積分領域

数学において、整域とは、任意の2つの非零元の積が非零となる非零可換環である。^[1]^[2] 整域において、すべての非零元a は相殺性を持つ。つまり、a ≠ 0ならば、ab = acならばb = cとなる。整域は整数環の一般化であり、割り切れるかどうかを研究するのに有用な設定を提供する。

「整域」はほぼ普遍的に上記のように定義されていますが、多少の差異があります。本稿では、環は乗法単位元（一般的には1と表記）を持つという慣例に従いますが、一部の著者はこれに従わず、整域が乗法単位元を持つことを要求しません。^[3]^[4]非可換整域も認められる場合があります。^[5] しかし、本稿では、より一般的な慣例に従い、「整域」という用語を可換な場合に限定し、「域」という用語を非可換環を含む一般の場合に使用することにします。

いくつかの文献、特にLangは、整域に対して「完全環」という用語を使用しています。 ^[6]

いくつかの特定の種類の整域は、次のクラス包含の連鎖で与えられます。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

意味

整域とは、任意の2つの非零元の積が非零となる非零可換環である。以下は等価である。

整域は、非零の零因子を持たない非零の可換環である。
整域とは、零イデアル{0} が素イデアルである可換環です。
整域は、すべての非ゼロ要素が乗算によって消去可能な非ゼロ可換環です。
整域とは、ゼロでない要素の集合が乗算に関して可換モノイドとなる環である（モノイドは乗算に関して閉じていなければならないため）。
整域とは、非零の可換環であり、その環の任意の非零元rに対して、環の各元xを積xrに写す関数が単射である。この性質を持つrの元は正則環と呼ばれ、したがって、環の任意の非零元が正則環であることを要求するのと同義である。
整域とは、体の部分環に同型な環である。(整域が与えられれば、それを分数体に埋め込むことができる。)

例

典型的な例は、すべての整数の環です。 $\mathbb {Z}$
あらゆる体は整域である。例えば、実数体全体は整域である。逆に、あらゆるアルティン整域は体である。特に、すべての有限整域は有限体である（より一般的には、ウェダーバーンの小定理により、有限域は有限体である）。整数環は、体ではない非アルティン無限整域の例であり、次のようなイデアルの無限下降列を持つ。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots$
多項式環は、係数が整域から得られる場合、整域である。例えば、整数係数を持つ1変数多項式全体の環は整域であり、複素係数を持つn変数多項式全体の環も同様である。 $\mathbb {Z} [x]$ $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$
先の例は、素イデアルの商を取ることでさらに活用できます。例えば、平面楕円曲線に対応する環は整域です。整域性は、が既約多項式であることを示すことで確認できます。 $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ $y^{2}-x(x-1)(x-2)$
環は任意の非平方整数の整域である。ならば、この環は常にの部分環であり、そうでなければの部分環である。 $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ $n$ $n>0$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$
p進整数の環は整域である。 $\mathbb {Z} _{p}$
整域の形式的冪級数の環は整域である。
が複素平面の連結開部分集合である場合、すべての正則関数からなる環は整域となる。解析多様体の連結開部分集合上の解析関数の環についても同様である。 $U$ $\mathbb {C}$ ${\mathcal {H}}(U)$
正則局所環は整域である。実際、正則局所環はUFDである。^[7]^[8]

非例

次の環は整域ではありません。

零環（となる環）。 $0=1$
mが合成数のときの商環。これを示すには、適切な因数分解（つまり、とはまたはと等しくないこと）を選択します。するとととなりますが、となります。 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ $m=xy$ $x$ $y$ $1$ $m$ $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ $xy\equiv 0{\bmod {m}}$
2つの非零可換環の積。このような積において、が成り立つ。 $R\times S$ $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$
任意のの商環。との像は非零であるが、この環におけるそれらの積は 0 である。 $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ $n\in \mathbb {Z}$ $x+n$ $x-n$
n ≥ 2 のとき、任意の非零環上のn × n行列の環。とが行列であり、の像がの核に含まれる場合、となる。例えば、の場合にこのようになる。 $M$ $N$ $N$ $M$ $MN=0$ $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$
任意の体と任意の非定数多項式の商環。この商環における $f$ と $g$ の像は、積が 0 となる非零元である。この議論は、同値としてが素イデアルではないことを示している。この結果の幾何学的解釈は、 $fg$ の零点が、一般に既約ではない（つまり、代数多様体ではない）アフィン代数集合を形成するというものである。この代数集合が既約である可能性がある唯一のケースは、 $fg が$ 同じ代数集合を定義する既約多項式の冪である場合である。 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ $k$ $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $(fg)$
単位区間上の連続関数の環。関数を考える。
$f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

