クーロンの法則

Fundamental physical law of electromagnetism

2点電荷q ₁とq ₂の間に働く静電力 Fの大きさは、電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例します。同種の電荷は互いに反発し、異種の電荷は互いに引き合います。

クーロンの逆二乗則、あるいは単にクーロンの法則は、静止している2つの電荷を帯びた粒子間の力の大きさを計算する物理学の実験法則^{[1]です。この電気力は、慣習的に}静電気力またはクーロン力と呼ばれています。^[2]この法則は以前から知られていましたが、1785年にフランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンによって初めて発表されました。クーロンの法則は電磁気学の理論の発展に不可欠であり、粒子の電荷量に関する有意義な議論を可能にしたため、その出発点とも言えるかもしれません。 ^{[1] [3]}

この法則は、2つの点電荷間の静電引力または反発力の大きさ（絶対値）は、それらの電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例することを述べています。^[4] 2つの電荷の大きさがそれらの間の距離に比べて小さい場合、それらは点電荷として近似できます。^[5]クーロンは、同じ電荷を持つ物体は反発することを発見しました。

したがって、これら3つのテストから、同じ種類の電気で帯電した2つのボールが互いに及ぼす反発力は、距離の2乗に反比例することがわかります。^[6]

クーロンはまた、反対の電荷を持つ物体は反二乗の法則に従って引き合うことも示しました。 $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

ここで、k _eは定数、q ₁とq ₂は各電荷の量、スカラーrは電荷間の距離です。

力は2つの電荷を結ぶ直線に沿って作用します。電荷の符号が同じ場合、それらの間の静電気力によって反発し合います。電荷の符号が異なる場合、それらの間の静電気力によって引き合い合います。

この法則は逆二乗則であり、アイザック・ニュートンの万有引力の逆二乗則に似ていますが、重力は常に物体を引き付けるのに対し、静電気力は電荷を引き付けたり反発させたりします。また、重力は静電気力よりもはるかに弱いです。^{[2]クーロンの法則は}ガウスの法則を導くのに用いることができ、その逆も同様です。静止した一点電荷の場合、2つの法則は等価であり、同じ物理法則を異なる方法で表現しています。^{[7]この法則は}広範囲に検証されており、10 ⁻¹⁶ mから10 ⁸ mのスケールで観測によってこの法則が裏付けられています。 ^[7]

歴史

シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロン

地中海沿岸の古代文化では、琥珀の棒などの物体を猫の毛皮でこすると、羽や紙片などの軽い物体を引き寄せることができることが知られていました。ミレトスのタレスは紀元前600年頃に静電気に関する最初の記録を残しました^[8]。彼は摩擦によって琥珀が小さな物体を引き寄せることに気づいたのです^{[9] [10]。}

1600年、イギリスの科学者ウィリアム・ギルバートは電気と磁気について綿密な研究を行い、磁石効果と琥珀を擦ったときに生じる静電気を区別しました。^[9]彼は、擦った後に小さな物体を引き寄せる性質を表すために、新ラテン語の「 electricus」（「琥珀の」または「琥珀のような」という意味で、ギリシャ語の「琥珀」を意味するἤλεκτρον [ elektron ] に由来）を造語しました。 ^[11]この関連性から英語の「electric」と「electricity」が生まれ、 1646年に出版されたトーマス・ブラウンの『Pseudodoxia Epidemica』で初めて印刷物に登場しました。^[12]

18世紀初期の研究者の中には、重力と同様に電気力は距離とともに減少する（距離の2乗に反比例する）のではないかと考えた人物がいた。その中には、コンデンサーのプレート間の力を測定したダニエル・ベルヌーイ^[13]とアレッサンドロ・ボルタ、そして1758年に反二乗の法則を仮定したフランツ・エピヌス^{[14]などがいた。}

イギリスのジョセフ・プリーストリーは、帯電球を用いた実験に基づき、電気力はニュートンの万有引力の法則に似た反二乗則に従うと提唱した最初の人物の一人であった。しかし、彼はこれを一般化したり、詳細に論じたりすることはなかった。^[15] 1767年、彼は電荷間の力は距離の反二乗に比例すると推測した。^{[16] [17]}

クーロンのねじりバランス

1769年、スコットランドの物理学者ジョン・ロビソンは、彼の測定によれば、同じ符号の電荷を持つ2つの球の間の反発力はx ^−2.06のように変化すると発表しました。^[18]

