ガンマ行列

Generators of the Clifford algebra for relativistic quantum mechanics

数理物理学において、ガンマ行列（ディラック行列とも呼ばれる）は、クリフォード代数の行列表現を確実に生成する特定の反交換関係を持つ従来の行列の集合である。より高次元のガンマ行列を定義することも可能である。ミンコフスキー空間における反変ベクトルに対する直交基底ベクトルの作用の行列として解釈すると、行列が作用する列ベクトルはスピノルの空間となり、その上に時空のクリフォード代数が作用する。これにより、無限小の空間回転やローレンツブーストを表現できるようになる。スピノルは一般に時空の計算を容易にし、特に相対論的スピン粒子のディラック方程式の基礎となる。ガンマ行列は1928年にポール・ディラックによって導入された。^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

ディラック表現では、4つの反変ガンマ行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$は時間的なエルミート行列です。他の3つは空間的な反エルミート行列です。より簡潔に言えば、および となります。ここで はクロネッカー積を表し、（j = 1, 2, 3の場合） はパウリ行列を表します。 ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ \otimes \ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

さらに、群論の議論では、単位行列（I ）が4つのガンマ行列に含まれることがあり、通常のガンマ行列と組み合わせて使用​​される 補助的な「5番目の」トレースレス行列があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

「第 5 行列」は、4 つのメイン セットの適切なメンバーではありません。名目上の左キラル表現と右キラル表現を区別するために使用されます。 ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

ガンマ行列は群構造、すなわちガンマ群を持ち、これは任意の次元、任意の計量の符号に対して、群のすべての行列表現によって共有されます。例えば、2×2パウリ行列は、ユークリッド符号(3, 0)の計量を持つ3次元空間における「ガンマ」行列の集合です。5次元時空においては、上記の4つのガンマと、以下に示す5番目のガンマ行列はクリフォード代数を生成します。

数学的構造

ガンマ行列がクリフォード代数を生成するための定義的性質は反交換関係である。

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

ここで、中括弧は反交換子、は符号(+ − − −)を持つミンコフスキー計量、は4×4単位行列を表します。 ${\displaystyle \ \{,\}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle I_{4}}$

この定義的性質は、ガンマ行列の特定の表現に用いられる数値よりも基本的なものである。 共変ガンマ行列は次のように定義される。

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

アインシュタイン表記法が想定されます。

メトリックの他の符号規則(- + + +)では、定義式の変更が必要になることに注意してください。

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

あるいは、すべてのガンマ行列に を掛け合わせることで、当然ながら以下に詳述するエルミート性の性質が変化する。計量の代替符号規則の下では、共変ガンマ行列は次のように定義される。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}~.}$

物理構造

時空V上のクリフォード代数は、 Vからそれ自身への実線型作用素の集合End( V )と見なすことができます。より一般的には、複素化して任意の4次元複素ベクトル空間からそれ自身への線型作用素の集合と見なすことができます。より簡単に言えば、V の基底が与えられた場合、はすべての4×4複素行列の集合ですが、クリフォード代数構造を備えています。時空はミンコフスキー計量η _μνを備えていると仮定します。また、時空のあらゆる点にビスピノル空間U _xが想定され、ローレンツ群のビスピノル表現が備えられています。時空の任意の点xで評価されたディラック方程式のビスピノル場Ψ は、 U _xの要素です（以下を参照）。クリフォード代数はU _xにも作用すると仮定されます（すべてのxに対して、 U _xの列ベクトルΨ( x )との行列乗算によって）。これは、このセクションの要素の主なビューになります。 ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

U _xの各線型変換Sに対して、 End( U _x )の変換がEに対してSES ⁻¹で与えられます。Sがローレンツ群の表現に属する場合、誘導作用E ↦ SES ⁻¹もローレンツ群の表現に属します。ローレンツ群の表現論を参照してください。 ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

S(Λ)が、 Vに作用する標準 (4 ベクトル) 表現における任意のローレンツ変換ΛのU _xに作用するビスピノル表現である場合、対応する演算子が存在し、その演算子は次の式で与えられます。 ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

γ ^μの量は、クリフォード代数の内部に位置するローレンツ群の4 ベクトル表現の表現空間の基底として見ることができることを示しています。最後の恒等式は、指数表記で表された不定直交群に属する行列の定義関係として認識できます。これは、 ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

