クーロンの法則

Fundamental physical law of electromagnetism

2点電荷q ₁とq ₂間の静電力 Fの大きさは、電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例します。同種の電荷は互いに反発し、異種の電荷は互いに引き合います

クーロンの逆二乗則、あるいは単にクーロンの法則は、静止している2つの電荷を帯びた粒子間の力の大きさを計算する物理学の実験法則^{[1]です。この電気力は、慣習的に}静電気力またはクーロン力と呼ばれています。^[2]この法則は以前から知られていましたが、1785年にフランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンによって初めて発表されました。クーロンの法則は電磁気学の理論の発展に不可欠であり、粒子の電荷量に関する有意義な議論を可能にしたため、その出発点とも言えるかもしれません。 ^{[1] [3]}

この法則は、2つの点電荷間の静電引力または斥力の大きさ、つまり絶対値は、それらの電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例すると述べています。^[4] 2つの電荷は、それらのサイズがそれらの間の距離に比べて小さい場合、点電荷として近似できます。^[5]クーロンは、同じ電荷を持つ物体は反発することを発見しました。

したがって、これらの3つのテストから、同じ種類の電気で帯電した2つのボールが互いに及ぼす斥力は、距離の2乗に反比例することがわかります。^[6]

クーロンはまた、反対の電荷を持つ物体は反二乗の法則に従って引き合うことを示しました。 $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

ここで、k _eは定数、q ₁とq ₂はそれぞれの電荷の量、スカラーrは電荷間の距離です

力は2つの電荷を結ぶ直線に沿って作用します。電荷の符号が同じ場合、それらの間の静電気力によって反発し、異なる符号の場合、それらの間の力によって引き合います

この法則は逆二乗の法則であり、アイザック・ニュートンの万有引力の逆二乗の法則に似ていますが、重力は常に物体を引き付けますが、静電気力は電荷を引き付けたり反発させたりします。また、重力は静電気力よりもはるかに弱いです。^{[2]クーロンの法則は}ガウスの法則を導くために使用でき、その逆も同様です。静止している単一の点電荷の場合、2つの法則は同等であり、同じ物理法則を異なる方法で表現しています。^{[7]この法則は}広範囲に検証されており、観測によって10 ^-16 mから10 ⁸ mまでのスケールでこの法則が支持されています。 ^[7]

歴史

シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロン

地中海周辺の古代文化では、琥珀の棒などの特定の物体を猫の毛皮でこすると、羽や紙片などの軽い物体を引き寄せることができることが知られていました。ミレトスのタレスは紀元前600年頃に静電気についての最初の記録を残しました^[8]。彼は摩擦によって琥珀が小さな物体を引き寄せることに気づいたのです^{[9] [10]}

1600年、イギリスの科学者ウィリアム・ギルバートは電気と磁気を綿密に研究し、磁石効果と琥珀を擦ることで生じる静電気を区別しました。^[9]彼は、擦った後に小さな物体を引き寄せる性質を指すために、新ラテン語のelectricus（「琥珀の」または「琥珀のような」という意味で、ギリシャ語の「琥珀」を意味するἤλεκτρον [ elektron ] に由来）を造語しました。 ^[11]この関連性から英語の「electric」と「electricity」という単語が生まれ、 1646年のトーマス・ブラウンの『Pseudodoxia Epidemica』で初めて印刷物に登場しました。^[12]

18世紀初期の研究者の中には、重力と同様に電気力も距離とともに減少する（つまり、距離の2乗に反比例する）のではないかと疑った人物がいます。ダニエル・ベルヌーイ^[13]とアレッサンドロ・ボルタはコンデンサーの極板間の力を測定しました。また、1758年に反2乗の法則を仮定したフランツ・エピヌス^{[14]もいました}

イギリスのジョセフ・プリーストリーは、帯電球を用いた実験に基づいて、電気力はニュートンの万有引力の法則に似た反比例の法則に従うと最初に提唱した人物の一人です。しかし、彼はこれを一般化したり、詳細に説明したりしませんでした。^[15] 1767年、彼は電荷間の力は距離の反比例に比例すると推測しました。^{[16] [17]}

