数学において、都合の 良いベクトル空間 とは、非常に緩やかな 完全性条件を満たす 局所的に凸な ベクトル空間のことです 。
伝統的な 微分積分は、 有限次元 ベクトル空間 と バナッハ空間 の解析には有効である。バナッハ空間を超えると、困難が生じ始める。特に、 連続線型写像 の合成は、バナッハ空間のレベルでは共線的ではなくなる。 [注 1] 連続線型写像の空間上の任意の両立する位相に対しても同様である。
便宜ベクトル空間間の写像は 滑らか であるか、 あるいは滑らかな曲線を滑らかな曲線に写す場合である。これは、便宜ベクトル空間の -開部分集合 間の滑らかな写像の カルティシアン閉圏 につながる（下記性質6を参照）。滑らかな写像の対応する計算は 便宜計算 と呼ばれる。これは他のあらゆる合理的な微分可能性の概念よりも弱く、適用は容易であるが、連続しない滑らかな写像が存在する（注1を参照）。この種の計算だけでは方程式を解くのに役立たない [注2] 。 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} c ∞ {\displaystyle c^{\infty }}
c ∞ -トポロジー を局所凸ベクトル空間 とする 。 曲線は、 すべての導関数が存在し、かつ連続であるとき、 滑らかな曲線 または と呼ばれる。 を滑らかな曲線の空間とする。滑らかな曲線の集合は、その局所凸位相に完全に依存するのではなく、 関連する有界集合論（有界集合系）のみに 依存 することが示される。[KM], 2.11を参照。 への写像の以下の集合に関する 最終的な位相は 一致する。[KM], 2.13を参照。 E {\displaystyle E} c : R → E {\displaystyle c:\mathbb {R} \to E} C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} C ∞ ( R , E ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)} E , {\displaystyle E,} E {\displaystyle E}
C ∞ ( R , E ) . {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).} すべてのリプシッツ曲線 の集合 （したがって、 は 各 に対して で有界となる ）。 { c ( t ) − c ( s ) t − s : t ≠ s , | t | , | s | ≤ C } {\displaystyle \left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{t-s}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}} E , {\displaystyle E,} C {\displaystyle C} の注入集合は 、のすべての有界 な絶対凸 部分 集合を通る。 ここで、は ミンコフスキー関数 を備えた の線形スパンである。 E B → E {\displaystyle E_{B}\to E} B {\displaystyle B} E , {\displaystyle E,} E B {\displaystyle E_{B}} B {\displaystyle B} ‖ x ‖ B := inf { λ > 0 : x ∈ λ B } . {\displaystyle \|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.} すべてのMackey 収束シーケンス の集合( 有界な シーケンスが存在する )。 x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} 0 < λ n → ∞ {\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty } λ n ( x n − x ) {\displaystyle \lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)} この位相は上の - 位相 と呼ばれ 、結果として得られる位相空間 を と書きます 。一般に（ 例えば、実数直線上にコンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間上）、これは与えられた局所凸位相よりも細かく、加法がもはや共連続でないためベクトル空間位相ではありません。つまり、 上の よりも粗い すべての局所凸位相の中で最も細かい位相は、 与えられた局所凸位相のボルノロジー化です。 が フレシェ空間 である場合 、 c ∞ {\displaystyle c^{\infty }} E {\displaystyle E} c ∞ E {\displaystyle c^{\infty }E} D {\displaystyle D} c ∞ ( D × D ) ≠ ( c ∞ D ) × ( c ∞ D ) . {\displaystyle c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).} E {\displaystyle E} c ∞ E {\displaystyle c^{\infty }E} E {\displaystyle E} c ∞ E = E . {\displaystyle c^{\infty }E=E.}
便利なベクトル空間 局所凸ベクトル空間は、 次の同値条件のうち1つが成り立つとき、 便利ベクトル空間 であると言われる（ -完全性と呼ばれる）。[KM]、2.14を参照。 E {\displaystyle E} c ∞ {\displaystyle c^{\infty }}
任意の に対して、 (リーマン)積分は に存在する 。 c ∈ C ∞ ( R , E ) {\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)} ∫ 0 1 c ( t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{1}c(t)\,dt} E {\displaystyle E} の任意のリプシッツ曲線 は局所的にリーマン積分可能です。 E {\displaystyle E} 任意の スカラー ワイズ 曲線は です 。曲線が滑らかであるのは、 のすべての 合成 が である場合に限ります。 ここで は 上のすべての連続線形関数の双対です 。 