デデキント領域

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フリー百科事典『ウィキペディア』より

(デデキント環からリダイレクト)

一意の素因数分解を持つ代数

数学において、デデキント域（デデキントきょういき、英: Dedekind domain）またはデデキント環（デデキントかん、英: Dedekind ring）は、リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられた整域であり、その内部ではすべての非零の真イデアルが素イデアルの積に因数分解される。このような因数分解は、因数の位数を除いて必ず一意であることが示される。デデキント域には、定義として採用されることがある少なくとも3つの他の特徴付けが存在する。以下を参照のこと。

体とは、非自明な真イデアルが存在しない可換環であり、したがって任意の体はデデキント整域となるが、その意味は空虚である。一部の著者は、デデキント整域は体であってはならないという条件を付け加えている。多くの著者は、体の場合に自明な修正が必要となる可能性があるという暗黙の但し書きを付して、デデキント整域の定理を述べている。

この定義から直接導かれる結論は、すべての主イデアル領域（PID）はデデキント領域であるということです。実際、デデキント領域が一意因数分解領域（UFD）となるのは、それがPIDである場合と同値です。

デデキント領域の前史

[編集]

19世紀には、高次代数環を用いて多項式方程式の整数解を考察する手法が一般的になった。例えば、正の整数を固定する。どの整数が二次形式で表されるかを判断するには、この二次形式を に因数分解するのが自然である。因数分解は二次形式の整数環上で行われる。同様に、正の整数 の場合、多項式（フェルマー方程式を解く際に重要）は環 上で因数分解できる。ここで、はn乗の原始根である。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

およびのいくつかの小さな値に対して、これらの代数的整数環は PID であり、これはフェルマー( ) とオイラー( ) の古典的な成功の説明として見ることができます。この時までに、与えられた二次体のすべての代数的整数の環がPID であるかどうかを判断する手順は、二次形式理論家にはよく知られていました。特に、ガウスは虚二次体の場合を調べ、整数環が PID であるのちょうど9 個の値を見つけ、それ以上の値は存在しないと予想しました (ガウスの予想は 100 年以上後にカート・ヘーグナー、アラン・ベイカー、ハロルド・スタークによって証明されました)。ただし、これは二次形式の同値類の言語で (のみ) 理解されていたため、特に二次形式とフェルマー方程式の類似性は認識されていなかったようです。 1847 年、ガブリエル ラメはフェルマーの最終定理のすべての に対する解、すなわちフェルマー方程式は非零の整数には解を持たないという解を発表しましたが、この解は円分環が UFD であるという仮定に依存していることが判明しました。 エルンスト クンマーは3 年前に、 についてはこれが当てはまらないことを示していました(UFD となる値の完全で有限なリストは現在では知られています)。同時に、クンマーは、環がデデキント域であるという事実として現在認識されている事実を用いて、少なくとも素指数の大きなクラスについてはフェルマーの最終定理を証明する強力な新手法を開発しました。実際、クンマーはイデアルではなく「イデアル数」を扱っており、イデアルの現代的な定義はデデキントによって与えられました。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1,n=4}$ ${\displaystyle m=2,3,n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n=23}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

20世紀までに、代数学者と数論学者は、PIDであるための条件はかなり繊細であるのに対し、デデキント域であるための条件は非常に堅牢であることに気付くようになった。例えば、通常の整数の環はPIDであるが、上で見たように、数体における代数的整数の環はPIDである必要はない。実際、ガウスもの整数の環がPIDとなるような素数は無限に存在すると予想したが、がPIDとなるような（任意の次数の）数体が無限に存在するかどうかはまだ分かっていない。一方、数体における整数の環は常にデデキント域となる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

繊細さと堅牢性の二分法をもう一つ示す例として、デデキント環であることが、ネーター環の中で局所的な性質を持つという事実が挙げられます。ネーター環がデデキント環であるためには、局所化の任意の極大イデアルがデデキント環となることが必要です。しかし、局所環がデデキント環であるためには、PIDであるためには、離散値環(DVR) となることが必要です。したがって、PID には同様の局所的な特徴づけは当てはまりません。むしろ、デデキント環の概念はDVR の概念のグローバル化であると言えるでしょう。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

代替定義

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体ではない整域の場合、以下の条件はすべて同値である: ^{[ 1 ]} ${\displaystyle R}$