1770年代初頭、イギリスのヘンリー・キャベンディッシュは、荷電物体間の力が距離と電荷の両方に依存することをすでに発見していたが、公表していなかった。 ^{[19]キャベンディッシュは自身のノートの中で、「したがって、電気的な引力と反発力は、}物体間の距離の何乗かに反比例すると考えられる」と記している。1/50⁠ thと2 − ⁠の1/50⁠ th、そしてそれが逆重複比率とまったく異なると考える理由はない」。

1785年、フランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは、電気と磁気に関する最初の3つの論文を発表し、その中で自身の法則を提唱しました。この論文は電磁気学理論の発展に不可欠なものでした。^[4]彼はねじり天秤を用いて荷電粒子の反発力と引力を研究し、2点電荷間の電気力の大きさは電荷の積に正比例し、2点電荷間の距離の2乗に反比例することを発見しました。

ねじり天秤は、細い繊維で中央から吊るされた棒で構成されています。繊維は非常に弱いねじりバネとして機能します。クーロンの実験では、ねじり天秤は絶縁棒で、その一端に金属コーティングされたボールが取り付けられ、絹糸で吊り下げられていました。ボールには既知の静電気で充電され、同じ極性の2番目の帯電ボールがその近くに持ってこられました。2つの帯電ボールは互いに反発し、繊維を特定の角度でねじります。この角度は、計器のスケールから読み取ることができました。特定の角度で繊維をねじるのに必要な力を知ることで、クーロンはボール間の力を計算し、反比例の法則を導き出すことができました。

数学的な形式

図において、ベクトルF _1はq ₁が受ける力、ベクトルF _2はq ₂が受ける力です。q 1 q 2 > 0 のとき、力_は斥力（図の通り）となり、q ₁ q ₂ < 0_のとき、力は引力（図の反対）となります。力の大きさは常に等しくなります。

クーロンの法則によれば、真空中の位置にある電荷が位置にある別の電荷の近傍で受ける静電力は^[20]に等しい。 ${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

ここで、 は電荷間の変位ベクトル、は から を指す単位ベクトル、は電気定数です。ここで、はベクトル表記に用いられます。ニュートンの第三法則によれば、が受ける静電力はです。 ${\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\textstyle q_{2}}$ ${\textstyle q_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

両方の電荷が同じ符号（同電荷）を持つ場合、積は 正となり、力の方向はで表され、電荷は互いに反発します。電荷が異符号を持つ場合、積は負となり、力の方向はで表され、電荷は互いに引き合います。^[21] ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

離散電荷システム

重ね合わせの法則により、クーロンの法則は任意の数の点電荷を含むように拡張できます。点電荷系によって点電荷に作用する力は、各電荷によって点電荷に単独で作用する個々の力のベクトル和に過ぎません。結果として得られる力のベクトルは、その点における電場ベクトルと平行であり、点電荷は除かれます。

真空中の離散電荷系による位置における微小電荷に働く力は^[20] ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}$$

ここで、 はi番目の電荷の大きさ、はその位置から へのベクトル、は の方向の単位ベクトルです。 ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

連続電荷分布

この場合も、線形重ね合わせの原理が用いられます。連続的な電荷分布の場合、電荷を含む領域上の積分は、空間の各微小要素を点電荷として扱う無限和と等価です。電荷分布は通常、線形、面状、または体積状です。 ${\displaystyle dq}$

線状電荷分布（電線内の電荷の良い近似）では、位置における単位長さあたりの電荷を与え、長さの無限小要素である^[22] ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle d\ell '}$ $${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

表面電荷分布（平行板コンデンサのプレート上の電荷の良い近似）では、位置 における単位面積あたりの電荷を与え、面積の無限小要素である。 ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dA'}$ $${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

体積電荷分布（例えばバルク金属内の電荷）の場合、 は位置 における単位体積あたりの電荷を与え、 は体積の無限小要素である。^[21] ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dV'}$ $${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

真空中の位置にある小さな試験電荷にかかる力は、電荷分布の積分で与えられる。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

クーロンの法則の「連続電荷」バージョンは、その位置が荷電粒子（例えば電子や陽子）の位置と直接重なるため、電場や電位を古典的に解析するには妥当ではない位置には決して適用されないはずです。電荷は現実には常に離散的であり、「連続電荷」の仮定は単なる近似であり、解析には適さないはずです。 ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

クーロン定数

クーロンの法則における比例定数は、単位の歴史的な選択の結果である。^{[20] : 4–2} ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

