条件付き確率

Probability of an event occurring, given that another event has already occurred

確率論において、条件付き確率とは、ある事象が（仮定、推定、主張、または証拠によって）既に発生したことが分かっている場合に、ある事象が発生する確率の尺度である。 ^[1]この特定の手法は、事象Aが別の事象Bと何らかの関係を伴って発生することを前提としている。このような状況では、事象AはBに関する条件付き確率によって分析することができる。対象となる事象がAであり、事象Bが発生したことが分かっているか、または発生したと仮定されている場合、「Bが与えられた場合のAの条件付き確率」、または「条件Bの下でのAの確率」は、通常P( A | B ) ^[2] 、あるいは場合によってはP _B ( A )と表記される。これは、確率BがAと交差する割合、または両方の事象が発生する確率と「与えられた」事象が発生する確率の比（Bが発生しなかったと仮定するのではなく、Aが発生する回数）として理解することもできる。

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$. ^[3]

例えば、ある人が特定の日に咳をする確率はわずか5%かもしれません。しかし、その人が病気であると分かっている、あるいは仮定している場合、咳をする可能性ははるかに高くなります。例えば、病気の人が咳をする条件付き確率が75%とすると、P(咳) = 5%、P(咳|病気) = 75%となります。この例ではAとBの間に関係がありますが、 AとBの間にそのような関係や依存関係は必ずしも必要ではなく、また同時に発生する必要もありません。

P( A | B )は、 P( A )、つまりAの無条件確率または絶対確率と等しい場合も、等しくない場合もあります。P( A | B ) = P( A )の場合、イベントAとBは独立していると言われます。このような場合、どちらかのイベントについての知識は、互いの確率を変更しません。P( A | B ) ( Bが与えられた場合のAの条件付き確率) は、通常、P( B | A )とは異なります。たとえば、ある人がデング熱にかかっている場合、その人は 90% の確率でこの病気の検査で陽性と判定される可能性があります。この場合、測定されているのは、イベントB (デング熱にかかっている) が発生した場合、 Bが発生した場合にA (陽性と判定される)の確率が90% であるということです。つまり、単にP( A | B ) = 90% と書きます。あるいは、ある人がデング熱の検査で陽性と判定された場合、偽陽性率が高いため、実際にこのまれな病気にかかっている確率は 15% しかない可能性があります。この場合、事象A（検査で陽性）が発生した場合に事象B（デング熱に罹患）が発生する確率は15%、つまりP( B | A ) = 15%となります。この2つの確率を誤って同一視すると、様々な推論の誤りにつながる可能性があることは明らかです。これは、ベースレートの誤謬としてよく見られます。

条件付き確率は非常に有用な情報を提供しますが、提供される情報や手元にある情報は限られていることがよくあります。そのため、ベイズの定理を用いて条件付き確率を逆算または変換することが有用な場合があります。^{[4]もう一つの選択肢は、条件付き確率を}条件付き確率表に表示し、事象間の関係を明らかにすることです。 ${\displaystyle P(A\mid B)={{P(B\mid A)P(A)} \over {P(B)}}}$

意味

オイラー図_を用いた条件付き確率の図解。無条件確率P( A ) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52。しかし、条件付き確率P ( A | B1 ) = 1、P ( A | B2 ) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75、P( A | B3 _{) = 0と}なる。

ツリー図では、分岐確率は親ノードに関連付けられたイベントを条件とします。（ここでは、オーバーバーはイベントが発生しないことを示します。）

条件付き確率を示すベン円グラフ

イベントの条件付け

コルモゴロフ意味

確率空間のシグマ体から2つの事象 AとBが与えられ、Bの無条件確率が0より大きい場合（つまり、P( B )> 0） 、 Bが起こった場合のAの条件付き確率（ ）は、 Bが起こった、または起こったと仮定された場合にAが発生する確率です。 ^[5] Aは、制限された、または縮小された標本空間を持つ実験またはランダム試行のすべての可能な結果の集合であると仮定されます。条件付き確率は、事象AとBの結合交差の確率、つまり、 AとBが同時に発生する確率と、Bの確率の商で求められます。^{[2] [6] [7]} ${\displaystyle P(A\mid B)}$ ${\displaystyle P(A\cap B)}$