(DD1)すべての非ゼロの真イデアルは素因数分解される。

(DD2) はノイザンであり、各最大イデアルにおける局所化は離散評価環である。 ${\displaystyle R}$

(DD3)のすべての非ゼロ分数イデアルは逆である。 ${\displaystyle R}$

(DD4)は、 クルル次元が1である整閉ノイザン領域です（つまり、すべての非ゼロの素イデアルは最大です）。 ${\displaystyle R}$

(DD5)とにおける任意の2つのイデアルに対して、が に含まれる場合と、 がイデアルとして 割り切れる場合とが同値である。つまり、となるイデアルが存在する。この条件を満たす単位元を持つ可換環（必ずしも領域ではない）は、包含除算環（CDR）と呼ばれる。^{[ 2 ]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$

したがって、デデキント整域とは、体であるか、(DD1)から(DD5)のいずれか1つ、つまり5つすべてを満たす整域のことである。したがって、これらの条件のどれを定義として採用するかは、単に好みの問題である。実際には、(DD4)を検証するのが最も容易な場合が多い。

クルル域はデデキント域の高次元版です。つまり、体ではないデデキント域は1次元のクルル域です。この概念は、デデキント域の様々な特徴を研究するために用いられます。実際、これはブルバキの「可換代数」におけるデデキント域の定義です。

デデキント整域はホモロジー代数によっても特徴付けることができる。整域がデデキント整域となるための必要十分条件は、それが遺伝環であることである。つまり、その整域上の射影加群のすべての部分加群は射影的である。同様に、整域がデデキント整域となるための必要十分条件は、その整域上のすべての可分加群が単射的であることである。^{[ 3 ]}

デデキント領域の例

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すべての主イデアル領域、したがってすべての離散評価環はデデキント領域です。

数体Kの代数的整数環は、ノイザン的であり、整閉であり、次元が 1 である。最後の性質を見るには、Rの任意の非零素イデアルIに対して、R / Iが有限集合であることに注目し、有限整域は体であることを思い出すとよい。したがって、(DD4) により、Rはデデキント域となる。上述のように、これはクンマーとデデキントが考察したすべての例を含み、一般定義の根拠となった事例であり、現在でも最も研究されている例の一つである。 ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

デデキント環のもう一つのクラスは、おそらく同等の重要性を持つもので、幾何学に由来する。Cを体k上の非特異幾何学的に整なアフィン代数曲線とする。 すると、C上の正則関数の座標環k [ C ]はデデキント域となる。これは、幾何学用語を代数に翻訳するだけでほぼ明らかである。任意のアフィン多様体の座標環は、定義により有限生成k -代数、すなわちネーター環である。さらに、曲線は次元1を意味し、非特異性は（そして次元1においては）正規を意味し、これは定義により整閉 を意味する。

これら両方の構成は、次の基本的な結果の特殊なケースとして見ることができます。

定理：Rを分数体 Kを持つデデキント域とする。LをKの有限次体拡大とし、RのLにおける整閉包をSとする。するとS自身もデデキント域となる。^{[ 4 ]}

この定理を、R 自体が PID である場合に適用すると、PIDからデデキント域を構築する方法が得られます。R = Zとすると、この構成はまさに数体の整数環がデデキント域であることを示しています。R = k [ t ] とすると、アフィン直線の分岐被覆として、上記のような非特異アフィン曲線が得られます。

ザリスキとサミュエルはこの構成に大いに感銘を受け、すべてのデデキント領域がこれから生じるのかどうかを問うた。つまり、PIDから始めて有限次数体拡大における積分閉包をとることによって生じるのかどうかである。^{[ 5 ]} L.クラボーンは驚くほど単純な否定的答えを与えた。^{[ 6 ]}

状況は上記と同様だが、Kの拡大Lが無限次代数的である場合、LにおけるRの整閉包S がデデキント域になる可能性は依然としてありますが、保証はされません。たとえば、再びR = Z、K = Qとし、今度はL をすべての代数的数の体とします。すると、整閉包はすべての代数的整数の環になります。代数的整数の平方根も代数的整数であるため、ゼロでない非単位代数的整数を既約元の有限積に因数分解することはできず、これは がノイザンでさえないことを意味します。一般に、無限代数的拡大におけるデデキント域の整閉包はプリューファー域です。代数的整数の環はこれよりも少し特殊で、ベズー域であることがわかります。 ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

分数的イデアルと階級群

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R を分数体Kを持つ整域とする。分数イデアルとは、 Kの非零R部分加群Iであって、 Kに非零x が存在し、 ${\displaystyle xI\subset R.}$