どちらもどこでもゼロではありませんが、ゼロです。

f

g

fg

テンソル積。この環には、2つの非自明な冪等元、、が存在する。これらは直交しており、つまりは定義域ではない。実際、によって定義される同型が存在する。その逆はによって定義される。この例は、既約アフィンスキームのファイバー積が必ずしも既約ではないことを示している。 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ $e_{1}e_{2}=0$ $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$

割り切れるかどうか、素元、既約元

このセクションでは、Rは整域です。

Rの要素aとbが与えられている場合、Rにax = bとなる要素xが存在するときは、 aはbを割り切る、またはaはbの約数である、またはbはaの倍数であると言えます。

Rの単位元は 1 を割り切る元であり、これらはまさにRの可逆元です。単位元は他のすべての元を割り切ります。

a がb を割り切り、bがaを割り切る場合、aとb は関連元または関連元と呼ばれます。^[9] 同様に、ある単位uに対してa = ub が成り立つ場合、 aとbは関連元です。

既約元とは、2 つの非単位の積として表すことができない、ゼロ以外の非単位のことです。

非零の非単位元pが素元であるとは、p が積abを割り切るとき、必ずp がa を割り切るか、またはp がbを割り切ることを意味する。同様に、元pが素元であるとは、主イデアル( p ) が非零の素イデアルである場合に限る。

既約元と素元の両方の概念は、負の素数を素数と見なす場合、環内の素数の通常の定義を一般化します。 $\mathbb {Z} ,$

すべての素元は既約元である。逆は一般には成り立たない。例えば、二次整数環において元3は既約元である（もし因数分解できない場合、それぞれの因数はノルム3を持つ必要があるが、には整数解がないのでノルム3の元は存在しない）。しかし、素元ではない（3はどちらの因数も割り切れないため）。一意の因数分解領域（より一般的にはGCD領域）において、既約元は素元である。 $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ $a^{2}+5b^{2}=3$ $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$

では一意に因数分解は成立しませんが、イデアルでは一意に因数分解が成立します。ラスカー・ノイザーの定理を参照してください。 $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$

プロパティ

可換環Rが整域となるのは、Rのイデアル(0)が素イデアルである場合に限ります。
Rが可換環でPがRのイデアルである場合、商環R/P が整域となるのは、 P が素イデアルである場合に限ります。
R を整域とする。すると、R上の（任意の個数の不定元を持つ）多項式環は整域となる。特にR が体である場合は、このことが当てはまる。
相殺性は任意の積分領域において成り立ちます。すなわち、積分領域内の任意のa、b、cについて、 a ≠ 0かつab = acならばb = cとなります。これを別の言い方で表すと、関数x ↦ ax は、その領域内の任意の非零のaに対して単射であるということです。
任意の積分領域のイデアルに対しては相殺特性が成り立ちます。つまり、 xI = xJの場合、xはゼロか、I = Jのいずれかになります。
積分領域は、最大イデアルにおけるその局所化の交差に等しい。
積分領域の帰納的極限は積分領域である。
A , B が代数閉体k上の整域であるとき、A ⊗ _k Bは整域となる。これはヒルベルトの零点定理[ ^a]の帰結であり、代数幾何学においては、代数閉体上の2つのアフィン代数多様体の積の座標環もまた整域となるという命題を導く。

分数の体

整域Rの分数体 Kは、 Rにaとbが存在し、かつb ≠ 0 を法として通常の加法演算と乗法演算が可能な分数a / bの集合である。これは、 R → Kへの入射環準同型が存在し、Rから体への任意の入射環準同型がKを介して因数分解されるという意味で、「 Rを含む最小の体」である。整数環の分数体は有理数体である。体の分数体は、体自身と同型である。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} .$

代数幾何学

整域は、被約環であること（つまりx ² = 0ならばx = 0）かつ既約環であること（つまり極小素イデアルが1つしかないこと）という条件によって特徴付けられます。前者の条件は、環の冪根基が0であること、つまり環のすべての極小素数の交差が0であることを保証します。後者の条件は、環が極小素イデアルを1つしか持たないことです。したがって、被約環かつ既約環の唯一の極小素イデアルは零イデアルであり、そのような環は整域です。逆は明らかです。整域には非零の冪零元は存在せず、零イデアルは唯一の極小素イデアルです。