は操作において4次元ベクトルとして扱われるべきである。これはまた、 γ上の添え字は、他の4次元ベクトルと同様に、計量η _μνを用いて増減できることも意味する。この記法はファインマンスラッシュ記法と呼ばれる。スラッシュ演算は、 Vまたは任意の4次元ベクトル空間の基底e _μを基底ベクトルγ _μに写像する。スラッシュされた量の変換規則は単純である。

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

これは、現在（固定の）基底ベクトルとして扱われているγ ^μの変換規則とは異なることに注意すべきである。文献で時折見られる 4 組を 4 ベクトルと呼ぶことは、やや誤りである。後者の変換は、斜線で区切られた量の成分を基底γ ^μに関して能動的に変換することに対応し、前者は基底γ ^μ自体を受動的に変換することに対応する。 ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

元はローレンツ群のリー代数の表現を形成する。これはスピン表現である。これらの行列やそれらの線形結合をべき乗すると、ローレンツ群のビスピノル表現となる。例えば、上記のS(Λ)はこの形式である。6次元空間σ ^μνスパンは、ローレンツ群のテンソル表現の表現空間である。クリフォード代数の高次元全般とその変換規則については、ディラック代数の項を参照のこと。ローレンツ群のスピン表現は、スピン群Spin(1, 3) (実数、非荷電スピノルの場合) および複素化スピン群Spin(1, 3) (荷電(ディラック)スピノルの場合) に符号化される。 ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

ディラック方程式の表現

自然単位では、ディラック方程式は次のように書ける。

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

ディラックスピノルはどこにありますか。 ${\displaystyle \ \psi \ }$

ファインマン記法に切り替えると、ディラック方程式は

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

5番目の「ガンマ」行列は、γ⁵

4つのガンマ行列の積を と定義すると便利 です ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$（ディラック基底において）。

文字 gamma を使用していますが、 のガンマ行列の 1 つではありません。インデックス番号 5 は古い表記法の名残で、以前は " " と呼ばれていました。 ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$代替形式もあります:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

慣習を使用するか、 ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

慣例を用いた証明: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

これは、4つのガンマ行列がすべて反交換であるという事実を利用することでわかる。

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

ここでは4次元の(4,4)型一般化クロネッカーデルタであり、完全反対称化である。 がn次元のレヴィ・チヴィタ記号を表す場合、恒等式 を用いることができる。そして、慣例を用いると、 ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=-\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

この行列は量子力学的カイラリティの議論に役立ちます。例えば、ディラック場は次のように左手系と右手系の成分に投影することができます。

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

いくつかの性質は次のとおりです。

• エルミート行列である。

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• 固有値は±1です。理由は以下のとおりです

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• これは 4 つのガンマ行列と反交換します。

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

実際、とは の固有ベクトルである。 ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$そして ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

5次元

奇数次元のクリフォード代数は、1次元少ないクリフォード代数の2つのコピー、つまり左コピーと右コピーのように振舞う。[ 3 ] ^{: 68}したがって、ちょっとしたトリックを使って、 i  γ ^{5 を} 5次元のクリフォード代数の生成元の1つとして再利用することができる。この場合、集合{ γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ }は、最後の2つの特性（i ² ≡ −1であることに留意）と「古い」ガンマの特性により、計量シグネチャ(1,4)に対する5 時空次元のクリフォード代数の基礎を形成する。^[a]  。^{[4] : 97}計量シグネチャ(4,1)では、 { γ0 ^、γ1、^γ2、^γ3、^γ5 }の集合が使われます。ここで、γμは⁽ 3,1)シグネチャに適切なものです。^{[5]このパターンは}、すべてのn≥1に対して、時空次元2nが偶数次元、次の奇数次元2n +1^で繰り返されます。^{[6] : 457} 詳細については、高次元ガンマ行列を参照してください。

恒等式

以下の恒等式は基本的な反交換関係から導かれるため、任意の基底において成立します（ただし最後の恒等式は の符号の選択に依存します）。 ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

その他の恒等式

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

証明

標準的な反交換関係をとる ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.}$ この状況を、次のメトリックを使用して同様に見せることができます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }}$ （対称） ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)}$ （展開） ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)}$ （右側の項のラベル変更） ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

証明
1.の証明と同様に、再び標準的な反交換関係から始めます ${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