二つの分数イデアルIとJが与えられ、それらの積IJ を有限和全体の集合として定義する。積IJもまた分数イデアルである。上記の積を与えられたすべての分数イデアルの集合 Frac( R ) は可換半群であり、実際はモノイドである。単位元は分数イデアルRである。 ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

任意の分数イデアルIに対して、分数イデアルを定義することができる。

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

すると、トートロジー的に が成立する。実際、 が等式となるのは、Frac( R )のモノイドの元であるI が可逆である場合に限る。言い換えれば、I に逆元が存在するならば、その逆元は でなければならない。 ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ ${\displaystyle I^{*}}$

主分数イデアルは、 K内の非零のxに対して の形をとるイデアルの一つです。各主分数イデアルは可逆であり、その逆は単に であることに留意してください。主分数イデアルの部分群をPrin( R ) と表記します。 ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

領域Rが PID となることと、すべての分数イデアルが主イデアルとなることは同値である。この場合、2つの主分数イデアルとが等しいことと、Rが単位元となることが同値であるため、 Frac( R ) = Prin( R ) = となる。 ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle yR}$ ${\displaystyle xy^{-1}}$

一般の領域Rに対して、すべての分数イデアルのモノイド Frac( R ) を主分数イデアルの部分モノイド Prin( R ) で割ることは意味がある。しかし、この商自体は一般にモノイドでしかない。実際、分数イデアル I の Frac( R )/Prin( R ) の類が可逆であることは、I 自体が可逆であることと同値であることは容易に分かる。

ここで、(DD3) を理解できる。デデキント領域（そしてデデキント領域においてのみ）において、すべての分数イデアルは可逆である。したがって、これらはまさに Frac( R )/Prin( R ) が群を形成する領域の類、すなわちRのイデアル類群Cl( R )である。この群はRが分数イデアルである場合に限り自明であるため、一般のデデキント領域が PID であることの障害を定量化したものと考えることができる。

任意の領域に対して、ピカール群Pic( R )を、主分数イデアルの部分群を法とする可逆分数イデアルInv( R )の群として定義することができる。デデキント領域の場合、これはもちろんイデアル類群と同じである。しかし、ネーター領域やクルル領域を含むより一般的な領域クラスでは、イデアル類群は異なる方法で構成され、標準準同型が存在する。

Pic( R ) → Cl( R )

しかし、これは一般には単射でも射影でもない。これは、特異代数多様体上のカルティエ因子とヴェイユ因子の区別のアフィン類似である。

L. Claborn の定理^{[ 7 ]}は、任意のアーベル群 Gに対して、そのイデアル類群がGと同型であるようなデデキント域Rが存在することを主張している。後に、CR Leedham-Green は、そのようなR が二次体拡大における PID の整閉包として構成できることを示した。^{[ 8 ]} 1976 年、M. Rosen は、任意の可算アーベル群を楕円曲線の有理関数 体の部分環であるデデキント域の類群として実現する方法を示し、そのような「楕円型」構成は一般アーベル群に対しても可能であると予想した。^{[ 9 ]} Rosen の予想は 2008 年に PL Clark によって証明された。^{[ 10 ]}

対照的に、代数的整数論における基本定理の一つは、数体の整数環の類群は有限であることを主張する。その濃度は類数と呼ばれる。

デデキント領域上の有限生成加群

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主イデアル領域 (PID) 上の有限生成モジュールに関するよく知られた非常に有用な構造定理を考慮すると、デデキント領域上の有限生成モジュールに関する対応する理論を求めるのは当然です。

PID 上の有限生成加群の場合の構造理論を簡単に振り返ってみましょう。捩れ部分加群を、 の非零な値に対して となるようなの元全体の集合と定義します。すると、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rm=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

(M1) は、の非零イデアルに対しての形をとる巡回捩れ加群の直和に分解できる。中国剰余定理により、各 はさらに の形の部分加群の直和に分解できる。ここで は素イデアルの冪である。この分解は一意である必要はないが、任意の 2 つの分解は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/P^{i}}$ ${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

要因の順序のみが異なります。

(M2) 捩れ部分加群は直和項である。つまり、 の補部分加群が存在し、となる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) は、一意に定まる非負整数 に対してと同型である。特に、は有限生成自由加群である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

ここで、任意のデデキント域 上の有限生成加群 とします。このとき、(M1) と (M2) はそのまま成り立ちます。しかし、(M3PID) から、PID 上の有限生成捩れ自由加群は自由であることが分かります。特に、これはすべての分数イデアルが主イデアルであると主張しますが、これはが PID でない場合は常に偽です。言い換えれば、類群の非自明性により、(M3PID) は成立しません。注目すべきことに、任意のデデキント域 上の捩れ自由有限生成加群における追加の構造は、類群によって正確に制御されます。これについては、これから説明します。任意のデデキント域 上では、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD)は階数1の射影加群の直和と同型である。さらに、任意の階数1の射影加群に対して、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

