密に定義された演算子

Linear operator on dense subset of its apparent domain

数学、特に作用素論において、稠密定義作用素（ちゅうみんせいきょうせい）または部分定義作用素（ぶんせきせいきょう）は、部分定義関数の一種である。位相的な意味では、 「ほぼどこでも」定義される線型作用素である。稠密定義作用素は、関数解析において、それが先験的に「意味を成す」対象よりも広いクラスの対象に適用したい操作としてしばしば用いられる。^{[説明が必要]}

実際に使用される閉じた演算子は、多くの場合、密に定義されます。

意味

を位相ベクトル空間とします。 ${\displaystyle X,Y}$

からへの稠密に定義された線型作用素は型の線型作用素であり、は の稠密部分集合である。言い換えれば、は において定義域が稠密な部分関数である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:D(T)\to Y}$ ${\displaystyle D(T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

コンテキストから がすべての に対して定義されていないことが明らかな場合は、 と省略されることもあります。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

閉グラフ定理—がハウスドルフかつ計量化可能で、が稠密に定義され、連続逆元 を持つ場合、は閉じている。つまり、集合 はの積位相において閉じている。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:D(T)\to Y}$ ${\displaystyle S:Y\to D(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{(x,T(x)):x\in D(T)\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

証拠

内の任意のネット を取る。 の連続性により、となる。したがって、 、 、 となるようなものが存在する。 ${\displaystyle (x_{\alpha })}$ ${\displaystyle D(T)}$ ${\displaystyle Tx_{\alpha }\to y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\alpha }=S(Tx_{\alpha })\to \ S(y)}$ ${\displaystyle x\in D(T)}$ ${\displaystyle x_{\alpha }\to x}$ ${\displaystyle Tx=T(S(y))=y}$

ハウスドルフ性は、逐次収束が一意であることを保証する。距離化可能性は、逐次閉集合が閉であることを保証する。関数解析においては、これらの条件は典型的には成立する。なぜなら、対象となる空間のほとんどはフレシェ空間、あるいはフレシェよりも強い空間だからである。特に、バナッハ空間はフレシェ空間である。

例

順序

を正規直交基底を持つ平方和可能列のヒルベルト空間とします。定義域 で対角演算子を定義します。すると、有限サポート列 であるため は において稠密であり、は において稠密です。演算子 はであるため、閉じており、かつ非有界です。 ${\displaystyle X=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle (e_{n})_{n\geq 1}}$ $${\displaystyle A:D(A)\to \ell ^{2},\qquad (Ax)_{n}:=n\,x_{n},}$$ $${\displaystyle D(A):=\left\{x=(x_{n})_{n\geq 1}\in \ell ^{2}:\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}|x_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{00}\subset D(A)}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|Ae_{n}\|_{2}=n}$

有界逆が存在する。したがって、は有界逆と単射であるため、ノイマン級数の議論により、の解決集合には開単位円板 が含まれる。 $${\displaystyle A^{-1}:\ell ^{2}\to D(A),\qquad (A^{-1}y)_{n}:={\frac {y_{n}}{n}},\qquad \|A^{-1}\|=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=1.}$$ ${\displaystyle A:D(A)\to \ell ^{2}}$ ${\displaystyle 0\in \rho (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\,\lambda \in \mathbb {C} :\ |\lambda |<1\,\}}$

実際、 のスペクトル（つまり、その解決集合の補集合）は、正の整数の集合とまったく同じです。これは、任意の に対して、対角線公式が有界演算子 を定義するためです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda \not \in \{1,2,\dots \}}$ $${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}y={\bigl (}{\tfrac {y_{n}}{n-\lambda }}{\bigr )}_{n\geq 1}}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}\to D(A)}$

したがって、は、有界な逆演算子と非自明な有界でないスペクトルを持つ、密に定義された、閉じた、有界でない演算子です。 ${\displaystyle A}$

差別化

単位区間上で定義される実数値連続関数全体の成す空間を考える。ここで、連続的に微分可能な関数全体からなる部分空間を とする。最大ノルムをとすると、実バナッハ空間となる。によって与えられる微分作用素は、稠密な線型部分空間 上で定義される線型作用素であるため、 上で稠密に定義された作用素である。 ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)}$$ ${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )\subset C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$

演算子は、非有界線形演算子の例である。 この非有界性は、微分演算子を全体に連続的に拡張しようとすると問題を引き起こす。 ${\displaystyle \mathrm {D} }$ $${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

ペイリー・ウィーナー

Paley -Wiener 積分は、密に定義された演算子の連続拡張の標準的な例です。

随伴を持つ任意の抽象ウィーナー空間 には、からへの自然な連続線型作用素（実際は包含であり、 は等長変換）が存在し、これはの同値類になります。 が で稠密である ことが示されます。 上記の包含は連続であるため、全体への包含の連続線型拡張が一意に存在します 。 この拡張が Paley–Wiener マップです。 ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H.}$

参照

• ブルームバーグ定理 – R 上の任意の実関数は、R の稠密部分集合に対して連続制約を許容する
• 閉グラフ定理（関数解析）  - グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 線形拡張（線形代数）  – 線形代数における数学関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 部分関数 – 実際の定義域が見かけの定義域よりも小さい関数

参考文献

• レナルディ, マイケル; ロジャース, ロバート C. (2004).偏微分方程式入門. 応用数学テキスト 13 (第2版). ニューヨーク: シュプリンガー出版社. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR  2028503。

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