証明

示すために ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.}$ 反交換子を使って右に シフトします ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.}$ この関係式を使うと、最後の2つのガンマを縮約して、 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$ ${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$ ${\displaystyle =2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.}$ 最後に反交換子の恒等式を使って、 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

証明

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,}$（反交換子恒等式） ${\displaystyle =2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,}$（恒等式3を使用） ${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }}$（指数の累乗） ${\displaystyle =2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }}$（反交換子恒等式） ${\displaystyle =-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$（2学期キャンセル）

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

証明

の場合、およびの場合、 本人確認は容易です。また、、またはの場合も同様です ${\displaystyle \mu =\nu =\rho }$ ${\displaystyle \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0}$ ${\displaystyle \mu =\nu \neq \rho }$ ${\displaystyle \mu =\rho \neq \nu }$ ${\displaystyle \nu =\rho \neq \mu }$ 一方、3つの添字がすべて異なる場合、、およびの両辺は完全に反対称です。左辺は行列の反可換性により、右辺は の反対称性によります。したがって、、、 の場合の恒等式を検証すれば十分です。 ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \rho }=0}$ ${\displaystyle \eta ^{\nu \rho }=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$ ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}}$

6.どこ ${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

証明

と両辺は0となる。そうでない場合、恒等式5を右から掛けると、 ${\displaystyle \ \nu =\rho \ ,}$ ${\displaystyle \ \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0\ }$ ${\displaystyle \ \gamma _{\mu }\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle =\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,}$ ${\displaystyle =\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+4\eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,}$（指数を上げて恒等式1を使う） ここで、 である。この式の左辺も性質3により消える。整理すると、 ${\displaystyle 4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0}$ ${\displaystyle \nu \neq \rho }$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$ ${\displaystyle =i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,}$ ${\displaystyle =-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }\,}$（ガンマ行列と反交換するため） ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ （ の場合、は標準反交換関係により消滅する）であることに注意する。したがって、 ${\displaystyle 2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]}$ ${\displaystyle \sigma \neq \mu }$ ${\displaystyle \sigma =\mu }$ ${\displaystyle \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle -[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]}$ ${\displaystyle =-{\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,}$ 左から掛け算してそれを使用すると、目的の結果が得られます。 ${\displaystyle \ -{\tfrac {i}{2}}\gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}\ }$

トレース恒等式

ガンマ行列は以下のトレース恒等式に 従う

1. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
2. 奇数の積のトレースはゼロである ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
3. 奇数の積の痕跡は依然としてゼロである ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
8. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

上記を証明するには、トレース演算子の 3 つの主な特性を使用する必要があります。

• tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
• tr( rA ) = r tr( A )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

1の証明

ガンマ行列の定義から、 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I}$ 次式を得る ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I}$ または同等に、 ${\displaystyle {\frac {\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }{\ \eta ^{\mu \mu }\ }}=I\ }$ ここでは数値、は行列です ${\displaystyle \ \eta ^{\mu \mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$（恒等式を挿入し、tr( r A) = r tr(A)を使用します。） ${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })}$（反交換関係から、そして我々は自由に選択できることを前提としている） ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$（tr(ABC) = tr(BCA)を使用） ${\displaystyle =-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })}$（アイデンティティを削除） これは ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0}$

2の証明

示すために ${\displaystyle \operatorname {tr} ({\text{odd num of }}\gamma )=0}$ まず、次の点に注意してください ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.}$ また、5 番目のガンマ行列に関する次の 2 つの事実も使用します。 ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }}$ では、これら2つの事実を用いて、最初の非自明なケース、すなわち3つのガンマ行列のトレースの恒等式を証明してみましょう。ステップ1では、元の3つの の前にのペアを1つ追加し、ステップ2では、トレースの循環性を利用して、行列を元の位置に戻します。 ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)}$（tr(ABC) = tr(BCA)を使用） ${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$（反通勤3回） ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ これは、 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0}$ 2n + 1（nは整数）ガンマ行列への拡張は、例えばトレース内の2n番目のガンマ行列の後に2つのガンマ5を配置し、一方を右に転置（マイナス符号を付与）し、もう一方を2nステップ左に転置（符号変更は(-1)^2n = 1）することで実現できます。次に、巡回恒等式を用いて2つのガンマ5を結合し、その結果、それらは恒等式に平方され、トレースはマイナス自身、つまり0になります。