もし、そして、もし、

${\displaystyle r=s}$

そして

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

階数1の射影加群は分数イデアルと同一視することができ、最後の条件は次のように言い換えられる。

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

したがって、階数 の有限生成捩れ自由加群は と表すことができる。ここでは階数1の射影加群である。上ののシュタイニッツ類はにおけるの類であり、一意に決定される。^{[ 11 ]} このことから次のことがわかる。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [I]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

定理： をデデキント域とする。このとき、は有限生成射影加群の可換モノイドのグロタンディーク群である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$

これらの結果は 1912 年にエルンスト・シュタイニッツによって確立されました。

この構造の追加の帰結は、前の定理には暗黙的ではないが、デデキント領域上の 2 つの射影モジュールがグロタンディーク群で同じクラスを持つ場合、それらは実際に抽象的に同型であるということです。

局所デデキント環

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局所的にはデデキント環であるが大域的にはデデキント環ではない整域が存在する。各極大イデアルにおける の局所化はデデキント環（同義的にDVR）であるが、それ自体はデデキント環ではない。上述のように、このような環はネーター環にはなり得ない。このような環の最初の例は、1953年に中野尚志によって構築されたと思われる。文献では、このような環は「真概デデキント環」と呼ばれることもある。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

参照

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• ダベンポート定数

注記

[編集]

1. ミルン 2008、注釈3.25
2. Krasula 2022、定理12
3. Cohn 2003 , 2.4. 演習9
4. この定理は、例えばクルル・秋月の定理から導かれます。
5. ザリスキとサミュエル、284ページ
6. Claborn 1965、例1-9
7. クラボーン 1966 .
8. リーダムグリーン 1972 .
9. ローゼン1976年。
10. クラーク 2009年。
11. フレーリッヒ&テイラー (1991) p.95

参考文献

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• ブルバキ、ニコラス (1972)、可換代数、アディソン＝ウェスリー
• クラボーン、ルーサー（1965）、「デデキント域と商環」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マス、15：59-64、doi：10.2140/pjm.1965.15.59
• クラボーン、ルーサー（1966）「すべてのアーベル群は類群である」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マサチューセッツ、18（2）：219-222、doi：10.2140/pjm.1966.18.219
• Clark、Pete L. (2009)、「楕円デデキント領域再考」 (PDF)、L'Enseignement Mathématique、55 (3): 213–225、arXiv : math/0612469、doi : 10.4171/lem/55-3-1、S2CID  7461271
• コーン、ポール・M.（2003）、さらなる代数と応用、シュプリンガー、ISBN 1-85233-667-6
• フレーリッヒ, A. ;テイラー, MJ (1991)、「II. デデキント領域」、代数的数論、ケンブリッジ高等数学研究、第27巻、ケンブリッジ大学出版局、pp.  35– 101、ISBN 0-521-36664-X、Zbl  0744.11001
• ゴメス＝ラミレス、ダニー（2015）「数学的概念の創造的なメタ生成器としての概念ブレンディング：ブレンドとしてのプライムイデアルとデデキント領域」TRベソルド、KUキュンベルガー、M.ショルレマー、A.スメール（編）第4回計算的創造性、概念の発明、および汎用知能（C3GI）国際ワークショップ議事録PICS、2[1]
• Krasula, Dominik (2022)、「縮小可換環における制限最小条件」、地中海数学ジャーナル、19 (6)、arXiv : 2201.03921、doi : 10.1007/s00009-022-02190-4、S2CID  245853674[2]
• ラーセン、マックス・D.; マッカーシー、ポール・J. (1971)、「イデアルの乗法理論」 (PDF)、純粋応用数学、第43巻、アカデミック・プレス
• Leedham-Green, CR (1972)、「デデキント域の類群」、Trans. Amer. Math. Soc.、163 : 493–500、doi : 10.2307/1995734、JSTOR  1995734
• ミルン、JS (2008)、代数的数論 (v3.00)
• 中野信 (1953)、「特殊な理論における理想理論」、J. Sci.広島大学サー。 A、16 : 425–439​
• ローゼン、マイケル (1976)、「楕円曲線とデデキント領域」、アメリカ数学会誌、57 (2): 197– 201、doi : 10.2307/2041187、JSTOR  2041187
• Steinitz、E. (1912)、「代数の Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern」、Math。アン。、71 (3): 328–354、土井: 10.1007/BF01456849、S2CID  179177736
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1958年）、可換代数、第1巻、D.ヴァン・ノストランド社