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.}$

等確率の結果からなる標本空間において、事象Aの確率は、事象Aにおける結果の数を標本空間内のすべての結果の数で割った値として理解されます。したがって、この式は、集合Bにおける集合 B の割合として理解されます。上記の式は定義であり、単なる理論的な結果ではないことに注意してください。この量を と表記し、「 Bが与えられた場合のAの条件付き確率」と呼びます。 ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

確率の公理として

デ・フィネッティなどの著者は、条件付き確率を確率の公理として導入することを好む。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B).}$

この条件付き確率の式は、数学的には等価ですが、直感的にはより理解しやすいかもしれません。これは、「Bが発生する確率と、Bが発生した場合のAが発生する確率を乗じたものは、必ずしも同時に発生するとは限らないものの、AとBが同時に発生する確率に等しい」と解釈できます。さらに、これは哲学的に好ましいかもしれません。主観的理論などの主要な確率解釈では、条件付き確率は基本的な実体とみなされます。さらに、この「乗法則」は、の確率を計算する際に実用的に役立ち、ポアンカレの公式の和の公理と対称性をもたらします。 ${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

したがって、方程式を組み合わせて、 の新しい表現を見つけることができます。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A\mid B)P(B)}$

${\displaystyle P(A\cup B)={P(A)+P(B)-P(A\mid B){P(B)}}}$

条件付きイベントの確率として

条件付き確率は、条件付き事象の確率として定義できます。グッドマン・グエン・ヴァン・フラーセンの条件付き事象は次のように定義できます。 ${\displaystyle A_{B}}$

${\displaystyle A_{B}=\bigcup _{i\geq 1}\left(\bigcap _{j<i}{\overline {B}}_{j},A_{i}B_{i}\right),}$ここで、およびはA またはBの状態または要素を表す。^[8] ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

次のようなことが証明できる。

${\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

これはコルモゴロフの条件付き確率の定義を満たす。^[9]

確率ゼロのイベントを条件とする

の場合、定義によれば、は未定義 となります。 ${\displaystyle P(B)=0}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

最も興味深いケースは、連続確率変数Xが特定の結果xをもたらすという条件付き確率変数Yの場合です。この事象の確率は 0 であるため、条件付けすることはできません。 ${\displaystyle B=\{X=x\}}$

Xがxとちょうど 等しいという条件の代わりに、 xから距離よりも近いという条件を課すこともできます。この事象は一般に確率がゼロではないため、条件として扱うことができます。そして、極限は ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle B=\{x-\varepsilon <X<x+\varepsilon \}}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon <X<x+\varepsilon ).}$

1

たとえば、2 つの連続確率変数XとY が結合密度 を持つ場合、ロピタルの法則とライプニッツの積分則により、 について微分すると次の式が得られます。 ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\varepsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\varepsilon <X<x_{0}+\varepsilon )&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}}\\[6pt]&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}}$

結果として得られる極限は、Xが与えられた場合のYの条件付き確率分布であり、分母の確率密度が厳密に正である場合に存在します。 ${\displaystyle f_{X}(x_{0})}$

定義されていない確率を極限( 1 )を用いて定義したくなるかもしれないが、これは一貫した方法では不可能である。特に、事象とが一致するような確率変数XとW 、そして値x、wを求めることは可能であるが、結果として得られる極限は次のようにはならない。 ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$ ${\displaystyle \{X=x\}}$ ${\displaystyle \{W=w\}}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon \leq X\leq x+\varepsilon )\neq \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid w-\varepsilon \leq W\leq w+\varepsilon ).}$

ボレル・コルモゴロフのパラドックスは、幾何学的な議論によってこれを実証しています。

離散確率変数の条件付け

X を離散確率変数とし、その起こり得る結果をVとします。例えば、X がサイコロを振った結果を表す場合、Vは集合 となります。説明のため、Xは離散確率変数であり、 Vの各値は非ゼロの確率を持つと仮定します。 ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

Vの値xとイベントAに対して、条件付き確率は次のように表されます。 ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