クーロンのねじり天秤

1769年、スコットランドの物理学者ジョン・ロビソンは、彼の測定によると、同じ符号の電荷を持つ2つの球間の反発力はx ^-2.06に比例して変化すると発表しました。^[18]

1770年代初頭、イギリスのヘンリー・キャベンディッシュは、荷電物体間の力が距離と電荷の両方に依存することをすでに発見していましたが、公表していませんでした。 ^[19]キャベンディッシュはメモの中で、「したがって、電気的な引力と反発力は、2 + ⁠1/50⁠番目と2 − ⁠1/50⁠番目との間の距離の何乗に反比例するはずであり、それが逆複製比と全く異なると考えるべき理由はない」と書いています

1785年、フランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは、電気と磁気に関する最初の3つの報告書を発表し、そこで彼の法則を提唱しました。この出版物は電磁気学の理論の発展に不可欠でした。^[4]彼はねじり天秤を用いて荷電粒子の反発力と引力を研究し、2つの点電荷間の電気力の大きさは電荷の積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例すること を決定しました

ねじり天秤は、細い繊維で中央から吊り下げられた棒で構成されています。繊維は非常に弱いねじりバネとして機能します。クーロンの実験では、ねじり天秤は絶縁棒で、一端に金属コーティングされた球が絹糸で吊り下げられていました。球には既知の静電気の電荷が帯電し、同じ極性の2つ目の帯電球がその近くに運ばれました。2つの帯電球は互いに反発し、繊維を特定の角度ねじりました。この角度は計器の目盛りから読み取ることができました。繊維を特定の角度ねじるのにどれだけの力が必要かを知ることで、クーロンは球間の力を計算し、反比例の法則を導き出すことができました。

数学的形式

図では、ベクトルF _1はq ₁が受ける力、ベクトルF _2はq ₂が受ける力です。q 1 q 2 > 0 の場合、力_は斥力（図のように）となり、q ₁ q ₂ < 0の場合_、力は引力（図とは反対）となります。力の大きさは常に等しくなります。

クーロンの法則によれば、真空中の位置 にある電荷が、位置 にある別の電荷の近傍で受ける静電力は^[20]に等しいとされています。 ${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

ここで、 は電荷間の変位ベクトル、は から を指す単位ベクトル、は電気定数です。ここでは、はベクトル表記に使用されます。ニュートンの第三法則によれば、が受ける静電力はです ${\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\textstyle q_{2}}$ ${\textstyle q_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

両方の電荷が同じ符号（同電荷）を持つ場合、積は 正となり、力の方向は で与えられます。つまり、電荷は互いに反発します。電荷が異符号の場合、積は負となり、力の方向はで与えられます。つまり、電荷は互いに引き合います。^[21] ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

離散電荷系

重ね合わせの法則により、クーロンの法則は任意の数の点電荷を含むように拡張できます。点電荷系によって点電荷に作用する力は、各電荷によってその点電荷に単独で作用する個々の力のベクトル加算に過ぎません。結果として得られる力のベクトルは、その点電荷を除去した状態で、その点における電場ベクトルと平行になります。

真空中の離散電荷系によって、位置 にある小さな電荷に作用する力は^{[20]です。} ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle n}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}$$

ここで、 はi番目の電荷の大きさ、はその位置から へのベクトル、は の方向の単位ベクトルです。 ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

連続電荷分布

この場合、線形重ね合わせの原理も使用されます。連続電荷分布の場合、電荷を含む領域での積分は、空間の各微小要素を点電荷として扱う無限和に相当します。電荷の分布は通常、線形、面状、または体積状です ${\displaystyle dq}$

線形電荷分布（電線内の電荷の良い近似）において、 は位置 における単位長さあたりの電荷を与え、 は長さの微小要素です。^[22] ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle d\ell '}$ $${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

表面電荷分布（平行板コンデンサの板上の電荷の良い近似）の場合、 は位置 における単位面積あたりの電荷を与え、は面積の微小要素です。 ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dA'}$ $${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

体積電荷分布（バルク金属内の電荷など）において、 は位置 における単位体積あたりの電荷を与え、 は体積の微小要素です。^[21] ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dV'}$ $${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

真空中の位置 における小さな試験電荷にかかる力は、電荷分布の積分で与えられます ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