さらに読む

[編集]

• エドワーズ、ハロルド・M.（1990）、Divisor theory、ボストン：Birkhäuser Verlag、ISBN 0-8176-3448-7、Zbl  0689.12001

外部リンク

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• 「デデキント環」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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デデキント領域

17言語トピックを追加

Algebra with unique prime factorization

数学において、デデキント域（デデキントきょういき、英: Dedekind domain）またはデデキント環（デデキントかん、英: Dedekind ring）は、リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられた整域であり、その内部ではすべての非零の真イデアルが素イデアルの積に因数分解される。このような因数分解は、因数の位数を除いて必ず一意であることが示される。デデキント域には、定義として採用されることがある少なくとも3つの他の特徴付けが存在する。以下を参照のこと。

体とは、非自明な真イデアルが存在しない可換環であり、したがって任意の体はデデキント整域となるが、その意味は空虚である。一部の著者は、デデキント整域は体であってはならないという条件を付け加えている。多くの著者は、体の場合に自明な修正が必要となる可能性があるという暗黙の但し書きを付して、デデキント整域の定理を述べている。

この定義から直接導かれる結論は、すべての主イデアル領域（PID）はデデキント領域であるということです。実際、デデキント領域が一意因数分解領域（UFD）となるのは、それがPIDである場合と同値です。

デデキント領域の前史

19世紀には、高次代数環を用いて多項式方程式の整数解を考察する手法が一般的になった。例えば、正の整数を固定する。どの整数が二次形式で表されるかを判断するには、この二次形式を に因数分解するのが自然である。因数分解は二次形式の整数環上で行われる。同様に、正の整数 の場合、多項式（フェルマー方程式を解く際に重要）は環 上で因数分解できる。ここで、はn乗の原始根である。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

およびのいくつかの小さな値に対して、これらの代数的整数環は PID であり、これはフェルマー( ) とオイラー( ) の古典的な成功の説明として見ることができます。この時までに、与えられた二次体のすべての代数的整数の環がPID であるかどうかを判断する手順は、二次形式理論家にはよく知られていました。特に、ガウスは虚二次体の場合を調べ、整数環が PID であるのちょうど9 個の値を見つけ、それ以上の値は存在しないと予想しました (ガウスの予想は 100 年以上後にカート・ヘーグナー、アラン・ベイカー、ハロルド・スタークによって証明されました)。ただし、これは二次形式の同値類の言語で (のみ) 理解されていたため、特に二次形式とフェルマー方程式の類似性は認識されていなかったようです。 1847 年、ガブリエル ラメはフェルマーの最終定理のすべての に対する解、すなわちフェルマー方程式は非零の整数には解を持たないという解を発表しましたが、この解は円分環が UFD であるという仮定に依存していることが判明しました。 エルンスト クンマーは3 年前に、 についてはこれが当てはまらないことを示していました(UFD となる値の完全で有限なリストは現在では知られています)。同時に、クンマーは、環がデデキント域であるという事実として現在認識されている事実を用いて、少なくとも素指数の大きなクラスについてはフェルマーの最終定理を証明する強力な新手法を開発しました。実際、クンマーはイデアルではなく「イデアル数」を扱っており、イデアルの現代的な定義はデデキントによって与えられました。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1,n=4}$ ${\displaystyle m=2,3,n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n=23}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

20世紀までに、代数学者と数論学者は、PIDであるための条件はかなり繊細であるのに対し、デデキント域であるための条件は非常に堅牢であることに気付くようになった。例えば、通常の整数の環はPIDであるが、上で見たように、数体における代数的整数の環はPIDである必要はない。実際、ガウスもの整数の環がPIDとなるような素数は無限に存在すると予想したが、がPIDとなるような（任意の次数の）数体が無限に存在するかどうかはまだ分かっていない。一方、数体における整数の環は常にデデキント域となる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

繊細さと堅牢性の二分法をもう一つ示す例として、デデキント環であることが、ネーター環の中で局所的な性質を持つという事実が挙げられます。ネーター環がデデキント環であるためには、局所化の任意の極大イデアルがデデキント環となることが必要です。しかし、局所環がデデキント環であるためには、PIDであるためには、離散値環(DVR) となることが必要です。したがって、PID には同様の局所的な特徴づけは当てはまりません。むしろ、デデキント環の概念はDVR の概念のグローバル化であると言えるでしょう。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

