凸距離空間

凸距離空間の図。

数学において、凸距離空間とは、直感的に言えば、その空間内の 2 点を結ぶ任意の「線分」に端点以外の点も含まれるという性質を持つ 距離空間です。

正式には、 距離空間( X ,  d ) を考え、xとy をX内の2点とします。X内の点zがxとyの間にあるとは、3点すべてが異なる場合のことです。

${\displaystyle d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),\,}$

つまり、三角不等式は等式になります。凸距離空間とは、距離空間 ( X ,  d ) において、 X内の任意の2つの異なる点xとyに対して、 xとyの間にX内の3番目の点zが存在するような空間です。

メトリック凸性:

• ユークリッド空間の部分集合の通常の意味での凸性を意味しない（有理数の例を参照）
• また、パスの連結性も意味しません（有理数の例を参照）。
• また、リーマン多様体の測地線凸性も意味しません(たとえば、閉じた円板を取り除いたユークリッド平面を考えてみましょう)。

例

• ユークリッド空間、すなわち通常の三次元空間と、他の次元におけるその類似空間は、凸距離空間である。そのような空間において、任意の二点とが与えられたとき、上記の「三角形の等式」を満たすすべての点の集合は、とを結ぶ線分を形成する。この線分には、とを除く他の点が必ず存在する。実際、線分は点の連続体である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$

凸距離空間としての円。

• ユークリッド空間内の任意の凸集合は、誘導ユークリッドノルムを持つ凸距離空間である。閉集合の場合、逆もまた成り立つ。すなわち、ユークリッド空間の閉部分集合と誘導距離が凸距離空間であるならば、それは凸集合である（これは後述するより一般的な命題の特殊なケースである）。
• 2 点間の距離が、それらを結ぶ円上の最短の弧の長さとして定義される場合、円は凸距離空間です。

メトリックセグメント

を計量空間（必ずしも凸ではない）とする。実数直線上に閉区間が存在し、かつ等長変換が存在するとき、その部分集合は2つの異なる点とにおける計量線分 と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [a,c]}$

${\displaystyle \gamma :[a,c]\to X,\,}$

そして、 ${\displaystyle \gamma ([a,c])=S,}$ ${\displaystyle \gamma (a)=x}$ ${\displaystyle \gamma (c)=z.}$

距離線分 内の任意の点y は、端点と を除き、との間にあります。証明: yは[a,c] の像S上にあるため、[a,c] には となる点 b が存在する必要があります。等長変換の性質により、および となります。したがって、となり、等長変換の性質により と なります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma (b)=y}$ ${\displaystyle d(x,y)=b-a}$ ${\displaystyle d(y,z)=c-b}$ ${\displaystyle d(x,y)+d(y,z)=c-a}$ ${\displaystyle d(x,z)}$

したがって、距離空間が空間内の任意の 2 つの異なる点の間に距離セグメントを許容する場合、その距離空間は凸距離空間です。 ${\displaystyle (X,d)}$

逆は一般には成り立ちません。有理数は通常の距離を持つ凸距離空間を形成しますが、2つの有理数を結ぶ有理数のみからなる線分は存在しません。しかし、が凸距離空間であり、さらに完備である場合、内の任意の2点に対して、それらを結ぶ距離線分（必ずしも一意ではない）が存在することが証明できます。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$

凸距離空間と凸集合

例の節で述べたように、ユークリッド空間の閉部分集合が凸計量空間となるのは、それらが凸集合である場合と同値である。したがって、凸計量空間は、通常の線型セグメントを計量セグメントに置き換えた、ユークリッド空間を超えた凸性の概念の一般化であると考えるのが自然である。

しかし、このように定義された計量凸性は、ユークリッド凸集合の最も重要な性質の一つ、すなわち2つの凸集合の交差が凸であるという性質を持たないことに注意することが重要です。確かに、例のセクションで述べたように、2点間の距離をそれらの点を結ぶ最短の弧に沿って測定した円は、（完全な）凸計量空間です。しかし、円上の正反対の2点と、それらを結ぶ2つの計量線分（これらの点が円を分割する2つの弧）が存在し、それらの2つの弧は計量的に凸ですが、それらの交差は計量的に凸ではない集合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

参照

• 固有のメトリック

参考文献

• カムシ、モハメド・A.;カーク、ウィリアム・A. (2001).計量空間と不動点理論入門. Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0。

• カプランスキー、アーヴィング (2001). 『集合論と距離空間』アメリカ数学会. ISBN 0-8218-2694-8。

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