クーロンの法則の「連続電荷」バージョンは、その位置が荷電粒子（例えば電子や陽子）の位置と直接重なるため、電場や電位を古典的に解析するには有効な位置ではない場所には決して適用されないはずです。電荷は現実には常に離散的であり、「連続電荷」の仮定は単なる近似であり、解析を 可能にするものではありません ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

クーロン定数

クーロンの法則における比例定数は、単位の歴史的な選択の結果である。^{[20] : 4–2} ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

定数は真空の誘電率です。^[23] CODATA 2022の推奨値^[24]を用いると、クーロン定数^[25]は ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} }$$

制限事項

クーロンの逆二乗則の妥当性には、3つの条件を満たす必要があります。^[26]

1. 電荷は球対称の分布を持たなければならない（例：点電荷、または帯電した金属球）。
2. 電荷は重なり合ってはならない（例：異なる点電荷）。
3. 電荷は非加速座標系に対して静止していなければならない

これらの最後のものは静電近似として知られています。動きが起こると、追加の要因が導入され、2つの物体に生じる力を変化させます。この力の追加の部分は磁力と呼ばれます。ゆっくりとした動きの場合、磁力は最小限であり、クーロンの法則は依然として近似的に正しいと見なすことができます。しかし、この場合、より正確な近似はウェーバー力です。電荷が互いに対してより速く移動している場合、または加速が発生する場合は、マクスウェル方程式とアインシュタインの相対性理論を考慮する必要があります。

電場

2つの電荷が同じ符号を持つ場合、それらの間の静電力は反発力です。異なる符号を持つ場合、それらの間の力は引力です

電場とは、単位電荷が受けるクーロン力を空間内の各点に関連付けるベクトル場です。^[20]電荷に対するクーロン力の強さと方向は、その電荷が存在する他の電荷によって確立される電場に依存します。最も単純なケースでは、電場は単一の点電荷源によってのみ生成されると考えられます。より一般的には、重ね合わせの原理によって、電場は全体に寄与する電荷の分布によって生成されます。 ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\textstyle q_{t}}$ ${\textstyle \mathbf {E} }$ ${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

電場が正の点電荷源によって生成される場合、電場の方向はそこから放射状に外側に向かう線、つまり、正の試験用点電荷がその電場内に置かれた場合に移動する方向を指します。負の点電荷源の場合、方向は放射状に内側になります。 ${\textstyle q}$ ${\textstyle q_{t}}$

電場Eの大きさはクーロンの法則から導くことができます。点電荷の1つを電源、もう1つを試験用電荷と選択すると、クーロンの法則から、真空中で特定の距離rにある単一の点電荷源Qによって生成される電場 Eの大きさは次のように表されます。 $${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|q|}{r^{2}}}}$$

n個の離散電荷が配置された系は、重ね合わせによって大きさと方向が ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

原子間力

クーロンの法則は原子内でも成立し、正に帯電した原子核と負に帯電した電子間の力を正しく記述します。この単純な法則は、原子を結合させて分子を形成する力と、原子と分子を結合させて固体や液体を形成する力も正しく説明しています。一般的に、イオン間の距離が増加すると、引力と結合エネルギーはゼロに近づき、イオン結合は不利になります。反対の電荷の大きさが増加すると、エネルギーが増加し、イオン結合はより有利になります。

ガウスの法則との関係

クーロンの法則からガウスの法則を導出する

^[要出典]厳密に言えば、クーロンの法則は個々の静電 点電荷による電場のみを与えるため、ガウスの法則はクーロンの法則のみから導くことはできません。しかし、電場が重ね合わせの原理に従うと仮定すれば、クーロンの法則からガウスの法則を証明できます。重ね合わせの原理は、結果として生じる電場は各粒子によって生成される電場のベクトル和（または、電荷が空間的に滑らかに分布している場合は積分）であると述べています

証明の概要

クーロンの法則は、静止した点電荷による電場は次のように表されると述べています。ここで $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$

• ε _rは動径単位ベクトルです。
• rは半径、| r |です。
• ε ₀は電気定数です。
• qは粒子の電荷で、原点にあると仮定されます。

クーロンの法則の式を用いて、空間内の他の各点sにおける微小電荷によるrにおける電場を積分して合計することで、 rにおける全電場が得られます。 ここでρは電荷密度です。この式の両辺のrに関する発散を取り、既知の定理^{[27]を用いると、} $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ここで、 δ (r)はディラックのデルタ関数です。結果は $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