代替定義

体ではない整域の場合、以下の条件はすべて同値である: ^[1] ${\displaystyle R}$

(DD1)すべての非ゼロの真イデアルは素因数分解される。

(DD2) はノイザンであり、各最大イデアルにおける局所化は離散評価環である。 ${\displaystyle R}$

(DD3)のすべての非ゼロ分数イデアルは逆である。 ${\displaystyle R}$

(DD4)は、 クルル次元が1である整閉ノイザン領域です（つまり、すべての非ゼロの素イデアルは最大です）。 ${\displaystyle R}$

(DD5)とにおける任意の2つのイデアルに対して、が に含まれる場合と、 が イデアルとして 割り切れる場合とで同値である。つまり、となるイデアルが存在する。この条件を満たす単位元を持つ可換環（必ずしも領域ではない）は、包含除算環（CDR）と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$

したがって、デデキント整域とは、体であるか、(DD1)から(DD5)のいずれか1つ、つまり5つすべてを満たす整域のことである。したがって、これらの条件のどれを定義として採用するかは、単に好みの問題である。実際には、(DD4)を検証するのが最も容易な場合が多い。

クルル域はデデキント域の高次元版です。つまり、体ではないデデキント域は1次元のクルル域です。この概念は、デデキント域の様々な特徴を研究するために用いられます。実際、これはブルバキの「可換代数」におけるデデキント域の定義です。

デデキント整域はホモロジー代数によっても特徴付けることができる。整域がデデキント整域となるための必要十分条件は、それが遺伝環となることである。つまり、その整域上の射影加群のすべての部分加群は射影的である。同様に、整域がデデキント整域となるための必要十分条件は、その整域上のすべての可分加群が単射的となることである。^[3]

デデキント領域の例

すべての主イデアル領域、したがってすべての離散評価環はデデキント領域です。

数体Kの代数的整数環は、ノイザン的であり、整閉であり、次元が 1 である。最後の性質を見るには、Rの任意の非零素イデアルIに対して、R / Iが有限集合であることに注目し、有限整域は体であることを思い出すとよい。したがって、(DD4) により、Rはデデキント域となる。上述のように、これはクンマーとデデキントが考察したすべての例を含み、一般定義の根拠となった事例であり、現在でも最も研究されている例の一つである。 ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

デデキント環のもう一つのクラスは、おそらく同等の重要性を持つもので、幾何学に由来する。Cを体k上の非特異幾何学的に整なアフィン代数曲線とする。 すると、C上の正則関数の座標環k [ C ]はデデキント域となる。これは、幾何学用語を代数に翻訳するだけでほぼ明らかである。任意のアフィン多様体の座標環は、定義により有限生成k -代数、すなわちネーター環である。さらに、曲線は次元1を意味し、非特異性は（そして次元1においては）正規を意味し、これは定義により整閉 を意味する。

これら両方の構成は、次の基本的な結果の特殊なケースとして見ることができます。

定理：Rを分数体 Kを持つデデキント域とする。LをKの有限次体拡大とし、LにおけるRの整閉包をSとする。すると、S自身もデデキント域となる。^[4]

この定理を、R 自体が PID である場合に適用すると、PIDからデデキント域を構築する方法が得られます。R = Zとすると、この構成はまさに数体の整数環がデデキント域であることを示しています。R = k [ t ] とすると、アフィン直線の分岐被覆として、上記のような非特異アフィン曲線が得られます。

ザリスキとサミュエルはこの構成に非常に感銘を受け、すべてのデデキント領域がこれから生じるのか、つまりPIDから出発して有限次数体拡大における積分閉包をとることによって生じるのかを問うた。^[5] L. クラボーンは驚くほど単純な否定的答えを与えた。^[6]

状況は上記と同様だが、Kの拡大Lが無限次代数的である場合、LにおけるRの整閉包S がデデキント域になる可能性は依然としてありますが、保証はされません。たとえば、再びR = Z、K = Qとし、今度はL をすべての代数的数の体とします。すると、整閉包はすべての代数的整数の環になります。代数的整数の平方根も代数的整数であるため、ゼロでない非単位代数的整数を既約元の有限積に因数分解することはできず、これは がノイザンでさえないことを意味します。一般に、無限代数的拡大におけるデデキント域の整閉包はプリューファー域です。代数的整数の環はこれよりも少し特殊で、ベズー域であることがわかります。 ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