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} c : R → E {\displaystyle c:\mathbb {R} \to E} λ ∘ c : t ↦ λ ( c ( t ) ) {\displaystyle \lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))} C ∞ ( R , R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} λ ∈ E ∗ {\displaystyle \lambda \in E^{*}} E ∗ {\displaystyle E^{*}} E {\displaystyle E} 同様に、すべての に対して 、すべての有界線形関数の双対です。 λ ∈ E ′ {\displaystyle \lambda \in E'} 同様に、すべての に対して 、 は のサブセットであり、 は 内の有界サブセットを認識する 。[KM]、5.22 を参照。 λ ∈ V {\displaystyle \lambda \in V} V {\displaystyle V} E ′ {\displaystyle E'} E {\displaystyle E} 任意の Mackey-Cauchy 列 (つまり、 内の いくつかの に対して) は で収束します 。これは明らかに軽度の完全性要件です。 t n m ( x n − x m ) → 0 {\displaystyle t_{nm}(x_{n}-x_{m})\to 0} t n m → ∞ {\displaystyle t_{nm}\to \infty } R {\displaystyle \mathbb {R} } E {\displaystyle E} が絶対凸で有界な閉空間である 場合、 はバナッハ空間です。 B {\displaystyle B} E B {\displaystyle E_{B}} がスカラー の 場合 、 は です ( の場合 )。 f : R → E {\displaystyle f:\mathbb {R} \to E} Lip k {\displaystyle {\text{Lip}}^{k}} f {\displaystyle f} Lip k {\displaystyle {\text{Lip}}^{k}} k > 1 {\displaystyle k>1} がスカラーの 場合 、 は で 微分可能です 。 f : R → E {\displaystyle f:\mathbb {R} \to E} C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} f {\displaystyle f} 0 {\displaystyle 0} ここで、までのすべての導関数 が存在し、 上で局所的にリプシッツである場合、 マッピング が呼び出されます 。 f : R → E {\displaystyle f:\mathbb {R} \to E} Lip k {\displaystyle {\text{Lip}}^{k}} k {\displaystyle k} R {\displaystyle \mathbb {R} }
スムーズなマッピング と を 便宜ベクトル空間とし、 を-開 とする。 すべての に対して 合成が成り立つとき、 写像は 滑らか または と 呼ばれる 。[KM], 3.11 を参照。 E {\displaystyle E} F {\displaystyle F} U ⊆ E {\displaystyle U\subseteq E} c ∞ {\displaystyle c^{\infty }} f : U → F {\displaystyle f:U\to F} C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} f ∘ c ∈ C ∞ ( R , F ) {\displaystyle f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)} c ∈ C ∞ ( R , U ) {\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)}
滑らかな計算の主な性質 1. フレシェ空間上の写像の場合、この滑らかさの概念は他のすべての合理的な定義と一致する。 これについては、Boman (1967) によって証明された非自明な定理が存在する。[KM] 3.4 も参照。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
2. 多重線形写像は、それが有界である場合に限り滑らかである（[KM]、5.5）。
3. が滑らかなら導関数も 滑らかであり、また も 滑らかである。ここで は 有界部分集合上の一様収束の位相を持つすべての有界線型写像の空間を表す。[KM]、3.18 を参照。 f : E ⊇ U → F {\displaystyle f:E\supseteq U\to F} d f : U × E → F {\displaystyle df:U\times E\to F} d f : U → L ( E , F ) {\displaystyle df:U\to L(E,F)} L ( E , F ) {\displaystyle L(E,F)}
4. 連鎖律が成り立つ（[KM]、3.18）。
5.すべての滑らかな写像の 空間 は、構造が次の注入によって与えられる便利なベクトル空間であり、 各導関数においてコンパクト収束の位相を別々に持ちます。[KM]の3.11と3.7を参照してください。 C ∞ ( U , F ) {\displaystyle C^{\infty }(U,F)} U → F {\displaystyle U\to F} C ∞ ( R , R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
C ∞ ( U , F ) → ∏ c ∈ C ∞ ( R , U ) , ℓ ∈ F ∗ C ∞ ( R , R ) , f ↦ ( ℓ ∘ f ∘ c ) c , ℓ . {\displaystyle C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.} 6. 指数法則 が成り立つ（[KM]、3.12）： -開の場合 、次の写像は便利なベクトル空間の線型微分同相写像である。 c ∞ {\displaystyle c^{\infty }} V ⊆ F {\displaystyle V\subseteq F}
C ∞ ( U , C ∞ ( V , G ) ) ≅ C ∞ ( U × V , G ) , f ↦ g , f ( u ) ( v ) = g ( u , v ) . {\displaystyle C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).} これは変分計算の主要な仮定です。ここでは定理です。この性質は 、(Steenrod 1967)から借用された 「便利」という名称の由来です。