ディラックのデルタ関数の「ふるい分け特性」を用いると、 これはガウスの法則の微分形であり、目的のとおりです $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

クーロンの法則は静止電荷にのみ適用されるため、この導出のみに基づいてガウスの法則が移動電荷に対して成立すると期待する理由は

証明（ディラックのデルタなし）

を有界開集合とし、を 連続関数（電荷密度）を持つ電場とします。 ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}d^{3}r'\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )d^{3}r'}$$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$

すべてにおいて真です。 ${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

ここで、となる区分的に滑らかな境界を持つコンパクト集合を考えます。したがって、発散定理に対して、 ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

しかし、 ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ 上記の議論に対して（そして、） ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

したがって、（表面）の外側にある電荷密度によって生成される閉面を通る磁束はゼロです。

ここで、を中心とし、を半径とする 球体（が開集合であるために存在する） として考えます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$

をそれぞれ球体の内側と外側に生成される電場とします。すると、 ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$、 そして ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

最後の等式は、と上記の議論を観察することで導き出されます。 ${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$

右辺は帯電球によって発生する電束であり、したがって：

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$と ${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

ここで、最後の等式は積分の平均値定理に従う。スクイーズ定理と連続性を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

ガウスの法則からクーロンの法則を導く

厳密に言えば、クーロンの法則はガウスの法則だけでは導出できません。ガウスの法則はEの回転に関する情報を何も与えないからです（ヘルムホルツ分解とファラデーの法則を参照）。しかし、点電荷からの電場が球対称であると仮定すれば、ガウスの法則からクーロンの法則を証明できます（この仮定は、クーロンの法則自体と同様に、電荷が静止している場合は正確に真であり、電荷が運動している場合は近似的に真です）。

証明の概要

ガウスの法則の積分形におけるSを、点電荷Qを中心とする半径rの球面とすると、次のようになります $${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

球対称性の仮定により、積分関数は定数となり、積分から取り除くことができます。結果は次のようになります。ここで、 r̂は電荷から放射状に離れる単位ベクトルです。再び球対称性により、 Eは放射状方向を指すため、次の式が得られます。これは本質的にクーロンの法則と等価です。したがって、クーロンの法則における電場の逆二乗則依存性は、ガウスの法則から導かれます。 $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

相対論において

クーロンの法則は、移動する電荷によって生成される磁場の形状を理解するために使用できます。これは、特殊相対性理論により、特定のケースでは磁場が電場によって引き起こされる力の変換であることを示すことができるためです。粒子の履歴に加速が伴わない場合、上に示したマクスウェル方程式を解く際の対称性の議論によってサポートされ、独自の慣性系にある任意のテスト粒子にクーロンの法則が成り立つと想定できます。クーロンの法則は、同じ形状になるように移動するテスト粒子に拡張できます。この仮定は、クーロンの法則とは異なり、静止したテスト電荷に限定されないローレンツ力の法則によってサポートされています。電荷は観測者に対して不変であると見なすと、均一に移動する点電荷の電場と磁場は、クーロンの法則によって与えられた電荷の参照フレームにあるテスト電荷に対する4 元力のローレンツ変換によって導出でき、磁場と磁場はローレンツ力^{[壊れたアンカー]}の形式で与えられた定義に帰属します。^[28]均一に運動する点電荷に対して求められる場は次のように表される: ^[29]ここで、 は点源の電荷、は点源から空間内の点までの位置ベクトル、は荷電粒子の速度ベクトル、は荷電粒子の速度を光速で割った比、はとの間の角度である。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

この形式の解は、特殊相対論の枠組みの場合のようにニュートンの第三法則に従う必要はありません（ただし、相対論的エネルギー運動量保存則は破れません）。^[30]電場の表現は点電荷の非相対論的速度に対するクーロンの法則に簡約され、非相対論的極限における磁場（ に近似）は電流に適用してビオ・サバールの法則を得ることができることに注意してください。これらの解は、遅延時間で表すと、特定の適用範囲内でのクーロンの法則の妥当性により、リエナール・ヴィーヒャー・ポテンシャルの解によって与えられるマクスウェル方程式の一般解にも対応します。また、問題における速度方向の指定によって対称性が破れるため、静止電荷に対するガウスの法則の球対称性は、運動電荷に対しては有効ではないことにも注意してください。上記の2つの方程式については、マクスウェル方程式との一致を手動で検証することもできます。^[31] ${\displaystyle \beta \ll 1}$