定数は真空の誘電率である。^[23] CODATA 2022の推奨値^[24]を用いると、クーロン定数^[25]は ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} }$$

制限事項

クーロンの逆二乗則が成立するためには、3つの条件を満たす必要がある。^[26]

1. 電荷は球対称の分布を持つ必要があります (例: 点電荷、または帯電した金属球)。
2. 電荷は重複してはなりません (例: 異なる点電荷である必要があります)。
3. 電荷は非加速参照フレームに対して静止している必要があります。

これらの最後のものは静電近似として知られています。動きが発生すると、2つの物体に生じる力を変化させる追加の要因が導入されます。この追加の力は磁力と呼ばれます。動きが遅い場合、磁力は最小限であり、クーロンの法則は依然として近似的に正しいと見なすことができます。しかし、この場合、より正確な近似はウェーバー力です。電荷が互いにより速く移動している場合、または加速が発生する場合は、マクスウェル方程式とアインシュタインの相対性理論を考慮する必要があります。

電界

2 つの電荷が同じ符号を持つ場合、それらの間の静電力は反発力となり、異なる符号を持つ場合、それらの間の静電力は引力となります。

電場とは、単位電荷が受けるクーロン力を空間内の各点に関連付けるベクトル場である。^[20]電荷に対するクーロン力の強さと方向は、その電荷が属する他の電荷によって形成される電場によって決まる。つまり、 となる。最も単純なケースでは、電場は単一の発生源である点電荷によってのみ生成されると考えられる。より一般的には、電場は重ね合わせの原理によって、全体に寄与する電荷の分布によって生成される。 ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\textstyle q_{t}}$ ${\textstyle \mathbf {E} }$ ${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

電界が正の点電荷源によって生成される場合、電界の方向はそこから放射状に外向きの線に沿って向きます。つまり、電界内に正の点電荷を置いた場合、電界の方向は放射状に内向きになります。負の点電荷源の場合、電界の方向は放射状に内向きになります。 ${\textstyle q}$ ${\textstyle q_{t}}$

電場Eの大きさはクーロンの法則から導かれる。点電荷の一方を発生源、他方を試験電荷とすると、クーロンの法則から、真空中において、ある距離rにある単一の発生源点電荷Qによって生成される電場 Eの大きさは、次式で表される。 $${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|q|}{r^{2}}}}$$

n個の離散電荷のシステムは、重ね合わせによって大きさと方向が ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

原子力

クーロンの法則は原子内部でも成立し、正電荷を持つ原子核と負電荷を持つ電子間の力を正しく記述します。このシンプルな法則は、原子同士を結合させて分子を形成する力、そして原子と分子を結合させて固体や液体を形成する力も正しく説明しています。一般的に、イオン間の距離が長くなると、引力と結合エネルギーはゼロに近づき、イオン結合は不利になります。反対電荷の大きさが大きくなると、エネルギーが増加し、イオン結合はより有利になります。

ガウスの法則との関係

クーロンの法則からガウスの法則を導く

^[要出典]厳密に言えば、クーロンの法則は個々の静電 点電荷による電場のみを与えるため、ガウスの法則はクーロンの法則のみから導くことはできない。しかし、電場が重ね合わせの原理に従うと仮定すれば、クーロンの法則からガウスの法則を証明できる。重ね合わせの原理とは、結果として生じる電場は各粒子によって生成される電場のベクトル和（または、電荷が空間的に滑らかに分布している場合は積分）であると述べている。

証明の概要

クーロンの法則によれば、静止した点電荷による電場は次のよう に表される。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$

• e _rは放射状単位ベクトルであり、
• rは半径、| r |、
• ε ₀は電気定数であり、
• qは粒子の電荷であり、原点に位置すると仮定されます。

クーロンの法則の式を用いて、空間内の 他の各点sにおける微小電荷によるrにおける電場を積分して合計することで、 rにおける全電場が得られる。 ここでρは電荷密度である。この式の両辺のrに関する発散を取り、既知の定理^{[27]を用いると、} $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ここでδ (r)はディラックのデルタ関数であり、結果は $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

ディラックのデルタ関数の「ふるい分け特性」を使用すると、 期待どおりにガウスの法則の微分形式である が得られます。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

クーロンの法則は静止電荷にのみ適用されるため、この導出のみに基づいてガウスの法則が移動電荷にも成立すると期待する理由はない。実際、ガウスの法則は移動電荷にも成立し、この点においてガウスの法則はクーロンの法則よりも一般性が高い。

