次元正則化

理論物理学において、次元正規化は、 Juan José Giambiagiと Carlos Guido Bollini [es] ^[1]によって、また独立してより包括的に^[2]Gerard 't HooftとMartinus JG Veltman ^[3]によって、ファインマン図の評価における積分の正規化のために導入された手法である。言い換えれば、時空次元の数の解析接続である複素パラメータdの有理型関数である値を積分に割り当てることである。

次元正則化は、ファインマン積分を時空次元dとそこに現れる時空点x _i , ... の二乗距離 ( x _i − x _j ) ^{2に依存する積分として表す。}ユークリッド空間では、この積分は −Re( d ) が十分に大きい場合に収束することが多く、この領域からすべての複素dに対して定義された有理型関数に解析的に接続できる。一般に、 dの物理的値（通常は 4）に極が存在するが、物理量を得るにはこれを繰り込みによってキャンセルする必要がある。パベル・エティンゴフは、少なくとも質量をもつユークリッド体の場合、次元正則化は数学的に明確に定義され、ベルンシュタイン・サト多項式を用いて解析接続を行うことで示した。^[4]

この方法は、極を減算し、dを再び4に置き換える場合に最もよく理解されますが、ウィルソン・フィッシャー不動点の場合のように、理論が強く結合しているように見える別の整数値にdを近づける場合にも、いくつかの成功例が示されています。さらに飛躍的な進歩は、分数次元による補間を真剣に検討することです。このことから、一部の研究者は、次元正則化は、巨視的にはフラクタルのように見える結晶の物理を研究するために使用できると示唆しています。^[5]

ゼータ関数の正規化と次元の正規化は、級数や積分が収束するために解析接続を使用するという同じ原理を使用しているため、同等であると主張されてきました。 ^[6]

例: 無限電荷線の電位

電荷密度を持つ無限の電荷線を考え、線から離れた点の電位を計算する。 ^[7]積分は発散する。ここで $s$ $x$ $V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $A=s/(4\pi \epsilon _{0}).$

荷電線は 1 次元の「球面対称性」 (1 次元では単なる鏡面対称性) を持つため、積分を書き直して球面対称性を利用することができます。ここで、最初に単位長さで割って長さへの依存性を除去し、次に上の積分を1 次元球面上の積分に変換し、さらに 1 次元球面のすべての半径上の積分に変換します。 $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $S^{1}$

これを次元に一般化します。d球の体積はで、はガンマ関数です。すると積分はになります。のとき、積分はその裾、つまり（大シータ記法では）によって支配されます。したがってとなり、電場はとなります。 $d$ ${\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}$ $\Gamma$ ${\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}$ $d=1-\epsilon$ $\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },$ $c=\Theta (x/x_{0})$ $V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon$ $V'(x)\sim x^{-1}$

例

4次元で対数的に発散するループ積分を次元的に正規化したいとしよう。

I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.

まず、一般の非整数次元における積分を書きます。ここで、は後で小さいとみなされます。積分関数がのみに依存する場合、公式^[8]を適用できます。のような整数次元の場合、この公式はのような薄い殻上のよく知られた積分に簡約されます。非整数次元の場合、積分の値を解析接続によってこのように定義します。これにより、が得られます。積分はとして再び発散しますが、の任意の小さな値に対しては有限であることに注意してください。 $d=4-\varepsilon$ $\varepsilon$ $I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.$ $p^{2}$ $\int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).$ $d=3$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$ $I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).$ $\varepsilon \rightarrow 0$ $\varepsilon \neq 0$

参考文献

^ ボリーニ & ジャンビアジ (1972)、p. 20.
^ Bietenholz, Wolfgang; Prado, Lilian (2014-02-01). 「反動的なアルゼンチンにおける革命的物理学」. Physics Today . 67 (2): 38– 43. Bibcode :2014PhT....67b..38B. doi : 10.1063/PT.3.2277 . ISSN 0031-9228.
^ Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972)、「ゲージ場の正規化と再正規化」、核物理B、44 (1): 189– 213、Bibcode :1972NuPhB..44..189T、doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9、hdl : 1874/4845、ISSN 0550-3213
^ エティンゴフ（1999）
^ Le Guillou, JC; Zinn-Justin, J. (1987). 「非整数次元におけるイジング型システムの正確な臨界指数」Journal de Physique . 48 .
^ A. Bytsenko、G. Cognola、E. Elizalde、V. Moretti、S. Zerbini、「量子場の分析的側面」、World Scientific Publishing、2003年、 ISBN 981-238-364-6
^ Olness, Fredrick; Scalise, Randall (2011年3月). 「正則化、再正規化、そして次元解析：次元正則化と初学者のE&Mの出会い」. American Journal of Physics . 79 (3): 306– 312. arXiv : 0812.3578 . doi :10.1119/1.3535586. ISSN 0002-9505. S2CID 13148774.
^ ペスキン、マイケル・エドワード (2019).量子場理論入門. ダニエル・V・シュローダー. ボカラトン. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

さらに読む

ボリーニ、カルロス。 Giambiagi、Juan Jose (1972)、「次元繰り込み: 正則化パラメーターとしての次元の数」。、Il Nuovo Cimento B、12 (1): 20–26、Bibcode :1972NCimB..12...20B、doi :10.1007/BF02895558、S2CID 123505054
エティンゴフ、パベル（1999）「次元正則化に関する注釈」『量子場と弦：数学者のための講座』第1巻（プリンストン、ニュージャージー州、1996/1997年）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp. 597– 607、ISBN 978-0-8218-2012-4、MR 1701608
Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972)、「ゲージ場の正規化と繰り込み」、核物理B、44 (1): 189– 213、Bibcode :1972NuPhB..44..189T、doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9、hdl : 1874/4845、ISSN 0550-3213

[1] ボリーニ & ジャンビアジ (1972)、p. 20.

[physicstoday-2] Bietenholz, Wolfgang; Prado, Lilian (2014-02-01). 「反動的なアルゼンチンにおける革命的物理学」. Physics Today . 67 (2): 38– 43. Bibcode :2014PhT....67b..38B. doi : 10.1063/PT.3.2277 . ISSN 0031-9228.

[3] Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972)、「ゲージ場の正規化と再正規化」、核物理B、44 (1): 189– 213、Bibcode :1972NuPhB..44..189T、doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9、hdl : 1874/4845、ISSN 0550-3213

[4] エティンゴフ（1999）

[5] Le Guillou, JC; Zinn-Justin, J. (1987). 「非整数次元におけるイジング型システムの正確な臨界指数」Journal de Physique . 48 .

[6] A. Bytsenko、G. Cognola、E. Elizalde、V. Moretti、S. Zerbini、「量子場の分析的側面」、World Scientific Publishing、2003年、 ISBN 981-238-364-6

[7] Olness, Fredrick; Scalise, Randall (2011年3月). 「正則化、再正規化、そして次元解析：次元正則化と初学者のE&Mの出会い」. American Journal of Physics . 79 (3): 306– 312. arXiv : 0812.3578 . doi :10.1119/1.3535586. ISSN 0002-9505. S2CID 13148774.

[8] ペスキン、マイケル・エドワード (2019).量子場理論入門. ダニエル・V・シュローダー. ボカラトン. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)