7. 滑らかな一様有界性定理 （[KM]、定理5.26）。線型写像が 滑らかである（(2)より有界であることと同値）のは、 各 に対して が滑らかである場合に限ります 。 f : E → C ∞ ( V , G ) {\displaystyle f:E\to C^{\infty }(V,G)} ev v ∘ f : V → G {\displaystyle \operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G} v ∈ V {\displaystyle v\in V}
8. 以下の標準写像は滑らかである。これは指数法則から単純な圏論的推論によって導かれる（[KM], 3.13参照）。
ev : C ∞ ( E , F ) × E → F , ev ( f , x ) = f ( x ) ins : E → C ∞ ( F , E × F ) , ins ( x ) ( y ) = ( x , y ) ( ) ∧ : C ∞ ( E , C ∞ ( F , G ) ) → C ∞ ( E × F , G ) ( ) ∨ : C ∞ ( E × F , G ) → C ∞ ( E , C ∞ ( F , G ) ) comp : C ∞ ( F , G ) × C ∞ ( E , F ) → C ∞ ( E , G ) C ∞ ( , ) : C ∞ ( F , F 1 ) × C ∞ ( E 1 , E ) → C ∞ ( C ∞ ( E , F ) , C ∞ ( E 1 , F 1 ) ) , ( f , g ) ↦ ( h ↦ f ∘ h ∘ g ) ∏ : ∏ C ∞ ( E i , F i ) → C ∞ ( ∏ E i , ∏ F i ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}}
滑らかな写像の便宜的計算は、[Frölicher, 1981]、[Kriegl 1982, 1983]で初めて登場した。便宜的計算（性質6および7を持つ）は、以下の場合にも存在する。
実解析マッピング（Kriegl, Michor, 1990; [KM]、第II章も参照）。 正則写像（Kriegl, Nel, 1985; [KM] 第2章も参照）。正則写像の概念は[Fantappié, 1930-33]の概念である。 Denjoy Carleman 超微分可能関数の多くのクラス (Beurling 型と Roumieu 型の両方) [Kriegl、Michor、Rainer、2009、2011、2015]。 若干の改変を加えて 、[FK]。 Lip k {\displaystyle \operatorname {Lip} ^{k}} さらに適応を加えると、 （つまり、 - 次導関数は指数 でヘルダー連続になる ）（[Faure, 1989]、[Faure, These Geneve, 1991]）。 C k , α {\displaystyle C^{k,\alpha }} k {\displaystyle k} α {\displaystyle \alpha } 対応する便利なベクトル空間の概念は、これらすべての理論で同じです (複素数の場合の基礎となる実ベクトル空間について)。
応用: 有限次元多様体間の写像多様体 簡便微積分の指数法則6は、写像の多様体に関する基本事実を非常に簡単に証明することを可能にする。 と を 有限次元の 滑らかな多様体 とし、 は コンパクト と する。には補助 リーマン計量 を用いる 。 の リーマン指数写像 は、次の図で表される。 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} g ¯ {\displaystyle {\bar {g}}} N {\displaystyle N} g ¯ {\displaystyle {\bar {g}}}
以下のように、すべての滑らかな写像の 空間上にチャートの地図帳が誘導される 。 を中心とするチャートは 次のようになる。 C ∞ ( M , N ) {\displaystyle C^{\infty }(M,N)} M → N {\displaystyle M\to N} f ∈ C ∞ ( M , N ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(M,N)}
u f : C ∞ ( M , N ) ⊃ U f = { g : ( f , g ) ( M ) ⊂ V N × N } → U ~ f ⊂ Γ ( f ∗ T N ) , {\displaystyle u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),} u f ( g ) = ( π N , exp g ¯ ) − 1 ∘ ( f , g ) , u f ( g ) ( x ) = ( exp f ( x ) g ¯ ) − 1 ( g ( x ) ) , {\displaystyle u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),} ( u f ) − 1 ( s ) = exp f g ¯ ∘ s , ( u f ) − 1 ( s ) ( x ) = exp f ( x ) g ¯ ( s ( x ) ) . {\displaystyle (u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).} これで基本的な事実は簡単に理解できる。引き戻しベクトル束を単純化し 、指数法則6を適用すると、微分同相写像が得られる。 f ∗ T N {\displaystyle f^{*}TN}
C ∞ ( R , Γ ( M ; f ∗ T N ) ) = Γ ( R × M ; p r 2 ∗ f ∗ T N ) . {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).} すべてのチャート変更マッピングは 滑らかな曲線を滑らかな曲線にマッピングするため、滑らかです ( )。 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }}
U ~ f 1 ∋ s ↦ ( π N , exp g ¯ ) ∘ s ↦ ( π N , exp g ¯ ) ∘ ( f 2 , exp f 1 g ¯ ∘ s ) . {\displaystyle {\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).} したがって、 フレシェ空間をモデルとした滑らかな多様体となる。この多様体における滑らかな曲線全体の空間は次のように与えられる。 C ∞ ( M , N ) {\displaystyle C^{\infty }(M,N)}
C ∞ ( R , C ∞ ( M , N ) ) ≅ C ∞ ( R × M , N ) . {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).} 滑らかな曲線を滑らかな曲線に視覚的にマッピングするため、 構成