証明（ディラックデルタなし）

を有界開集合とし、を 連続関数（電荷密度）を持つ電場とします。 ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}d^{3}r'\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )d^{3}r'}$$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$

それはすべて真実です。 ${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

ここで、となる区分的に滑らかな境界を持つコンパクト集合を考えます。したがって、 となり、発散定理は次式となります。 ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

しかし、 ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ 上記の議論について（そして） ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

したがって、外側（表面）の何らかの電荷密度によって生成される閉じた表面を通る磁束はゼロになります。

ここで、 を中心とし、 を半径とする 球面（ は開集合であるために存在する）を考えます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$

を球の内側と外側にそれぞれ生じる電場とします。すると、 ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$、 そして ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

最後の等式は、 と上記の議論を観察することによって得られます。 ${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$

RHS は帯電球によって生成される電束なので、次のようになります。

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$と ${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

ここで、最後の等式は積分の平均値定理に従う。スクイーズ定理と の連続性を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

ガウスの法則からクーロンの法則を導く

厳密に言えば、クーロンの法則はガウスの法則だけでは導出できません。ガウスの法則はEの回転に関する情報を一切与えないからです（ヘルムホルツ分解とファラデーの法則を参照）。しかし、点電荷からの電場が球対称であると仮定すれば、ガウスの法則からクーロンの法則を証明できます（この仮定は、クーロンの法則自体と同様に、電荷が静止している場合は厳密に正しく、電荷が運動している場合は近似的に正しいです）。

証明の概要

ガウスの法則の積分形におけるSを点電荷Qを 中心とする半径rの球面とすると、 $${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

球対称性の仮定により、積分関数は定数となり、積分から除外することができます。結果は次のようになります。ここで、 r̂は電荷から放射状に遠ざかる単位ベクトルです。球対称性により、 Eは放射状方向を向いているので、次の式が得られます。これは本質的にクーロンの法則と等価です。したがって、クーロンの法則における電場の逆二乗則依存性は、ガウスの法則から導かれます。 $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

相対性において

クーロンの法則は、移動する電荷によって生成される磁場の形状を理解するために使用できます。これは、特殊相対性理論により、特定のケースでは磁場が電場によって引き起こされる力の変換であることを示すことができるためです。粒子の履歴に加速が伴わない場合、上に示したマクスウェル方程式を解く際の対称性の議論によってサポートされ、独自の慣性系にある任意のテスト粒子にクーロンの法則が成り立つと想定できます。クーロンの法則は、同じ形状になるように移動するテスト粒子に拡張できます。この仮定は、クーロンの法則とは異なり、静止したテスト電荷に限定されないローレンツ力の法則によってサポートされています。電荷は観測者に対して不変であると見なすと、均一に移動する点電荷の電場と磁場は、クーロンの法則によって与えられた電荷の参照フレームにあるテスト電荷に対する4 元力のローレンツ変換によって導出でき、磁場と電場はローレンツ力の形式で与えられた定義に帰属します。^[28]均一に運動する点電荷に対して求められる場は次のように表される: ^[29]ここで、 は点源の電荷、は点源から空間内の点までの位置ベクトル、は荷電粒子の速度ベクトル、は荷電粒子の速度を光速で割った比、はとの間の角度である。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

この形式の解は、特殊相対論の枠組みの場合のようにニュートンの第三法則に従う必要はない（ただし、相対論的エネルギー運動量保存則は破れない）。^[30]電場の表現式は点電荷の非相対論的速度に対するクーロンの法則に簡約され、非相対論的極限（ に近似）における磁場は電流に適用してビオ・サバールの法則を得ることができることに留意されたい。これらの解は、遅延時間で表された場合、リエナール・ヴィーヒャー・ポテンシャルの解によって与えられるマクスウェル方程式の一般解とも対応している。これは、クーロンの法則がその特定の適用範囲内で有効であるためである。また、静止電荷に対するガウスの法則の球対称性は、問題における速度方向の指定によって対称性が破れるため、運動電荷には有効ではないことにも留意されたい。上記の2つの方程式がマクスウェル方程式と一致することは、手動で検証することもできる。^[31] ${\displaystyle \beta \ll 1}$

クーロンポテンシャル

量子場理論

2つのフェルミオン間のQED相互作用に関する最も基本的なファインマン図

クーロンポテンシャルは、電子-陽子散乱を記述する連続状態（E > 0）と、水素原子を表す離散的な束縛状態を許容する。^{[32]また、2つの荷電粒子間の}非相対論的極限内では、次のように導出することもできる。