${\displaystyle c(x,A)=P(A\mid X=x)}$

簡単に言えば、これはxとAという 2 つの変数の関数であることがわかります。

固定されたAに対して、確率変数 を形成できます。これは、 Xの値xが観測されるたびに、その値の結果を表します。 ${\displaystyle Y=c(X,A)}$ ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

したがって、 Xが与えられた場合のAの条件付き確率は、区間 内の結果を持つ確率変数 Yとして扱うことができます。全確率の法則から、その期待値はAの無条件確率に等しくなります。 ${\displaystyle [0,1]}$

部分条件付き確率

部分条件付き確率 は、各条件イベントが100%とは異なる可能 性のある程度（信念の度合い、経験の度合い）で発生した 場合のイベント発生確率に関するものです 。頻度論的に、部分条件付き確率は、適切な長さの実験繰り返しで条件がテストされる場合に意味を持ちます。^[10]このような - 有界部分条件付き確率は、すべての確率仕様を満たす長さのテストベッドにおける イベントの条件付き平均発生期待値として定義できます。すなわち、 ${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}$

${\displaystyle P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})}$^[10]

これに基づいて、部分条件付き確率は次のように定義できる。

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),}$

ここで^[10] ${\displaystyle b_{i}n\in \mathbb {N} }$

ジェフリー条件化^{[11] [12]}は部分条件付き確率の特殊なケースであり、条件イベントはパーティションを形成する必要がある。

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})}$

例

誰かが 2 つの公平な 6 面サイコロを秘密裏に振り、その合計が 5 以下であるという情報を与えられた場合に、最初のサイコロの表向きの値が 2 である確率を計算したいとします。

• サイコロ1で出た目をD ₁とします。
• サイコロ2で出た目をD ₂とします。

D ₁  = 2となる確率

表 1 は、 2 つのサイコロの出目の 36 通りの組み合わせのサンプル空間を示しています。各組み合わせは 1/36 の確率で発生し、赤色のセルおよび濃い灰色のセルにはD ₁ + D ₂の数字が表示されています。

 36通りの結果のうち、ちょうど6通りでD _{1 = 2となる。したがって、} P ( D ₁ = 2) =  6 ⁄ 36  =  1 ⁄ 6となる。

表1

+		D2​
		1	2	3	4	5	6
D1​	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

D ₁  +  D ₂  ≤ 5となる確率

表2は 、36個の結果のうちちょうど10個でD ₁  +  D _{2 ≤ 5であることを示しています。したがって、} P ( D ₁  +  D ₂  ≤ 5) =  10 ⁄ 36 となります。

表2

+		D2​
		1	2	3	4	5	6
D1​	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

D ₁  +  D ₂  ≤ 5の場合にD ₁  = 2となる確率

表 3 は、これら 10 個の結果のうち 3 個についてD ₁  = 2 であることを示しています。

したがって、条件付き確率P( D ₁  = 2 |  D ₁ + D ₂  ≤ 5) =  3 ⁄ 10  = 0.3：

表3

+		D2​
		1	2	3	4	5	6
D1​	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

ここで、条件付き確率の定義の以前の表記では、条件付けイベントBはD ₁  +  D ₂ ≤ 5であり 、イベントAはD ₁  = 2です。表に示されているとおりです。 ${\displaystyle P(A\mid B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\tfrac {3}{10}},}$

推論での使用

統計的推論において、条件付き確率とは、新たな情報に基づいて事象の確率を更新することである。 ^[13]新しい情報は以下のように組み込むことができる。^[1]

• 関心のあるイベントAがサンプル空間内にあるとします ( X、P )。
• イベントBが発生したか発生するであろう ことを知った上でのイベントAの発生は、 Aの発生がBに限定されていることを意味します。 ${\displaystyle A\cap B}$
• Bの発生に関する知識がなければ、 Aの発生に関する情報は単にP ( A )となる。
• AがイベントBが発生したか発生するであろうことを知っている確率は、 Bが発生した確率P ( B )に対する確率になります。 ${\displaystyle A\cap B}$
• この結果、P ( B ) > 0の場合は常に となり、それ以外の場合は 0 となります。 ${\textstyle P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)}$

このアプローチは、元の確率測度と整合し、すべてのコルモゴロフ公理を満たす確率測度をもたらす。この条件付き確率測度は、 Xに対するAの確率の相対的な大きさがBに対しても保存されると仮定することによっても得られる（以下の形式的導出を参照）。

