Mathematical method extending convergence
数学において、 アダマール正規化 （ アダマールの有限部、 あるいは アダマールの有限部 とも呼ばれる）は、発散積分において発散項をいくつか削除し有限部を残すことで 正規化する 手法であり、 ジャック・アダマール （1923年、第3巻第1章、1932年）によって導入された。 マルセル・リース（1938年、1949年）は、これが収束積分の 有理型接続 をとることと解釈できることを示した 。
説明 コーシー主値 積分が
存在する 場合、それを x に関して微分して、 次のようにアダマール有限部分積分を得ることができます。 C ∫ a b f ( t ) t − x d t ( for a < x < b ) {\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b)} d d x ( C ∫ a b f ( t ) t − x d t ) = H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t ( for a < x < b ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b).}
ここで、記号 と記号 はそれぞれコーシー主値とアダマール有限部分積分を表すために使用されていることに注意してください。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
上記のアダマール有限部分積分（ a < x < b ）は、次の同等の定義でも与えられます。 H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a x − ε f ( t ) ( t − x ) 2 d t + ∫ x + ε b f ( t ) ( t − x ) 2 d t − f ( x + ε ) + f ( x − ε ) ε } , {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},} H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a b ( t − x ) 2 f ( t ) ( ( t − x ) 2 + ε 2 ) 2 d t − π f ( x ) 2 ε − f ( x ) 2 ( 1 b − x − 1 a − x ) } . {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.}
上記の定義は、関数 f ( t )が t = xにおいて a < x < b に対して 無限回微分可能であると仮定することによって 、すなわち、 f ( t ) が t = x に関するテイラー級数で表せると仮定することによって導かれる 。詳細については、Ang (2013) を参照のこと。（ただし、項 − f ( x ) / 2 （ 1 / b − x − 1 / a − x ) は、Ang (2013) では欠落していますが、この本の正誤表で修正されています。
アダマール有限部分積分（ f ( t ) が未知）を含む積分方程式は、超特異積分方程式と呼ばれます。超特異積分方程式は、破壊解析など、力学における多くの問題の定式化に用いられます。
例 発散積分を考えてみましょう。 その コーシー主値 も発散します。 なぜなら 、この発散積分に有限の値を割り当てるには、次のように考えることができます。 内側のコーシー主値は次のように与えられます
。したがって、 この値は、明らかに常に正である曲線 y ( t ) = 1/ t 2 の下の面積を表すものではないことに注意してください。しかし、これがどこから来るのかは明らかです。この積分のコーシー主値は、端点で評価すると、次の形になることを思い出してください。 ∫ − 1 1 1 t 2 d t = ( lim a → 0 − ∫ − 1 a 1 t 2 d t ) + ( lim b → 0 + ∫ b 1 1 t 2 d t ) = lim a → 0 − ( − 1 a − 1 ) + lim b → 0 + ( − 1 + 1 b ) = + ∞ {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\left(\lim _{a\to 0^{-}}\int _{-1}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)+\left(\lim _{b\to 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{a\to 0^{-}}\left(-{\frac {1}{a}}-1\right)+\lim _{b\to 0^{+}}\left(-1+{\frac {1}{b}}\right)=+\infty } C ∫ − 1 1 1 t 2 d t = lim ε → 0 + ( ∫ − 1 − ε 1 t 2 d t + ∫ ε 1 1 t 2 d t ) = lim ε → 0 + ( 1 ε − 1 − 1 + 1 ε ) = + ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t^{2}}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty } H ∫ − 1 1 1 t 2 d t = H ∫ − 1 1 1 ( t − x ) 2 d t | x = 0 = d d x ( C ∫ − 1 1 1 t − x d t ) | x = 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{(t-x)^{2}}}\,dt{\Bigg |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right){\Bigg |}_{x=0}} C ∫ − 1 1 1 t − x d t = lim ε → 0 + ( ∫ − 1 − ε 1 t − x d t + ∫ ε 1 1 t − x d t ) = lim ε → 0 + ( ln | ε + x 1 + x | + ln | 1 − x ε − x | ) = ln | 1 − x 1 + x | {\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t-x}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\ln \left|{\frac {\varepsilon +x}{1+x}}\right|+\ln \left|{\frac {1-x}{\varepsilon -x}}\right|\right)=\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|} H ∫ − 1 1 1 t 2 d t = d d x ( ln | 1 − x 1 + x | ) | x = 0 = 2 x 2 − 1 | x = 0 = − 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\left(\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|\right){\Bigg |}_{x=0}={\frac {2}{x^{2}-1}}{\Bigg |}_{x=0}=-2} lim ε → 0 + ( 1 ε − 1 − 1 + 1 ε ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }
無限要素を取り除くと、 残った 有限部分 は 1 ε {\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}} lim ε → 0 + ( − 1 − 1 ) = − 2 {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-1-1\right)=-2}
これは上記で導出された値に等しくなります。
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