クーロンポテンシャル

量子場の理論

2つのフェルミオン間のQED相互作用に関する最も基本的なファインマン図

クーロンポテンシャルは、電子-陽子散乱を記述する連続状態（E > 0）と、水素原子を表す離散束縛状態を許容します。^{[32]また、2つの荷電粒子間の}非相対論的極限内では、次のように導出できます。

非相対論的量子力学におけるボルン近似では、散乱振幅は次のようになります。これは次の式と比較されます。ここで、2つの電子が互いに散乱する場合の（接続された）S行列要素を見て、一方を「固定」された運動量でポテンシャルの源として扱い、もう一方はそのポテンシャルで散乱するものとします。 ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

ファインマン則を用いてS行列要素を計算すると、非相対論的極限で次の式が得られます ${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$ $${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

量子力学散乱と比較すると、QMと比較してQFTにおける運動量固有状態の正規化が異なるために生じる を捨てて、次式を得る必要があります。ここで、両辺をフーリエ変換し、積分を解き、最後に を取ると、クーロンポテンシャルが得られます。^[33] ${\displaystyle (2m)^{2}}$ $${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ $${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

しかし、クーロン問題に対する古典的なボルンの導出と同等の結果は、厳密に偶然の産物であると考えられています。^{[34] [35]}

クーロンポテンシャルとその導出は、交換されたボソン（光子）が静止質量を持たない場合である湯川ポテンシャルの特殊なケースと見なすことができます。 ^[32]

検証

クーロンの法則を検証するための実験

簡単な実験でクーロンの法則を検証することができます。質量と同符号の電荷を持つ2つの小さな球が、長さ の無視できる質量の2本のロープからぶら下がっていることを考えてみましょう。各球に作用する力は、重さ、ロープの張力、電気力 の3つです。平衡状態では、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle mg}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} \sin \theta _{1}=\mathbf {F} _{1}}$$

1

と

$${\displaystyle \mathbf {T} \cos \theta _{1}=mg}$$

2

( 1 ) を ( 2 ) で割ると、

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}}$$

3

を帯電球間の距離とします。クーロンの法則が正しいと仮定すると、それらの間の反発力 は ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

$${\displaystyle F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}}$$

クーロンの法則

に等しいので、

$${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}}$$

4

球の1つを放電し、帯電した球と接触させると、それぞれの球は電荷を獲得します。平衡状態では、電荷間の距離は、電荷間の反発力は、それぞれ次のようになります。 ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$ ${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

$${\displaystyle F_{2}={\frac {{({\frac {q}{2}})}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}}$$

5

とが分かっています。 ( 4 )を( 5 )で割ると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$ $${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Rightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}}$$

6

角度と、電荷間の距離を測定することで、実験誤差を考慮して等式が成り立つことを検証できます。実際には角度の測定が難しい場合があるため、ロープの長さが十分に大きい場合、角度は次の近似値を得るのに十分小さくなります。 ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{\ell }}={\frac {L}{2\ell }}\Rightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}}$$

7

この近似値を用いると、関係式( 6 )ははるかに単純な式になります。

$${\displaystyle {\frac {\frac {L_{1}}{2\ell }}{\frac {L_{2}}{2\ell }}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Rightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}}$$

8

このように、検証は電荷間の距離の測定と、除算が理論値に近似することを確認することに限定されます。

参照

• エレクトロニクスポータル

• ビオ・サバールの法則
• ダーウィンのラグランジアン
• 電磁力
• ガウスの法則
• 鏡像電荷法
• 分子モデリング
• ニュートンの万有引力の法則。電荷ではなく質量について同様の構造を用いています
• 静的力と仮想粒子交換
• カシミール効果

