクトにならない可能性がある（ただし、プレコンパクト／全有界となる）ことを示している。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$

すべての完全な全有界集合は相対的にコンパクトである。^[3]が任意の TVS である 場合、商写像は閉写像である^[48]ので、TVS の部分集合が全有界であることと、その標準的な商写像による像が全有界であることは同値である。^[19]したがって、が全有界であることと、それが全有界であることは同値である。任意の TVS において、全有界部分集合の閉包もまた全有界である。^[3] 局所凸空間において、全有界集合の凸包と円板包は全有界である。[36 ^]がTVS の部分集合で、内のすべてのシーケンスが内のクラスター点を持つ場合、は全有界である。^[19]ハウスドルフ TVS の部分集合が全有界であることと、 上のすべての超フィルタが^コーシーであることは、それがプレコンパクトである ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

がコンパクトならば、この集合はコンパクトである。したがって、コンパクト集合の閉包はコンパクトである^{[注 10]}（つまり、すべてのコンパクト集合は相対的にコンパクトである）。^[49]したがって、コンパクト集合の閉包はコンパクトである。ハウスドルフTVSのすべての相対的にコンパクトな部分集合は全有界である。^[40] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

完全な局所凸空間では、コンパクト集合の凸包と円板状包は両方ともコンパクトである。^[36]より一般的には、が局所凸空間のコンパクト部分集合である場合、凸包（または円板状包）がコンパクトであるための必要十分条件は、それが完全である場合である。^[36]の すべての部分集合はコンパクトであり、したがって完全である。^{[証明 3]}特に、がハウスドルフでない場合、閉じていないコンパクト完全集合が存在する。^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$

参照

• 完全計量空間 – 計量幾何学
• セットのフィルター - 「大きな」セットを表すサブセットのファミリー
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• 擬距離空間 – 数学における距離空間の一般化
• 準完備空間 – すべての閉有界部分集合が完備である位相ベクトル空間
• 順次完了
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間

注記

1. ベクトル空間上の計量は、すべてのベクトルに対して、ノルムによって誘導される計量は常に並進不変である場合、並進不変であると言われます。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
2. ノルム空間と計量化可能なTVSの完全性は、ノルムと計量によって定義される。一般に、そのような空間の完全性を決定するために、多くの異なるノルム（例えば、同値なノルム）と計量が用いられる可能性がある。これは、この並進不変な標準的一様性の一意性とは対照的である。
3. すべてのシーケンスもネットです。
4. ノルム空間は、絶対値が 上の通常のユークリッド位相を誘導するノルムであるバナッハ空間です。すべての に対して、によって上の計量を定義します。ここで、は 上の通常のユークリッド位相を誘導することを示すことができます。しかし、によって定義される数列はのどの点にも収束しない -コーシー数列であるため、 は完全な計量ではありません。また、この-コーシー数列は のコーシー数列ではないことにも注意してください(つまり、ノルム に関するコーシー数列ではありません)。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$
5. 翻訳不変であるとは想定されていません。
6. は最大ノルムを持つ連続関数のバナッハ空間を表し、はによって誘導される位相が与えられ、 はL ¹ -ノルムの によるへの制限を表す。すると、 が成り立つことが示され、ノルムは連続関数となる。しかし、はノルムと同値ではないため、特に はバナッハ空間ではない。 ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle X=C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty },}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)}$
7. この特定の商写像は、実際には閉じた写像でもあります。 ${\displaystyle q:X\to X/I}$
8. 明示的には、この写像は次のように定義されます。各 と とすると、すべてのと に対して成り立ちます。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (i,h)=A(x)}$ ${\displaystyle B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).}$ ${\displaystyle B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H.}$
9. がノルム可能TVSであって、任意のコーシー列に対して におけるの閉包がコンパクト（したがって は逐次コンパクト）であるとき、においてとなるようなものが常に存在することを保証する。したがって、この性質を持つ任意のノルム空間は必然的に逐次完備である。すべてのノルム空間が完備であるとは限らないため、コーシー列の閉包は必ずしもコンパクトではない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$
10. 一般位相幾何学では、非ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の閉包は、必ずしもコンパクトではない場合がある（例えば、無限集合上の特定の点位相）。この結果は、非ハウスドルフTVSではこのようなことは起こらないことを示している。証明では、がコンパクト（ただし、閉じていない可能性もある）であり、かつ閉じていてコンパクトであるため、連続加法写像によるコンパクト集合の像であるもコンパクトであるという事実を用いる。また、コンパクト集合（つまり）と閉集合の和は閉じているため、は において閉じていることも思い出してほしい。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot +\cdot :X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

証明

1. を における原点の近傍とします。はにおけるの近傍なので、におけるの開近傍（閉近傍）が存在し、が原点の近傍となります。明らかに、が開近傍（閉近傍）である場合、かつが開近傍（閉近傍）である場合に限ります。が開近傍（閉近傍）である場合、かつが開近傍（閉近傍）である場合に限ります。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A(W)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I\times H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I\times V}$ ${\displaystyle U=I+V}$ ${\displaystyle A(U)=I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$
2. が においてコンパクトであり、 が上のコーシーフィルタであるとする。が閉集合のコーシーフィルタであるとする。 は有限交差性を持つので、 が存在する。そのようなフィルタはに対して となる（つまり、は の集積点となる）。 はにおいてコーシーなので、は となる。したがっては完全である。もまた全有界であることは、 のコンパクト性から直ちに導かれる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\operatorname {cl} _{S}C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. の任意の開被覆が与えられたとき、その被覆から原点を含む任意の開集合を選ぶ。は原点の近傍なので、はを含み、したがってはを含む。 ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$

引用

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13. コンラッド、キース. 「ノルムの等価性」（PDF） . kconrad.math.uconn.edu . 2020年9月7日閲覧。
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20. ここで、すべての ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.}$
21. Schaefer & Wolff 1999、36–72ページを参照。
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