これを代数幾何学で解釈すると、代数集合が代数多様体である場合に限り、アフィン代数集合の座標環は整域であるという事実になります。

より一般的には、可換環が整域となるのは、そのスペクトルが整アフィンスキームである場合に限ります。

特性と準同型

整域の特性は 0 または素数のいずれかです。

R が素特性pの整域である場合、フロベニウス準同型 x ↦ x ^pは単射である。

参照

デデキント・ハッセノルム– 整域が主となるために必要な追加の構造
零積性

注記

^ 証明: まずA がk代数として有限生成であると仮定し、 Bのk基底を取ります。(非零の数は有限個だけ) と仮定します。 Aの各極大イデアルに対して、環準同型を考えます。すると、像はとなり、したがってまたはとなり、線型独立性により、すべてまたはすべてとなります。は任意なので、すべての極大イデアルの共通部分が得られ、最後の等式は Nullstellensatz により得られます。は素イデアルなので、これはまたはが零イデアルであることを意味します。つまり、のいずれかがすべて零であるか、がすべて零です。最後に、Aは整域である有限生成k代数の帰納的極限となり、したがって前の性質を用いると整域となります。 $g_{i}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ $f_{i},h_{j}$ ${\mathfrak {m}}$ $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\overline {f_{i}}}=0$ $i$ ${\overline {h_{i}}}=0$ $i$ ${\mathfrak {m}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ $=(0)$ $(0)$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ $f_{i}$ $h_{i}$ $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ $\square$

引用

^ ブルバキ 1998, p. 116
^ ダミット＆フット 2004、228ページ
^ ファン・デル・ワールデン 1966年、36ページ
^ ハーシュタイン 1964、88～90ページ
^ マコーネル＆ロブソン
^ ラング 1993、91-92ページ
^ アウスランダー＆ブックスバウム 1959
^ 永田 1958
^ Durbin 1993、p. 224、「[整域]の元aとb は、 a | bかつb | aの場合には、連想元と呼ばれます。」

参考文献

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外部リンク

「「積分領域」という用語はどこから来たのですか？」

[10] 証明: まずA がk代数として有限生成であると仮定し、 Bのk基底を取ります。(非零の数は有限個だけ) と仮定します。 Aの各極大イデアルに対して、環準同型を考えます。すると、像はとなり、したがってまたはとなり、線型独立性により、すべてまたはすべてとなります。は任意なので、すべての極大イデアルの共通部分が得られ、最後の等式は Nullstellensatz により得られます。は素イデアルなので、これはまたはが零イデアルであることを意味します。つまり、のいずれかがすべて零であるか、がすべて零です。最後に、Aは整域である有限生成k代数の帰納的極限となり、したがって前の性質を用いると整域となります。 $g_{i}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ $f_{i},h_{j}$ ${\mathfrak {m}}$ $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\overline {f_{i}}}=0$ $i$ ${\overline {h_{i}}}=0$ $i$ ${\mathfrak {m}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ $=(0)$ $(0)$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ $f_{i}$ $h_{i}$ $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ $\square$

[FOOTNOTEBourbaki1998116-1] ブルバキ 1998, p. 116

[FOOTNOTEDummitFoote2004228-2] ダミット＆フット 2004、228ページ

[FOOTNOTEvan_der_Waerden196636-3] ファン・デル・ワールデン 1966年、36ページ

[FOOTNOTEHerstein196488–90-4] ハーシュタイン 1964、88～90ページ

[FOOTNOTEMcConnellRobson-5] マコーネル＆ロブソン

[FOOTNOTELang199391–92-6] ラング 1993、91-92ページ

[FOOTNOTEAuslanderBuchsbaum1959-7] アウスランダー＆ブックスバウム 1959

[FOOTNOTENagata1958-8] 永田 1958

[FOOTNOTEDurbin1993p._224,_"Elements_''a''_and_''b''_of_[an_integral_domain]_are_called_''associates''_if_''a''_|_''b''_and_''b''_|_''a''."-9] Durbin 1993、p. 224、「[整域]の元aとb は、 a | bかつb | aの場合には、連想元と呼ばれます。」