結晶点群

結晶の分類システム

結晶学において、結晶点群は対称操作が三次元結晶格子と互換性のある三次元点群である。結晶学的制約によれば、結晶点群には 1、2、3、4、および 6 回転または回転反転のみを含めることができる。これにより、結晶点群の数は 32 に削減される（一般点群は無限にある）。これらの 32 群は、1830 年にヨハン・フリードリヒ・クリスチャン・ヘッセルが観察された結晶形を考慮して導出した 32 種類の形態学的（外部）結晶対称性と同じである。1867 年、ヘッセルの先行研究を知らなかったアクセル・ガドリンは、立体射影を用いて32 群の対称要素を表す結晶点群を独立に発見した。^{[1] : 379}

結晶の分類において、各空間群には、対称操作の並進成分を「忘れる」ことによって、すなわち、螺旋回転を回転に、すべり反射を反射に、そしてすべての対称要素を原点に移動することによって、結晶点群が関連付けられます。各結晶点群は、結晶の（幾何学的）結晶類を定義します。

結晶の点群は、とりわけ、複屈折などの光学特性やポッケルス効果などの電気光学特性など、結晶の構造から生じる物理的特性の方向変化を決定します。

表記

点群は、その構成要素の対称性に応じて命名されます。結晶学者、鉱物学者、物理学者によって使用される標準的な表記法がいくつかあります。

以下の2つの系の対応については結晶系を参照。

シェーンフライ記法

シェーンフライ記法では、点群は下付き文字の付いた文字記号で表されます。結晶学で使用される記号は以下の意味を持ちます。

• C _n（巡回）は、グループがn回の回転軸を持つことを示します。C _nhは、C n_に回転軸に垂直な鏡面（反射面）を追加したものです。C _nvは、C n_に回転軸に平行な n 個の鏡面を追加したものです。
• S _2n (シュピーゲル、ドイツ語で鏡)は、 2n回転反射軸のみを持つグループを表します。
• D _n（二面体、つまり両面）は、グループがn回転軸と、その軸に垂直なn本の 2 面体軸を持つことを示します。D _nhには、さらにn回転軸に垂直な鏡面があります。D _ndには、 D n_の要素に加えて、 n回転軸に平行な鏡面があります。
• T（正四面体）は、その群が正四面体の対称性を持つことを示します。T d_は不適正な回転操作を含み、T は不適正な回転操作を含まず、T _hはTに反転を加えたものです。
• 文字O (八面体) は、グループが八面体の対称性を持ち、不正な演算 (利き手を変える演算)を伴う ( O _h ) か伴わない ( O ) かを示します。

結晶学的制限定理により、 2次元または3次元空間ではn = 1、2、3、4、または6となります。

n	1	2	3	4	6
C n	C 1	C 2	C 3	C4​	C6​
C nv	C 1v = C 1h	C 2v	C 3v	C 4v	C 6V
C nh	C 1時間	C 2時間	C 3時間	C 4時間	C 6時間
D n	D 1 = C 2	D2​	D3​	D4​	D6​
D nh	D 1h = C 2v	D 2時間	D 3時間	D 4時間	D 6時間
D nd	D 1d = C 2h	D 2d	D 3d	D 4d	D 6d
S 2n	S2​	S4​	S 6	S 8	S 12

D _4dとD _{6d は}、それぞれ n=8 と 12 の不適正回転を含むため、実際には禁制点群です。表中の 27 個の点群にT、T _d、T _h、O、O _hを加えると、32 個の結晶点群となります。

ヘルマン・モーガン記法

空間群で一般的に用いられるヘルマン・モーガン記法の短縮形は、結晶学的点群の記述にも用いられる。群名は

クリスタルファミリー	結晶系	グループ名
キュービック		23	メートル3		432	4 3m	メートル3メートル
六角	六角	6	6	6 ⁄メートル	622	6mm	6平方メートル	6/mmm
	三角	3	3		32	3メートル	3メートル
正方晶		4	4	4 ⁄メートル	422	4mm	4 2m	4/mmm
斜方晶系					222		mm2	うーん
単斜晶系		2		2 ⁄メートル		メートル
三斜晶系		1	1