3の証明
トレースに奇数のガンマ行列が出現し、その後に が続く場合、目標は右側から左側に移動することです。これにより、巡回性によりトレースは不変になります。この移動を行うには、他のすべてのガンマ行列と反交換する必要があります。つまり、奇数回反交換し、マイナス符号を付けるということです。トレースがそれ自身の負の数に等しい場合、トレースはゼロでなければなりません ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

4の証明

示すために ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$ まず、 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)+\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\right)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }}$

5の証明

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)}$ ${\displaystyle =2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)}$ 右側の用語については、左側の隣の用語と入れ替えるパターンを続けます。 ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)}$ 再び、右側の項を左側の項と入れ替えると、 ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ ${\displaystyle =2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)}$ 式(3)は式(2)の右辺の項であり、式(2)は式(1)の右辺の項です。また、恒等式3を用いて項を次のように簡略化します。 ${\displaystyle 2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.}$ 最終的に式（1）にこの情報をすべて代入すると、 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$ ${\displaystyle -\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)}$ トレース内の項は循環することができるので、 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).}$ つまり、（4）は ${\displaystyle 2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$ または ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$

6の証明

示すために ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0}$、 で始まる ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)}$ （なぜなら） ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}}$ ${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)}$ （反通勤） ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)}$ （トレース内の項を回転する） ${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$ （を削除） ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ 上記の両辺に追加すると ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$ ${\displaystyle 2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0}$。 さて、このパターンは次のように示すこともできます。 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$。 ととは異なるの2つの因数を単に足し合わせます。マイナス記号を3つ取って、1回ではなく3回反交換し、トレースの循環性を使って循環させます ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ つまり、 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$。

7の証明

7の恒等式の証明については、(0123)の何らかの順列で4つのガンマがすべて出現しない限り、同じトリックが機能します。反交換規則は、添え字の2つを交換するとトレースの符号が変わることを意味するため、はに比例する必要があります。比例定数はであり、を代入し、を書き出し、恒等式のトレースが4であることを思い出すこと で確認できます ${\displaystyle \left(\mu \nu \rho \sigma \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)}$ ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)}$ ${\displaystyle 4i}$ ${\displaystyle (\mu \nu \rho \sigma )=(0123)}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

8の証明

ガンマ行列の積を と表す。のエルミート共役を考える ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{\dagger }}$ ${\displaystyle =\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }}$ ${\displaystyle =\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}}$ （ガンマ行列を と共役すると、以下に説明するようにエルミート共役が生成される） ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle =\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}}$ （最初と最後のものを除くすべてのsがドロップアウトします） ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ をもう一度活用して2つのsを取り除くと、は の逆であることがわかります。さて、 ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)}$ ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)}$ （トレースは相似変換に対して不変であるため） ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)}$ （トレースは転置に対して不変であるため） ${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)}$ （ガンマ行列の積のトレースは実数なので）

正規化

ただし、ガンマ行列は、上記の反交換関係によって制限される追加のエルミート条件を課して選択できます

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$、と互換性がある ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

他のガンマ行列（ k = 1, 2, 3）については

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$、と互換性がある ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

これらの隠蔽関係がディラック表現に当てはまることはすぐに確認できます。

上記の条件は、次のような関係で組み合わせることができる。

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

ローレンツ変換はローレンツ群の非コンパクト性により必ずしもユニタリ変換ではないため、エルミート性条件はローレンツ変換の作用に対して不変ではない。 ^[要出典] ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\Lambda )}$

電荷共役

任意の基底における電荷共役演算子は次のように定義されます

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

ここで、は行列の転置を表す。 が取る明示的な形は、ガンマ行列に選択された特定の表現に依存し、任意の位相因子を除けば、依存する。これは、荷電共役はガンマ群の自己同型ではあるが、群の内部自己同型ではないためである。共役行列は存在するが、表現に依存する。 ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$

表現に依存しない恒等式には以下が含まれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

荷電共役演算子もユニタリであり、また任意の表現に対しても成り立ちます。ガンマ行列の表現が与えられた場合、荷電共役演算子の任意の位相係数は、以下に示すディラック表現、カイラル表現、マヨラナ表現として知られる一般的な4つの表現の場合のように、 常にとなるように選択できるとは限りません ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{\textsf {T}}=-C}$ ${\displaystyle C^{\dagger }=C^{\textsf {T}}}$