C ∞ ( P , M ) × C ∞ ( M , N ) → C ∞ ( P , N ) , ( f , g ) ↦ g ∘ f , {\displaystyle C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,} は滑らかである。チャート構造の帰結として、 写像多様体の 接束は次のように与えられる。
π C ∞ ( M , N ) = C ∞ ( M , π N ) : T C ∞ ( M , N ) = C ∞ ( M , T N ) → C ∞ ( M , N ) . {\displaystyle \pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).}
正則リー群 を、リー代数 を持つ、便利なベクトル空間をモデル化した 連結な滑らかな リー群 とする 。乗算と逆変換は次のように表される。 G {\displaystyle G} g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
μ : G × G → G , μ ( x , y ) = x . y = μ x ( y ) = μ y ( x ) , ν : G → G , ν ( x ) = x − 1 . {\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.} 正則リー群の概念は、もともとはオオモリらがフレシェ・リー群に対して提唱したもので、J.ミルナーによって弱められ、よりわかりやすくされ、その後、便宜的リー群に引き継がれました。[KM]、38.4 を参照してください。
次の 2 つの条件が満たされる場合、 リー群は 正則群 と呼ばれます。 G {\displaystyle G}
リー代数における 各滑らかな曲線に対し、 右対数微分が であるようなリー群における滑らかな曲線が存在する 。 は、もし存在するならば、 その初期値 によって一意に決定される 。すなわち、 X ∈ C ∞ ( R , g ) {\displaystyle X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})} g ∈ C ∞ ( R , G ) {\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)} X {\displaystyle X} g {\displaystyle g} g ( 0 ) {\displaystyle g(0)} g ( 0 ) = e , ∂ t g ( t ) = T e ( μ g ( t ) ) X ( t ) = X ( t ) . g ( t ) . {\displaystyle g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).} が上記で要求された曲線の唯一の解である 場合 、 g {\displaystyle g} X {\displaystyle X}
evol G r ( X ) = g ( 1 ) , Evol G r ( X ) ( t ) := g ( t ) = evol G r ( t X ) . {\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).} evol G r : C ∞ ( R , g ) → G . {\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.} がリー代数の定数曲線である 場合、 は 群指数写像です。 X {\displaystyle X} evol G r ( X ) = exp G ( X ) {\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)}
定理。 各コンパクト多様体 に対して 、微分同相群は正則リー群となる。そのリー代数は 上の滑らかなベクトル場全体の 成す空間であり 、通常の括弧の負の部分はリー括弧となる。 M {\displaystyle M} Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} X ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)} M {\displaystyle M}
証明： 微分同相群は の開部分集合なので滑らかな多様体である 。合成は制限により滑らかである。反転は滑らかである： が の滑らかな曲線であれ ば、 f ( t , ) Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} C ∞ ( M , M ) {\displaystyle C^{\infty }(M,M)} t → f ( t , ) {\displaystyle t\to f(t,\ )} Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} −1 f ( t , ) − 1 ( x ) {\displaystyle f(t,\ )^{-1}(x)} は暗黙方程式 を満たす ので、有限次元暗黙関数定理より、 は滑らかである。したがって、反転は滑らかな曲線を滑らかな曲線に写像するため、反転は滑らかである。を （ ） 上の時間依存ベクトル場とする。すると、 上 の対応する自律ベクトル場の フロー演算子は 、 を 介して発展演算子を誘導する。 f ( t , f ( t , ) − 1 ( x ) ) = x {\displaystyle f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x} ( t , x ) ↦ f ( t , ) − 1 ( x ) {\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)} X ( t , x ) {\displaystyle X(t,x)} M {\displaystyle M} C ∞ ( R , X ( M ) ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))} Fl {\displaystyle \operatorname {Fl} } ∂ t × X {\displaystyle \partial _{t}\times X} R × M {\displaystyle \mathbb {R} \times M}
Fl s ( t , x ) = ( t + s , Evol ( X ) ( t , x ) ) {\displaystyle \operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))} これは常微分方程式を満たす