「証拠」または「情報」という表現は、ベイズ流の確率解釈において一般的に用いられます。条件付け事象は、条件付け事象の証拠として解釈されます。つまり、P ( A ) は証拠Eを考慮する前のAの確率であり、P ( A | E ) は証拠Eを考慮した後、またはP ( A )を更新した後のAの確率です。これは、上記の最初の定義である頻度主義的解釈と一致しています。

例

モールス信号を送信すると、受信した「短点」または「長点」が誤りである確率が一定量存在します。これは、しばしばメッセージ伝送の妨害とみなされます。そのため、例えば「短点」を送信した際に「短点」が受信される確率を考慮することが重要です。これは次のように表されます。モールス信号では、送信時点での短点と長点の比率は3:4であるため、「短点」と「長点」の確率は となります。短点が長点として送信される確率が1/10、長点が短点として送信される確率も1/10であると仮定すると、ベイズの定理を用いて を計算できます。 ${\displaystyle P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.}$ ${\displaystyle P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}{\text{ and }}P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}}$ ${\displaystyle P({\text{dot received}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\cap {\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\cap {\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\mid {\text{dash sent}})P({\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}}$

さて、次のように計算できます。 ${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})}$

${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}}$^[14]

統計的独立性

イベントAとBが統計的に独立していると定義されるのは、A と B の交差の確率が A と B の確率の積に等しい場合です。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

P ( B ) がゼロでない場合、これは次の文と同等である。

${\displaystyle P(A\mid B)=P(A).}$

同様に、P ( A ) がゼロでない場合は、

${\displaystyle P(B\mid A)=P(B)}$

も同様である。導出形はより直感的に見えるかもしれないが、条件付き確率が定義されていない可能性があり、推奨される定義はAとBで対称的であるため、推奨される定義ではない。独立性は、互いに素な事象を指すものではない。^[15]

また、独立事象ペア[ A、B ]と事象Cが与えられた場合、そのペアは条件付き独立であると定義され、^[16]

${\displaystyle P(AB\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C).}$

この定理は、複数の独立したイベントが観測されるアプリケーションで役立ちます。

独立したイベントと相互に排他的なイベント

相互に独立した事象と相互に排他的な事象という概念は別個かつ明確に区別されます。次の表は、2つのケースの結果を比較したものです（ただし、条件付け事象の確率はゼロではありません）。

	統計的に独立している場合	相互に排他的である場合
${\displaystyle P(A\mid B)=}$	${\displaystyle P(A)}$	0
${\displaystyle P(B\mid A)=}$	${\displaystyle P(B)}$	0
${\displaystyle P(A\cap B)=}$	${\displaystyle P(A)P(B)}$	0

実際、相互に排他的なイベントは、統計的に独立することはできません (両方が不可能でない限り)。これは、一方が発生することを知ることで、他方に関する情報 (特に、後者は確実に発生しないということ) が得られるためです。

よくある誤解

これらの誤謬は、論点先取となる反事実の例を扱うロバート・K・ショープの 1978 年の「条件付きの誤謬」と混同してはならない。

条件付き確率がその逆数と同程度の大きさであると仮定する

ベイズの定理を幾何学的に視覚化した図。表中の2、3、6、9の値は、対応する条件とケースの相対的な重みを表しています。数字は各指標に関係する表のセルを示し、確率は各数字のうち網掛けされている部分の割合です。これは、すなわち…であることを示しています。同様の推論を用いて、 …なども示すことができます。 ${\displaystyle P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)}$ ${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)}{P(A)\cdot P(B)}}}$ ${\displaystyle P({\bar {A}}\mid B)={\frac {P(B\mid {\bar {A}})P({\bar {A}})}{P(B)}}}$

一般に、P ( A | B ) ≈  P ( B | A ) と仮定することはできません。これは、統計に精通している人でさえも陥りやすい誤りです。^[17] P ( A | B ) とP ( B | A )の関係は、ベイズの定理によって与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

つまり、P ( A | B ) ≈  P ( B | A )となるのは、 P ( B )/ P ( A ) ≈ 1 の場合のみであり、同様に、P ( A ) ≈  P ( B ) となります。