ボルン近似では、非相対論的量子力学において、散乱振幅は次のようになります。これは、次と比較されます。ここで、互いに散乱する 2 つの電子の (接続された) S 行列エントリを見て、一方の電子を「固定」運動量でポテンシャルのソースとして扱い、もう一方の電子がそのポテンシャルで散乱するものとします。 ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

ファインマン規則を用いてS行列要素を計算すると、非相対論的極限で次式が得られる。 ${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$ $${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

QM散乱と比較すると、QMと比較してQFTでは運動量固有状態の正規化が異なるため生じる を捨てて次を得る。ここで両辺をフーリエ変換し、積分を解いて最後に を取るとクーロンポテンシャルが得られる。^[33] ${\displaystyle (2m)^{2}}$ $${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ $${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

しかし、クーロン問題に対する古典的なボルンの導出の同等の結果は、厳密に偶然の産物であると考えられている。^{[34] [35]}

クーロンポテンシャルとその導出は、交換されるボソン（光子）が静止質量を持たない場合である湯川ポテンシャルの特殊なケースとして見ることができる。 ^[32]

検証

クーロンの法則を検証する実験。

クーロンの法則は簡単な実験で検証できます。質量と同符号の電荷 を持つ2つの小さな球が、長さ の無視できる質量のロープ2本にぶら下がっているとします。それぞれの球に作用する力は、重力、ロープの張力、そして電気力 の3つです。平衡状態では、次のようになります。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle mg}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} \sin \theta _{1}=\mathbf {F} _{1}}$$

1

そして

$${\displaystyle \mathbf {T} \cos \theta _{1}=mg}$$

2

( 1 )を( 2 )で割ると、

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}}$$

3

を帯電球間の距離とすると、それらの間の反発力は、クーロンの法則が正しいと仮定すると、次の式に等しい。 ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

$${\displaystyle F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}}$$

クーロンの法則

それで：

$${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}}$$

4

球の1つを放電し、帯電した球と接触させると、それぞれの球は電荷を帯びます。平衡状態では、電荷間の距離は となり、それらの間の反発力は となります。 ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$ ${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

$${\displaystyle F_{2}={\frac {{({\frac {q}{2}})}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}}$$

5

我々は次のことを知っています: ( 4 )を( 5 )で割ると次のようになります: ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$ $${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Rightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}}$$

6

角度と電荷間の距離を測定すれば、実験誤差を考慮しても等式が成り立つことが確認できます。実際には角度の測定は難しい場合があるため、ロープの長さが十分に長ければ、角度は十分に小さくなり、以下の近似式が得られます。 ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{\ell }}={\frac {L}{2\ell }}\Rightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}}$$

7

この近似を用いると、関係式（６）はより単純な式になる。

$${\displaystyle {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}}$$

8

この方法では、検証は電荷間の距離を測定し、除算が理論値に近似しているかどうかを確認することに限定されます。

参照

• エレクトロニクスポータル

• ビオ・サバールの法則
• ダーウィンのラグランジアン
• 電磁力
• ガウスの法則
• 画像課金の方法
• 分子モデリング
• ニュートンの万有引力の法則は、電荷の代わりに質量について同様の構造を採用している。
• 静的力と仮想粒子交換
• カシミール効果

参考文献

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関連資料

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• クーロン、チャールズ オーギュスタン (1788) [1785]。 「電気と磁力に関する第二の回想録」。王立科学アカデミーの歴史。インプリメリー・ロワイヤル。578–611ページ 。
• クーロン、チャールズ オーギュスタン (1788) [1785]。 「電気と磁力のトロワジエム記憶」。王立科学アカデミーの歴史。インプリメリー・ロワイヤル。612–638ページ 。
• グリフィス、デイビッド・J. (1999). 『電気力学入門（第3版）』 プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-805326-0。
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外部リンク

• PHYSNETプロジェクトにおけるクーロンの法則
• 電気と原子 アーカイブ 2009-02-21 at the Wayback Machine —オンライン教科書の一章
• クーロンの法則を教えるための迷路ゲーム - Molecular Workbenchソフトウェアによって作成されたゲーム
• 電荷、分極、電気力、クーロンの法則。Walter Lewin著「電気と磁気」2002年春学期講義1（ビデオ）。MIT OpenCourseWare。ライセンス：Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike。

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