ファインマンスラッシュ記法

ファインマンスラッシュ記法は次のように定義されます

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

任意の 4 ベクトルに対して。 ${\displaystyle a}$

以下は、上記と似たものですが、スラッシュ表記を含むアイデンティティです。

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^[7]

  ここではレヴィ・チヴィタ記号であり、実際には の奇数の積のトレースはゼロであり、したがって ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$nが奇数の場合。^[8]

多くは、スラッシュ表記法を展開し、ガンマ行列に関して適切な恒等式を持つ形式の表現を縮小することから直接得られます。 ${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

その他の表現

行列は、2×2の単位行列、、、を 使って表されることもあります ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

ここで、k は1 から 3 までの値をとり、σ ^kはパウリ行列です。

ディラック基底

これまで記述してきたガンマ行列は、ディラック基底で記述されたディラックスピノルに作用するのに適しています。実際、ディラック基底はこれらの行列によって定義されます。まとめると、ディラック基底では次のようになります。

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

またはクロネッカー積を使う:

${\displaystyle \gamma ^{0}=(\sigma ^{3}\otimes I_{2}),\quad \gamma ^{k}=(-i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{k}),\quad \gamma ^{5}=(\sigma ^{1}\otimes I_{2})~.}$

ディラック基底では、荷電共役演算子は実反対称であり、^{[9] : 691–700}

${\displaystyle C_{D}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

ワイル（カイラル）基底

もう一つの一般的な選択肢は、ワイル基底またはカイラル基底です。これは、同じままですが、異なり、したがって、も異なり、対角です ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

またはより簡潔な表記では次のようになります。

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

ワイル基底の利点は、そのカイラル射影が単純な形をとることである。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

カイラル射影のべき等性は明白です。

表記法を少し乱用して記号を再利用すること で、 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

ここで、 とは左手と右手の 2 成分 Weyl スピノルです。 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

この基底における荷電共役演算子は実反対称であり、

${\displaystyle C_{W}=UC_{D}U^{\text{T}}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

ワイル基底はディラック基底から次のように得られる。

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

ユニタリ変換を介して

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

ワイル（カイラル）基底（代替形式）

ワイル基底のもう一つの可能​​な選択肢^[10]は

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

カイラル射影は他のワイルの選択とは少し異なる形をとる。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

言い換えれば、

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

ここで、とは、前述と同様に、左手系と右手系の2成分ワイルスピノルです ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

この基底における電荷共役演算子は

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

この基底は、上記のディラック基底からユニタリ変換によって得られる。 ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

マヨラナ基底

マヨラナ基底も存在します。これは、すべてのディラック行列が虚数で、スピノルとディラック方程式が実数です。パウリ行列を用いると、基底は次のように表すことができます

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

ここで、は電荷共役行列であり、上で定義したディラック バージョンと一致します。 ${\displaystyle C}$

すべてのガンマ行列を虚数にする理由は、質量の二乗が正となる素粒子物理学の計量(+, −, −, −)を得るためだけである。しかし、マヨラナ表現は実数である。 を因数分解することで、4つの成分の実スピノルと実ガンマ行列を持つ異なる表現を得ることができる。 を因数分解した結果、実ガンマ行列を持つ計量としては(−, +, +, +)のみが考えられる。 ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$

マヨラナ基底は、上記のディラック基底からユニタリ変換 によって得られる。 ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Cl_1,3(C) と Cl_1,3(R)

ディラック代数は、実代数Cl _1,3 ( )の複素化、つまり時空代数と呼ばれるものとみなすことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) は Cl _1,3 ( )と異なります。Cl _1,3 ( )では、ガンマ行列とその積の実線形結合のみが許可されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

2点指摘しておくべき点がある。クリフォード代数、 Cl _1,3 ( ) および Cl ₄ ( ) は同型である。クリフォード代数の分類を参照。これは、時空計量の基底となる符号が、複素化に移行すると符号 (1,3) を失うためである。しかし、双線型形式を複素標準形式に変換するために必要な変換はローレンツ変換ではないため、「許容されない」（少なくとも非現実的である）とされる。なぜなら、すべての物理学はローレンツ対称性と密接に結びついており、それを明示的に保つことが望ましいからである。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