周辺確率と条件付き確率が同じ大きさであると仮定する

一般に、P ( A ) ≈  P ( A | B ) と仮定することはできません。これらの確率は、全確率の法則によって結びついています。

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).}$

ここで、イベントはの可算な分割を形成します。 ${\displaystyle (B_{n})}$ ${\displaystyle \Omega }$

この誤謬は選択バイアスによって生じる可能性がある。^[18]たとえば、医療請求の文脈で、状況（急性疾患） Cの結果として後遺症（慢性疾患）Sが発生するイベントをS _Cとする。個人が医療の助けを求めるイベントをHとする。ほとんどの場合、 CはSの原因ではない（したがってP ( S _C )は低い）と仮定する。また、 Cが原因でSが発生した場合にのみ医療の助けが求められると仮定する。したがって、患者の経験から、医師はP ( S _C )が高いと誤って結論付ける可能性がある。医師が観察する実際の確率はP ( S _C | H )である。

事前分布の重み付けが多すぎるか少なすぎるか

事前確率を部分的または完全に考慮しないことを「ベースレート無視」と呼びます。逆に、事前確率からの調整が不十分な場合は「保守主義」です。

正式な導出

正式には、P ( A  |  B )は、標本空間上の新しい確率関数に従ってAの確率として定義され、 Bに含まれない結果の確率は0であり、すべての元の確率尺度と一致する。^{[19] [20]}

Ω を基本事象{ ω }を含む離散標本空間とし、P をΩ のσ 代数に関する確率測度とします。事象B  ⊆ Ω が発生したとします。これを反映するために、新しい確率分布(条件付き表記で表記) を { ω } 上に割り当てる必要があります。Bに含まれないすべての事象は、新しい分布では確率がゼロになります。Bに含まれる事象については、 Bの確率が1 であること、および確率の相対的な大きさが保持されることという 2 つの条件を満たす必要があります。前者は確率の公理によって要求され、後者は、新しい確率測度がBの確率が 1 であるPの類似物である必要があるという事実から生じます。したがって、 Bに含まれないすべての事象は確率がゼロになります。したがって、何らかのスケール係数αに対して、新しい分布は次の条件を満たしている必要があります。

1. ${\displaystyle \omega \in B:P(\omega \mid B)=\alpha P(\omega )}$
2. ${\displaystyle \omega \notin B:P(\omega \mid B)=0}$
3. ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}=1.}$

1と2を3に代入してαを選択します。

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}\\&=\sum _{\omega \in B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega \mid B)}}\\&=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega )}\\[5pt]&=\alpha \cdot P(B)\\[5pt]\Rightarrow \alpha &={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned}}}$

新しい確率分布は

1. ${\displaystyle \omega \in B:P(\omega \mid B)={\frac {P(\omega )}{P(B)}}}$
2. ${\displaystyle \omega \notin B:P(\omega \mid B)=0}$

さて、一般イベントAですが、

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\mid B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega \mid B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\[5pt]&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}}$

参照

• 数学ポータル

• ベイズの定理
• ベイズ認識論
• ボレル・コルモゴロフのパラドックス
• 連鎖律（確率）
• クラス所属確率
• 条件付き独立
• 条件付き確率分布
• 条件付け（確率）
• 崩壊定理
• 結合確率分布
• モンティ・ホール問題
• ペアワイズ独立分布
• 事後確率
• 選抜後
• 通常の条件付き確率

参考文献

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17. JA、パウロス (1988)。無数性: 数学的文盲とその結果。ヒルとワン。 p. 63以降​ISBN 0-8090-7447-8。
18. ブラス、F. トーマス(2007)。 "Der Wyatt-Earp-Effekt oder die betörende Macht kleiner Wahrscheinlichkeiten"。Spektrum der Wissenschaft (ドイツ語)。2：110～ 113。
19. George CasellaとRoger L. Berger（1990）、統計的推論、Duxbury Press、 ISBN 0-534-11958-1（18ページ以降）
20. グリンステッドとスネルの確率論入門、134ページ

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「条件付き確率」。MathWorld。
• 条件付き確率の視覚的な説明

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