分数的イデアルと階級群

R を分数体Kを持つ整域とする。分数イデアルとは、 Kの非零R部分加群Iであって、 Kに非零x が存在し、 ${\displaystyle xI\subset R.}$

二つの分数イデアルIとJが与えられ、それらの積IJ を有限和全体の集合として定義する。積IJもまた分数イデアルである。上記の積を与えられたすべての分数イデアルの集合 Frac( R ) は可換半群であり、実際はモノイドである。単位元は分数イデアルRである。 ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

任意の分数イデアルIに対して、分数イデアルを定義することができる。

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

すると、トートロジー的に が成立する。実際、 が等式となるのは、Frac( R )のモノイドの元であるI が可逆である場合に限る。言い換えれば、I に逆元が存在するならば、その逆元は でなければならない。 ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ ${\displaystyle I^{*}}$

主分数イデアルは、 K内の非零のxに対して の形をとるイデアルの一つです。各主分数イデアルは可逆であり、その逆は単に であることに留意してください。主分数イデアルの部分群をPrin( R ) と表記します。 ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

領域Rが PID となることと、すべての分数イデアルが主イデアルとなることは同値である。この場合、2つの主分数イデアルとが等しいことと、Rが単位元となることが同値であるため、 Frac( R ) = Prin( R ) = となる。 ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle yR}$ ${\displaystyle xy^{-1}}$

一般の領域Rに対して、すべての分数イデアルのモノイド Frac( R ) を主分数イデアルの部分モノイド Prin( R ) で割ることは意味がある。しかし、この商自体は一般にモノイドでしかない。実際、分数イデアル I の Frac( R )/Prin( R ) の類が可逆であることは、I 自体が可逆であることと同値であることは容易に分かる。

ここで、(DD3) を理解できる。デデキント領域（そしてデデキント領域においてのみ）において、すべての分数イデアルは可逆である。したがって、これらはまさに Frac( R )/Prin( R ) が群を形成する領域の類、すなわちRのイデアル類群Cl( R )である。この群はRが分数イデアルである場合に限り自明であるため、一般のデデキント領域が PID であることの障害を定量化したものと考えることができる。

任意の領域に対して、ピカール群Pic( R )を、主分数イデアルの部分群を法とする可逆分数イデアルInv( R )の群として定義することができる。デデキント領域の場合、これはもちろんイデアル類群と同じである。しかし、ネーター領域やクルル領域を含むより一般的な領域クラスでは、イデアル類群は異なる方法で構成され、標準準同型が存在する。

Pic( R ) → Cl( R )

しかし、これは一般には単射でも射影でもない。これは、特異代数多様体上のカルティエ因子とヴェイユ因子の区別のアフィン類似である。

L. Claborn の定理^{[7]は、任意の}アーベル群 Gに対して、そのイデアル類群がGと同型であるようなデデキント域Rが存在することを主張している。後に、CR Leedham-Green は、そのようなR が二次体拡大における PID の整閉包として構成できることを示した。^{[8] 1976 年、M. Rosen は、任意の可算アーベル群を}楕円曲線の有理関数 体の部分環であるデデキント域の類群として実現する方法を示し、そのような「楕円型」構成は一般アーベル群に対しても可能であると予想した。^[9] Rosen の予想は 2008 年に P.L. Clark によって証明された。^[10]

対照的に、代数的整数論における基本定理の一つは、数体の整数環の類群は有限であることを主張する。その濃度は類数と呼ばれる。

デデキント領域上の有限生成加群

主イデアル領域 (PID) 上の有限生成モジュールに関するよく知られた非常に有用な構造定理を考慮すると、デデキント領域上の有限生成モジュールに関する対応する理論を求めるのは当然です。

PID 上の有限生成加群の場合の構造理論を簡単に振り返ってみましょう。捩れ部分加群を、 の非零な値に対して となるようなの元全体の集合と定義します。すると、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rm=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

(M1) は、の非零イデアルに対しての形をとる巡回捩れ加群の直和に分解できる。中国剰余定理により、各 はさらに の形の部分加群の直和に分解できる。ここで は素イデアルの冪である。この分解は一意である必要はないが、任意の 2 つの分解は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/P^{i}}$ ${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

要因の順序のみが異なります。

(M2) 捩れ部分加群は直和項である。つまり、 の補部分加群が存在し、となる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) は、一意に定まる非負整数 に対してと同型である。特に、は有限生成自由加群である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