参考文献

1. Huray, Paul G. (2010).マクスウェル方程式. ホーボーケン、ニュージャージー州: Wiley. pp. 8, 57. ISBN 978-0-470-54991-9. OCLC  739118459.
2. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (2013).物理学の基礎. John Wiley & Sons. pp. 609, 611. ISBN 9781118230718
3. Roller, Duane; Roller, DHD (1954).電荷概念の発展：ギリシアからクーロンまでの電気. ケンブリッジ、マサチューセッツ州:ハーバード大学出版局. p. 79
4. Coulomb (1785). "Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme" [電気と磁気に関する最初の論文]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences [王立科学アカデミーの歴史] (フランス語). pp.  569– 577.
5. スリニヴァサン、MV (2025).物理学 パート I.国立教育研究訓練評議会 (NCERT). p. 20. ISBN 978-81-7450-631-3
6. クーロン (1785). 「電気と磁気に関する第二の論文」.王立科学アカデミーの歴史(フランス語). pp.  578– 611.これらの三つの論文の結果、電気の性質を持つ二つの電気球が互いに反発する作用が、距離の方向の逆の理由となる。
7. パーセル, エドワード M. (2013年1月21日). 『電気と磁気』（第3版）. ケンブリッジ. ISBN 9781107014022{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Cork, CR (2015). 「電子テキスタイル用導電性繊維」. Electronic Textiles : 3– 20. doi :10.1016/B978-0-08-100201-8.00002-3. ISBN 9780081002018
9. Stewart, Joseph (2001).中級電磁気理論. World Scientific. p. 50. ISBN 978-981-02-4471-2
10. Simpson, Brian (2003).電気刺激と疼痛緩和. Elsevier Health Sciences. pp.  6– 7. ISBN 978-0-444-51258-1
11. ブライアン・ベイグリー（2007年）『電気と磁気：歴史的視点』グリーンウッド・プレス、 7～ 8ページ。ISBN    978-0-313-33358-3
12. チャーマーズ、ゴードン (1937). 「17世紀イングランドにおける磁石と物質の理解」.科学哲学. 4 (1): 75– 95. doi :10.1086/286445. S2CID  121067746.
13. ソーシン、アベル (1760). Acta Helvetica Physico-Mathematico-Anatomico-Botanico-Medica (ラテン語). 第4巻. Basileae. pp.  224– 225
14. ハイルブロン、JL (1979). 『17世紀および18世紀の電気：初期近代物理学の研究』ロサンゼルス、カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局。460～462ページおよび464ページ（脚注44を含む）。ISBN  978-0486406886
15. スコフィールド、ロバート E. (1997).ジョセフ・プリーストリーの啓蒙：1733年から1773年までの生涯と業績の研究. ユニバーシティパーク：ペンシルベニア州立大学出版局. pp.  144–56 . ISBN 978-0-271-01662-7{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
16. プリーストリー、ジョセフ (1767). 『電気の歴史と現状、最初の実験付き』ロンドン、イギリス。732ページ
17. エリオット、ロバート・S. (1999). 電磁気学：歴史、理論、そして応用. Wiley. ISBN 978-0-7803-5384-8. 2014年3月10日にオリジナルからアーカイブ。 2009年10月17日閲覧。
18. ロビソン、ジョン (1822). マレー、ジョン (編). 機械哲学体系. 第4巻. ロンドン、イギリス: J. マレー印刷
19. マクスウェル、ジェームズ・クラーク編 (1967) [1879]. 「電気に関する実験：電気力の法則の実験的決定」. ヘンリー・キャベンディッシュ卿の電気研究 (第1版). ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. pp.  104– 113.
20. ・P・ファインマン (1970). ファインマン物理学講義 第2巻. アディソン・ウェスレー. ISBN 9780201021158
21. Fitzpatrick, Richard (2006-02-02). 「クーロンの法則」. テキサス大学. 2015-07-09にオリジナルからアーカイブ。2007-11-30に閲覧。
22. 「荷電棒」. PhysicsLab.org . 2014-10-10にオリジナルからアーカイブ。2007-11-06に閲覧。
23. 国際単位系(PDF)、V3.01 (第9版)、国際度量衡局、2024年8月、15ページ、ISBN 978-92-822-2272-0
24. 「2022 CODATA値：真空誘電率」。NIST定数、単位、不確かさに関するリファレンス。NIST 。 2024年6月24日にオリジナルからアーカイブ。 2024年10月27日閲覧。
25. Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Jr. (2014). 「いくつかの物理定数」。科学者とエンジニアのための物理学（第9版）。Cengage Learning。見返し。ISBN   978-1-133-95405-7{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
26. W. Shao、B. Jiang、JK Lv (2015). 「物理教育イノベーションに関する議論：クーロンの法則を例に」Dawei Zheng (編).教育マネジメントとマネジメントサイエンス. CRC Press. pp.  465– 468. doi :10.1201/b18636-105. ISBN 978-0-429-22704-2
27. 例えば、 Griffiths, David J. (2013). Introduction to Electrodynamics (4th ed.). Prentice Hall. p. 50.を参照。またはJackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). John Wiley & Sons. p. 35
28. Rosser, WGV (1968). 相対論による古典電磁気学。pp.  29– 42. doi :10.1007/978-1-4899-6559-2. ISBN 978-1-4899-6258-4 2022年10月9日にオリジナルからアーカイブ。 2022年10月9日閲覧。
29. Heaviside, Oliver (1894). 電磁波、電位の伝播、および移動する電荷の電磁気的効果。2022年10月9日にオリジナルからアーカイブ。2022年10月9日閲覧
30. グリフィス、デイビッド・J. (1999).電気力学入門（第3版）. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール. p. 517. ISBN 0-13-805326-X OCLC  40251748
31. パーセル、エドワード (2011年9月22日). 電気と磁気. ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9781139005043. ISBN 978-1-107-01360-52023年12月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年10月9日閲覧
32. グリフィス、デイビッド・J. (2018年8月16日).量子力学入門（第3版）. ケンブリッジ、イギリス. ISBN  978-1-107-18963-8{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
33. 「場の量子理論 I + II」（PDF） .ハイデルベルク大学理論物理学研究所. 2021年5月4日時点のオリジナルからアーカイブ（PDF） . 2020年9月24日閲覧.
34. Baym, Gordon (2018). Lectures on quantum mechanics . Boca Raton. ISBN   978-0-429-49926-5 . OCLC  1028553174.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
35. Gould , Robert J. (2020年7月21日). Electromagnetic processes . Princeton, NJ ISBN 978-0-691-21584-6 OCLC  1176566442{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Spavieri, G., Gillies, GT, & Rodriguez, M. (2004). クーロンの法則の物理的意味合い. Metrologia, 41(5), S159–S170. doi:10.1088/0026-1394/41/5/s06 