異なる表記法間の対応

クリスタルファミリー	結晶系	ヘルマン・モーガン		シュブニコフ[2]	シェーンフライ	オービフォールド	コクセター	注文
		（満杯）	（短い）
三斜晶系		1	1	${\displaystyle 1\ }$	C 1	11	[ ] +	1
		1	1	${\displaystyle {\tilde {2}}}$	C i = S 2	×	[2 + ,2 + ]	2
単斜晶系		2	2	${\displaystyle 2\ }$	C 2	22	[2] +	2
		メートル	メートル	${\displaystyle m\ }$	C s = C 1h	*	[ ]	2
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	2/m	${\displaystyle 2:m\ }$	C 2時間	2*	[2,2 + ]	4
斜方晶系		222	222	${\displaystyle 2:2\ }$	D 2 = V	222	[2,2] +	4
		mm2	mm2	${\displaystyle 2\cdot m\ }$	C 2v	*22	[2]	4
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	うーん	${\displaystyle m\cdot 2:m\ }$	D 2h = V h	*222	[2,2]	8
正方晶		4	4	${\displaystyle 4\ }$	C4​	44	[4] +	4
		4	4	${\displaystyle {\tilde {4}}}$	S4​	2×	[2 +、4 + ]	4
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$	4/m	${\displaystyle 4:m\ }$	C 4時間	4*	[2,4 + ]	8
		422	422	${\displaystyle 4:2\ }$	D4​	422	[4,2] +	8
		4mm	4mm	${\displaystyle 4\cdot m\ }$	C 4v	*44	[4]	8
		4 2m	4 2m	${\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}$	D 2d = V d	2*2	[2 + ,4]	8
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	4/mmm	${\displaystyle m\cdot 4:m\ }$	D 4時間	*422	[4,2]	16
六角	三角	3	3	${\displaystyle 3\ }$	C 3	33	[3] +	3
		3	3	${\displaystyle {\tilde {6}}}$	C 3i = S 6	3×	[2 + ,6 + ]	6
		32	32	${\displaystyle 3:2\ }$	D3​	322	[3,2] +	6
		3メートル	3メートル	${\displaystyle 3\cdot m\ }$	C 3v	*33	[3]	6
		3 ${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	3メートル	${\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}$	D 3d	2*3	[2 + ,6]	12
	六角	6	6	${\displaystyle 6\ }$	C6​	66	[6] +	6
		6	6	${\displaystyle 3:m\ }$	C 3時間	3*	[2,3 + ]	6
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$	6/月	${\displaystyle 6:m\ }$	C 6時間	6*	[2,6 + ]	12
		622	622	${\displaystyle 6:2\ }$	D6​	622	[6,2] +	12
		6mm	6mm	${\displaystyle 6\cdot m\ }$	C 6V	*66	[6]	12
		6平方メートル	6平方メートル	${\displaystyle m\cdot 3:m\ }$	D 3時間	*322	[3,2]	12
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	6/mmm	${\displaystyle m\cdot 6:m\ }$	D 6時間	*622	[6,2]	24
キュービック		23	23	${\displaystyle 3/2\ }$	T	332	[3,3] +	12
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$3	メートル3	${\displaystyle {\tilde {6}}/2}$	T h	3*2	[3 + ,4]	24
		432	432	${\displaystyle 3/4\ }$	お	432	[4,3] +	24
		4 3m	4 3m	${\displaystyle 3/{\tilde {4}}}$	T d	*332	[3,3]	24
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$3 ${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	メートル3メートル	${\displaystyle {\tilde {6}}/4}$	おお​	*432	[4,3]	48

同型性

多くの結晶学的点群は同一の内部構造を共有している。例えば、点群1、 2 、 m はそれぞれ異なる幾何学的対称操作（反転、回転、鏡映）を含むが、巡回群C _{2の構造は共通している。}同型群はすべて同じ位数であるが、同じ位数であっても必ずしも同型であるわけではない。同型である点群を次の表に示す。^[3]