幾何代​​数の支持者は、可能な限り実代数を扱おうと努める。彼らは、物理方程式における虚数単位の存在を特定することは一般的に可能であり（そして多くの場合、啓発的でもある）、そのような単位は実クリフォード代数における多くの量のうち、平方値が-1となるものの一つから生じ、代数の性質とその様々な部分空間の相互作用により幾何学的な意味を持つ。これらの支持者の中には、ディラック方程式の文脈において追加の虚数単位を導入することが必要かどうか、あるいはそもそも有用かどうかについても疑問を呈する者もいる。^{[11] : x–xi}

リーマン幾何学の数学では、任意の次元p,qに対してクリフォード代数 Cl _p,q ( ) を定義するのが慣例です。ワイル スピノルは、スピン グループの作用によって変換します。スピン グループ の複素化は、スピン グループと円の積です。この積は、と同一視するための単なる表記法です。このことの幾何学的な点は、ローレンツ変換によって共変となる実スピノルを、電磁相互作用のファイバーと同一視できる成分から解きほぐすことです。 は、パリティと電荷共役を、ディラック粒子/反粒子状態 (ワイル基底におけるカイラル状態と同等) を関連付けるのに適した方法でエンタングルメントしています。ビスピノル は、左右の成分が線形独立である限り、電磁場と相互作用することができます。これは、マヨラナスピノルやELKOスピノル（固有スピノル、すなわち電気的に中性）とは対照的である。これらは、複素化から生じる部分と相互作用しないようにスピノルを明示的に制約しているため、相互作用することができない（つまり電気的に中性である） 。ELKOスピノルは、ルネストクラス5のスピノルである。^{[12] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

しかし、現代の物理学の実践では、時空代数ではなくディラック代数が、ディラック方程式のスピノルが「存在する」標準的な環境であり続けています。

その他の表現に依存しない性質

ガンマ行列は、 の固有値、 の固有値で対角化可能です ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \gamma ^{k}}$

証明
これは について証明でき、 についても同様に成り立ちます。書き直すと ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$ ${\displaystyle (\gamma ^{0})^{2}=+1}$ として ${\displaystyle (\gamma ^{0}+1)(\gamma ^{0}-1)=0.}$ 線型代数学におけるよく知られた結果により、これは、固有値を持つ対角基底が存在することを意味します ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$

特に、これは が同時にエルミートかつユニタリであり、 が同時に反エルミートかつユニタリであることを意味します。 ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

さらに、各固有値の多重度は 2 です。

証明
がの固有ベクトルである場合、 は反対の固有値を持つ固有ベクトルです。そして、 の乗算によって関係付けられる場合、固有ベクトルは対になることができます。結果は、 の場合も同様です。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{1}v\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{1}~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{i}~.}$

より一般的には、が空でない場合、同様の結果が成り立ちます。具体性のため、正ノルムの場合に限定します。負の場合も同様です。 ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

証明
表示できる ${\displaystyle p\!\!\!/^{2}=m^{2}\ ,}$ したがって、最初の結果と同じ議論により、は固有値で対角化可能である。2番目の結果に対する議論を少し変更することができる。直交する非零ベクトルを選択する。そして、固有ベクトルは、乗算によって関係付けられる場合、同様に対角化することができる。 ${\displaystyle \ p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ \pm m~.}$ ${\displaystyle \ q_{\mu }\ }$ ${\displaystyle p_{\mu }~.}$ ${\displaystyle \ q\!\!\!/~.}$

したがって、（つまり、左側の核の）解空間は次元 2 になります。つまり、ディラック方程式の平面波解の解空間は次元 2 になります。 ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

この結果は、質量ゼロのディラック方程式にも当てはまります。言い換えれば、ゼロであれば、ゼロ性2を持ちます。 ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$

