複素 アダマール行列 とは、次の 2 つの条件を満たす 複素 行列 です。 N × N {\displaystyle N\times N} H {\displaystyle H}
ユニモジュラ性（ 各エントリの モジュラスは1です）: | H j k | = 1 for j , k = 1 , 2 , … , N {\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N} 直交性 ： 、 H H † = N I {\displaystyle HH^{\dagger }=NI} ここで、 は のエルミート転置行列 、 は 単位行列 である。この概念は アダマール行列 の一般化である 。任意の複素アダマール行列は を乗じることで ユニタリ行列 に変換できることに注意されたい 。 逆に 、すべての要素が法であるユニタリ行列は を乗じることで複素アダマール行列となる。 † {\displaystyle \dagger } H {\displaystyle H} I {\displaystyle I} H {\displaystyle H} 1 N {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}} 1 N {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}} N . {\displaystyle {\sqrt {N}}.}
複素アダマール行列は、作用素環 の研究や 量子計算 理論において登場する 。 実 アダマール行列と バトソン型アダマール行列は、 複素アダマール行列の特殊なケースを形成する。
複素アダマール行列は任意 の自然数 に対して存在する（現実の場合、アダマール行列はすべての自然数に対して存在するわけではなく 、また すべての許容可能な自然数に対して存在が知られていないことと 比較されたい）。例えば、フーリエ行列（ 正規化因子を除いた DFT行列 の 複素共役）は、 N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N}
[ F N ] j k := exp [ 2 π i ( j − 1 ) ( k − 1 ) / N ] f o r j , k = 1 , 2 , … , N {\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N} このクラスに属します。
同等性 2つの複素アダマール行列は、 対角 ユニタリ行列 と 置換行列 が存在し、
その場合に 等価で あるとされ、 と表記される。 H 1 ≃ H 2 {\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}} D 1 , D 2 {\displaystyle D_{1},D_{2}} P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}}
H 1 = D 1 P 1 H 2 P 2 D 2 . {\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.} 任意の複素アダマール行列は 、最初の行と最初の列のすべての要素が 1 に 等しい位相ずれアダマール行列と同等です。
に対して 、 すべての複素アダマール行列はフーリエ行列と等価である 。に対して 、等価でない複素アダマール行列の連続した1パラメータ族が存在する。 N = 2 , 3 {\displaystyle N=2,3} 5 {\displaystyle 5} F N {\displaystyle F_{N}} N = 4 {\displaystyle N=4}
F 4 ( 1 ) ( a ) := [ 1 1 1 1 1 i e i a − 1 − i e i a 1 − 1 1 − 1 1 − i e i a − 1 i e i a ] w i t h a ∈ [ 0 , π ) . {\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).} 次 のような複素アダマール行列の族が知られています。 N = 6 {\displaystyle N=6}
を含む単一の2パラメータ族 、 F 6 {\displaystyle F_{6}} 単一の1パラメータファミリー 、 D 6 ( t ) {\displaystyle D_{6}(t)} 巡回 アダマール行列 を含む 1パラメータ軌道 、 B 6 ( θ ) {\displaystyle B_{6}(\theta )} C 6 {\displaystyle C_{6}} 前の2つの例を含む2パラメータ軌道 、 X 6 ( α ) {\displaystyle X_{6}(\alpha )} 対称行列 の 1パラメータ軌道 、 M 6 ( x ) {\displaystyle M_{6}(x)} 前の例を含む2パラメータ軌道 、 K 6 ( x , y ) {\displaystyle K_{6}(x,y)} これまでの例をすべて含む3パラメータ軌道 、 K 6 ( x , y , z ) {\displaystyle K_{6}(x,y,z)} 自由度4のさらなる構成では 、 以外の例も得られます 。 G 6 {\displaystyle G_{6}} K 6 ( x , y , z ) {\displaystyle K_{6}(x,y,z)} 単一点 - Butson 型アダマール行列の 1 つ 。 S 6 ∈ H ( 3 , 6 ) {\displaystyle S_{6}\in H(3,6)} ただし、このリストが完全であるかどうかは不明ですが、 6 次複素アダマール行列すべてを網羅した (ただし必ずしも冗長でないわけではない) リストである と 推測されます。 K 6 ( x , y , z ) , G 6 , S 6 {\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}
参考文献 Haagerup, U. (1997). 「n×n行列の直交最大アーベル*部分代数と巡回n根」. Operator Algebras and Quantum Field Theory (ローマ), 1996 . Cambridge MA: International Press. pp. 296– 322. ISBN 1-57146-047-0 . OCLC 1409082233. Dita, P. (2004). 「複素アダマール行列のパラメータ化に関するいくつかの結果」 . J. Phys. A: Math. Gen. 37 ( 20): 5355–74 . Bibcode :2004JPhA...37.5355D. doi :10.1088/0305-4470/37/20/008. Szöllősi, F. (2010). 「ハイポサイクロイドによって誘導される6次の複素アダマール行列の2パラメータ族」. Proceedings of the American Mathematical Society . 138 (3): 921–8 . arXiv : 0811.3930v2 . doi :10.1090/S0002-9939-09-10102-8. JSTOR 40590684. Tadej, W.; Życzkowski, K. (2006). 「複素アダマール行列の簡潔ガイド」 Open Systems & Infor. Dyn . 13 (2): 133– 177. arXiv : quant-ph/0512154 . doi :10.1007/s11080-006-8220-2.
外部リンク 既知の複素アダマール行列の明示的なリスト と、サイズ7～16のアダマール行列の例については、複素アダマール行列カタログを参照のこと。 N = 6 {\displaystyle N=6}
![{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06538713e6b7bb7ad70abaa3df7f0d5b22203657)