ヘルマン・モーガン	シェーンフライ	注文	抽象グループ
1	C 1	1	C 1	${\displaystyle G_{1}^{1}}$
1	C i = S 2	2	C 2	${\displaystyle G_{2}^{1}}$
2	C 2	2
メートル	C s = C 1h	2
3	C 3	3	C 3	${\displaystyle G_{3}^{1}}$
4	C4​	4	C4​	${\displaystyle G_{4}^{1}}$
4	S4​	4
2/m	C 2時間	4	D 2 = C 2 × C 2	${\displaystyle G_{4}^{2}}$
222	D 2 = V	4
mm2	C 2v	4
3	C 3i = S 6	6	C6​	${\displaystyle G_{6}^{1}}$
6	C6​	6
6	C 3時間	6
32	D3​	6	D3​	${\displaystyle G_{6}^{2}}$
3メートル	C 3v	6
うーん	D 2h = V h	8	D 2 × C 2	${\displaystyle G_{8}^{3}}$
4/m	C 4時間	8	C 4 × C 2	${\displaystyle G_{8}^{2}}$
422	D4​	8	D4​	${\displaystyle G_{8}^{4}}$
4mm	C 4v	8
4 2m	D 2d = V d	8
6/月	C 6時間	12	C 6 × C 2	${\displaystyle G_{12}^{2}}$
23	T	12	A4​	${\displaystyle G_{12}^{5}}$
3メートル	D 3d	12	D6​	${\displaystyle G_{12}^{3}}$
622	D6​	12
6mm	C 6V	12
6平方メートル	D 3時間	12
4/mmm	D 4時間	16	D 4 × C 2	${\displaystyle G_{16}^{9}}$
6/mmm	D 6時間	24	D 6 × C 2	${\displaystyle G_{24}^{5}}$
メートル3	T h	24	A 4 × C 2	${\displaystyle G_{24}^{10}}$
432	お	24	S4​	${\displaystyle G_{24}^{7}}$
4 3m	T d	24
メートル3メートル	おお​	48	S 4 × C 2	${\displaystyle G_{48}^{7}}$

この表では、巡回群（C ₁、C ₂、C ₃、C ₄、C ₆）、二面体群（D ₂、D ₃、D ₄、D ₆）、交代群（A ₄）の1つ、および対称群（S ₄）の1つを使用しています。ここで、記号「 × 」は直積を表します。

空間群から結晶学的点群（結晶クラス）を導出する

1. ブラヴェ格子型は除外します。
2. 並進成分を持つすべての対称要素を、並進対称性を持たないそれぞれの対称要素に変換します。（スライド面は単純なミラー面に変換され、ねじ軸は単純な回転軸に変換されます。）
3. 回転軸、回転反転軸、および鏡面は変更されません。

参照

• 分子の対称性
• 点群
• 空間群
• 3次元の点群
• 結晶系
• X線以前の幾何学的結晶学

参考文献

1. オーティエ、アンドレ (2015). 「12. 空間格子概念の誕生と発展」. X線結晶構造解析の黎明期. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. doi :10.1093/acprof:oso/9780199659845.003.0012. ISBN 9780198754053. 2024年12月24日閲覧。
2. “(International Tables) A​​bstract”. 2013年7月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年11月25日閲覧。
3. Novak, I (1995-07-18). 「分子同型性」. European Journal of Physics . 16 (4). IOP Publishing: 151– 153. Bibcode :1995EJPh...16..151N. doi :10.1088/0143-0807/16/4/001. ISSN  0143-0807. S2CID  250887121.

外部リンク

• 国際結晶学表（2006年）における点群記号。A巻、第12.1章、818-820頁
• 国際結晶学表（2006年）に掲載されている32の結晶クラスの名称と記号。A巻、第10.1章、794ページ
• 32のグループの概要図
• Kostov, RI 2024. 32クラスの対称性の色彩表と結晶系における鉱物の統計。– Symmetry: Culture and Science (Symmetry Festival 2024. 2024年7月17日～20日、イタリア、ピサ。「傾く」対称性。会議議事録; 編集者: S. Brasili、J. Gielis)、単巻、91-94ページ。https://doi.org/10.26830/symmetryfestival2024_24

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