∂ t Evol ( X ) ( t , x ) = X ( t , Evol ( X ) ( t , x ) ) . {\displaystyle \partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).} リー代数における滑らかな曲線 が与えられた場合 、常微分方程式の解はさらなる変数 にも滑らかに依存するため 、 時間依存ベクトル場の滑らかな曲線は微分同相写像の滑らかな曲線に写像されます。QED。 X ( s , t , x ) ∈ C ∞ ( R 2 , X ( M ) ) {\displaystyle X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))} s {\displaystyle s} evol Diff ( M ) r {\displaystyle \operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}}
埋め込みの主束 有限次元多様体 とコンパクト多様 体に対して、 の へ の滑らかな埋め込み 空間はすべて において開空間となる ため、 は滑らかな多様体である。微分同相群は 上で右から自由に滑らかに作用する 。 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} Emb ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} C ∞ ( M , N ) {\displaystyle C^{\infty }(M,N)} Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)} Emb ( M , N ) {\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}
定理: は構造群を持つ主ファイバー束です 。 Emb ( M , N ) → Emb ( M , N ) / Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)} Diff ( M ) {\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}
証明： 上の 補助リーマン計量を再び用いる 。 が与えられ 、 を の部分多様体とみなし 、 への接束の制限を に 垂直な部分束と に接する部分束に 分割 する 。 管状近傍を選択する。 g ¯ {\displaystyle {\bar {g}}} N {\displaystyle N} f ∈ Emb ( M , N ) {\displaystyle f\in \operatorname {Emb} (M,N)} f ( M ) {\displaystyle f(M)} N {\displaystyle N} T N {\displaystyle TN} f ( M ) {\displaystyle f(M)} f ( M ) {\displaystyle f(M)} f ( M ) {\displaystyle f(M)} T N | f ( M ) = Nor ( f ( M ) ) ⊕ T f ( M ) {\displaystyle TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)}
p f ( M ) : Nor ( f ( M ) ) ⊃ W f ( M ) → f ( M ) . {\displaystyle p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).} が に 近い 場合 、 g : M → N {\displaystyle g:M\to N} C 1 {\displaystyle C^{1}} f {\displaystyle f}
ϕ ( g ) := f − 1 ∘ p f ( M ) ∘ g ∈ Diff ( M ) and g ∘ ϕ ( g ) − 1 ∈ Γ ( f ∗ W f ( M ) ) ⊂ Γ ( f ∗ Nor ( f ( M ) ) ) . {\displaystyle \phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).} これは必要な局所分割です 。QED
さらなる応用 形状空間の幾何学と微分同相群を使用したアプリケーションの概要については、[Bauer、Bruveris、Michor、2014]を参照してください。
注記 ^ 合成写像の例としては 、評価写像 が挙げられる。ここで、は 局所凸ベクトル空間 であり 、 は その 双対 で、評価写像 が別々に連続するような任意の局所凸位相を備えた連続線型汎関数である。評価が共連続であると仮定すると、 となるような零の近傍 および が存在する 。しかし、これは が 開集合 の 極 に含まれることを意味するため 、 は において有界である 。したがって、は 零の有界近傍を許容し、したがって ノルムベクトル空間 となる。 ev : E × E ∗ → R {\displaystyle {\text{ev}}:E\times E^{*}\to \mathbb {R} } E {\displaystyle E} E ∗ {\displaystyle E^{*}} U ⊆ E {\displaystyle U\subseteq E} V ⊆ E ∗ {\displaystyle V\subseteq E^{*}} ev ( U × V ) ⊆ [ 0 , 1 ] {\displaystyle {\text{ev}}(U\times V)\subseteq [0,1]} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} E {\displaystyle E} E {\displaystyle E} ^ 非線形偏微分方程式のような方程式を解くのに便利な計算法を有用にするためには、例えば、 何らかの反復手順の収束を可能にするのに十分なバナッハ空間状況を作り出すのに役立つ 事前推定 によって便利な計算法が補完されなければならない。例えば、 [KM]のセクション51で便利な計算法に関して説明されている ナッシュ・モーザー定理を参照のこと。
参考文献
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基本概念 主な結果 地図 セットの種類 集合演算 TVSの種類
スペース
定理 オペレーター 代数 未解決の問題 アプリケーション 高度なトピック
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311cb65cc419d2029c679e7a9f3e2d760e80001b)
![{\displaystyle {\text{ev}}(U\times V)\subseteq [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6a13210510bef127c0af24305742b3da3f9ecb)