ここで、任意のデデキント域 上の有限生成加群 とします。このとき、(M1) と (M2) はそのまま成り立ちます。しかし、(M3PID) から、PID 上の有限生成捩れ自由加群は自由であることが分かります。特に、これはすべての分数イデアルが主イデアルであると主張しますが、これはが PID でない場合は常に偽です。言い換えれば、類群の非自明性により、(M3PID) は成立しません。注目すべきことに、任意のデデキント域 上の捩れ自由有限生成加群における追加の構造は、類群によって正確に制御されます。これについては、これから説明します。任意のデデキント域 上では、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD)は階数1の射影加群の直和と同型である。さらに、任意の階数1の射影加群に対して、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

もし、そして、もし、

${\displaystyle r=s}$

そして

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

階数1の射影加群は分数イデアルと同一視することができ、最後の条件は次のように言い換えられる。

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

したがって、階数 の有限生成捩れ自由加群は と表すことができる。ここでは階数1の射影加群である。上ののシュタイニッツ類はにおけるの類であり、一意に決定される。^[11] このことから次のことがわかる。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [I]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

定理： をデデキント域とする。このとき、は有限生成射影加群の可換モノイドのグロタンディーク群である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$

これらの結果は 1912 年にエルンスト・シュタイニッツによって確立されました。

この構造の追加の帰結は、前の定理には暗黙的ではないが、デデキント領域上の 2 つの射影モジュールがグロタンディーク群で同じクラスを持つ場合、それらは実際に抽象的に同型であるということです。

局所デデキント環

局所的にはデデキント環であるが大域的にはデデキント環ではない整域が存在する。各極大イデアルにおける の局所化はデデキント環（同義的にDVR）であるが、それ自体はデデキント環ではない。上述のように、このような環はネーター環にはなり得ない。このような環の最初の例は、1953年に中野尚志によって構築されたと思われる。文献では、このような環は「真概デデキント環」と呼ばれることもある。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

参照

• ダベンポート定数

注記

1. ミルン 2008、注釈 3.25
2. Krasula 2022、定理12
3. Cohn 2003, 2.4. 演習9
4. この定理は、例えばクルル・秋月の定理から導かれます。
5. ザリスキとサミュエル、284ページ
6. Claborn 1965、例1-9
7. クラボーン 1966年。
8. リーダム・グリーン 1972.
9. ローゼン 1976.
10. クラーク 2009.
11. フレーリッヒ&テイラー (1991) p.95

参考文献

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• クラボーン、ルーサー（1965）「デデキント域と商環」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マス、15：59-64、doi：10.2140/pjm.1965.15.59
• クラボーン、ルーサー（1966）「すべてのアーベル群は類群である」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マサチューセッツ、18（2）：219-222、doi：10.2140/pjm.1966.18.219
• Clark、Pete L. (2009)、「楕円デデキント領域再考」(PDF)、L'Enseignement Mathématique、55 (3): 213–225、arXiv : math/0612469、doi :10.4171/lem/55-3-1、S2CID  7461271
• コーン、ポール・M.（2003）、さらなる代数と応用、シュプリンガー、ISBN 1-85233-667-6
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• ゴメス＝ラミレス、ダニー（2015）「数学的概念の創造的なメタ生成器としての概念ブレンディング：ブレンドとしてのプライムイデアルとデデキント領域」TRベソルド、KUキュンベルガー、M.ショルレマー、A.スメール（編）第4回計算的創造性、概念の発明、および汎用知能（C3GI）国際ワークショップ議事録PICS、2[1]
• Krasula, Dominik (2022)、「縮約可換環における制限最小条件」、地中海数学ジャーナル、19 (6)、arXiv : 2201.03921、doi :10.1007/s00009-022-02190-4、S2CID  245853674[2]
• ラーセン、マックス・D.; マッカーシー、ポール・J. (1971)、「イデアルの乗法理論」(PDF)、純粋応用数学、第43巻、アカデミック・プレス
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• 中野信 (1953)、「特殊な理論における理想理論」、J. Sci.広島大学サー。 A、16 : 425–439​
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• Steinitz、E. (1912)、「代数学的ZahlkörpernにおけるRechteckige Systeme und Moduln」、Math。アン。、71 (3): 328–354、土井:10.1007/BF01456849、S2CID  179177736
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1958年）、可換代数、第1巻、D.ヴァン・ノストランド社

さらに読む

• エドワーズ、ハロルド・M.（1990）、Divisor theory、ボストン：Birkhäuser Verlag、ISBN 0-8176-3448-7、Zbl  0689.12001

外部リンク

• 「デデキント環」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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