関連文献

• クーロン, Charles Augustin (1788) [1785]. "Premier mémoire sur l'électricité et le magnetétisme". Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. pp.  569– 577
• クーロン、シャルル・オーギュスタン (1788) [1785]. 『電気と磁気に関する第二の覚書』.王立科学アカデミーの歴史. 王立印刷. pp.  578– 611.
• クーロン、シャルル・オーギュスタン (1788) [1785]. 『電気と磁気に関する三番目の覚書』.王立科学アカデミーの歴史. 王立印刷. pp.  612– 638.
• グリフィス、デイビッド・J. (1999). 『電気力学入門（第3版）』. プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-805326-0
• タム、イゴール・E. (1979) [1976]. 電気理論の基礎（第9版）. モスクワ：ミール. pp. 23–27.
• ティプラー、ポール・A.；モスカ、ジーン (2008).科学者と技術者のための物理学（第6版）. ニューヨーク：WHフリーマン・アンド・カンパニー. ISBN 978-0-7167-8964-2 LCCN  2007010418.
• ヤング、ヒュー・D.；フリードマン、ロジャー・A. (2010).シアーズとゼマンスキーの大学物理学：現代物理学と共に（第13版）. アディソン・ウェスリー（ピアソン）. ISBN 978-0-321-69686-1

外部リンク

• Project PHYSNETのクーロンの法則
• 電気と原子　Wayback Machineに2009年2月21日にアーカイブ— オンライン教科書の章
• クーロンの法則を教えるための迷路ゲーム — Molecular Workbenchソフトウェアによって作成されたゲーム
• 電荷、分極、電気力、クーロンの法則 Walter Lewin, 8.02 電気と磁気、2002年春：講義1（ビデオ）。MIT OpenCourseWare。ライセンス：クリエイティブ・コモンズ 表示-非営利-継承。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Coulomb%27s_law&oldid=1322004542"