証明

ヌルベクトルの場合、一般化固有値分解により、これはある基底において、固有値が0のジョルダンブロックの対角要素として表すことができます。0、1、または2つのブロックがあり、他の対角要素は0です。これは2ブロックの場合です。ゼロの場合は、の線形独立性により、次の式が成り立つはずであるため、不可能です。しかし、ヌルベクトルは定義により非ゼロです。のゼロ固有ベクトルとを考えてみましょう。もヌルであり、 次の式を満たすことに注意してください ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/p\!\!\!/=0.}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=0\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ p_{\mu }=0~.}$ ${\displaystyle (q_{\mu })=(|\mathbf {p} |,-\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$ ${\displaystyle q_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4|\mathbf {p} |.-(*)}$ ならば、同時に の零固有ベクトルとなることはできない（*）。 を考慮すると、 を適用すると が得られる 。したがって、再スケーリング後、とはジョルダンブロックとなる。これはペアリングを与える。 の別の零固有ベクトルが存在する必要がある。 ${\displaystyle p\!\!\!/v=0}$ ${\displaystyle q\!\!\!/}$ ${\displaystyle q\!\!\!/v}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$ ${\displaystyle p\!\!\!/q\!\!\!/v=4|\mathbf {p} |v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q\!\!\!/v}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$、これを使用して 2 番目のジョーダン ブロックを作成できます。 これらのペアには心地よい構造もある。左矢印が の適用、右矢印が の適用に対応し、 が の零固有ベクトルである場合、スカラー因子を除いて、 ${\displaystyle p\!\!\!/}$ ${\displaystyle q\!\!\!/}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$ ${\displaystyle 0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0}$。

ユークリッド・ディラック行列<e​​xtra_id_1>

カイラル表現

ユークリッドクリフォード代数が

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

出現する。また、カイラル基底を用いる格子QCDコードのように、行列の1つに挿入する変種が存在することも注目に値する。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

ユークリッド空間において、 ${\displaystyle -i}$

反交換子を用い、ユークリッド空間においてであることに注目すると、次のことが示される

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

ユークリッド空間のカイラル基底では、 ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

これはミンコフスキー版から変更されていません。

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

非相対論的表現

脚注

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Footnotes

1. a = (0, 1, 2, 3, 4)を持つ行列のセット(Γ ^a ) = ( γ ^μ , i γ ⁵ )は、 5 次元クリフォード代数{Γ ^a , Γ ^b } = 2  η ^{ab を満たします。}

参照

• 物理学ポータル

• パウリ行列
• ゲルマン行列
• 高次元ガンマ行列
• フィールズ恒等式
• 時空代数

引用文献

1. Kukin 2016.
2. Lonigro 2023
3. ジョスト 2002.
4. Tong 2007、これらの量子場理論入門ノートは、パート III (修士レベル) の学生向けです。
5. ワインバーグ 2002、§5.5。
6. de Wit & Smith 2012.
7. ファインマン, リチャード・P. (1949). 「量子電磁力学への空間時間アプローチ」.フィジカル・レビュー. 76 (6): 769– 789.書誌コード:1949PhRv...76..769F. doi :10.1103/PhysRev.76.769 – APS経由.
8. カプルノフスキー 2008.
9. イツィクソン＆ズーバー 2012.
10. カク 1993.
11. ヘステネス 2015.
12. ロドリゲス＆オリベイラ 2007.

参考文献

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• ヘステネス、デイヴィッド (2015). 時空間代数. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. ISBN 978-3-319-18412-8。
• イツィクソン、クロード、ズーバー、ジャン＝ベルナール（2012年9月20日）。『場の量子論』クーリエ社。付録A。ISBN 978-0-486-13469-7。
• ヨスト、ユルゲン (2002). リーマン幾何学と幾何学解析. シュプリンガー. p. 68, 系1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1。
• 加来道雄 (1993). 『場の量子論：現代入門』オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-509158-8。
• カプルノフスキー、ヴァディム (2008). 「トレースロジー」(PDF) . 量子場の理論 (宿題／授業ノート). 物理学部.テキサス大学オースティン校. オリジナル(PDF)から2019年11月13日にアーカイブ

• Kukin, VD (2016). 「ディラック行列 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2023年11月2日閲覧。

• ロニグロ, ダヴィデ (2023). 「任意の空間次元におけるディラック方程式の次元縮小」.ヨーロッパ物理学ジャーナルプラス. 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Bibcode :2023EPJP..138..324L. doi :10.1140/epjp/s13360-023-03919-0.
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• ワインバーグ, S. (2002). 『場の量子論』第1巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-55001-7– インターネットアーカイブ (archive.org) より

• Zee, A. (2003). 『量子場の理論を一言で表すと』プリンストン大学出版局, ニュージャージー州, プリンストン, プリンストン大学出版局. 第II章.1. ISBN 0-691-01019-6。

外部リンク

• Mathworldにおけるディラック行列とその群特性
• GroupNames上の抽象群としてのディラック行列
• 「ディラック行列」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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