有向セット

Mathematical ordering with upper bounds

数学において、有向集合（または有向順序集合、フィルタ集合）は、すべての有限部分集合が上限 を持つような順序付き集合である。^[1]言い換えれば、任意の および に対して、 およびとなるが存在するような空でない順序付き集合である。^[a]有向集合の順序は方向と呼ばれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c}$

上記で定義された概念は、上向きの集合。A下向き有向集合は対称的に定義され、^[2]、すべての有限部分集合には下限値が。^[3]一部の著者（および本稿）は、特に断りのない限り、有向集合は上向きであると仮定する。他の著者は、集合が上向きと下向きの両方に有向である場合に限り、その集合を有向集合と呼ぶ。^[4]

有向集合は、空でない全順序集合の一般化である。つまり、すべての全順序集合は有向集合である（有向である必要がない半順序集合とは対照的である）。結合半格子（半順序集合である）も有向集合であるが、その逆は成り立たない。同様に、格子は上向きにも下向きにも有向集合である。

位相幾何学において、有向集合はネットを定義するために用いられ、ネットは数列を一般化し、解析学で用いられる様々な極限の概念を統合する。また、有向集合は抽象代数や（より一般的には）圏論において直接的な極限を導き出す。

例

通常の順序を持​​つ自然数 の集合は、有向集合の最も重要な例の一つである。すべての全順序集合は有向集合であり、これには以下が含まれる。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\geq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$

有向でない半順序集合の (自明な) 例としては、順序関係が と のみである集合が挙げられます。それほど自明ではない例としては、次に示す「 に向けられた実数」の例がありますが、この集合では順序付け規則は の同じ側にある要素のペアにのみ適用されます(つまり、の左側とその右側にある要素を取ると、とは比較できず、サブセットには上限がありません)。 ${\displaystyle \{a,b\},}$ ${\displaystyle a\leq a}$ ${\displaystyle b\leq b.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$

有向集合の積

とを有向集合とする。すると、直積集合は、と が成り立つとき、かつ が成り立つときのみ定義することで有向集合にすることができる。積の順序と同様に、これは直積における積の方向である。例えば、自然数のペアの集合は、と が成り立つときのみ定義することで有向集合にすることができる。 ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$ ${\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}$

ある点に向けられた

が実数の場合、 を定義することで、この集合を有向集合に変換できます（つまり、「より大きな」元が に近くなります）。このとき、実数が に向けられていると言えます。これは、 が部分的にも完全にも順序付けられていない有向集合の例です。これは、とが の反対側にある場合、から等距離にあるすべてのペアで反対称性が破れるためです。明示的に、これはの実数に対してのときに発生します。この場合、であっても となります。この前順序が ではなく で定義されていた場合、それでも有向集合を形成しますが、今度は（一意の）最大元、具体的にはを持つことになります。ただし、それでも部分的には順序付けられません。この例は、または前順序を で定義することで距離空間に一般化できます。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle b\leq _{I}a}$ ${\displaystyle a\neq b.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}$

最大かつ最も偉大な要素

順序付き集合の元が最大元であるとは、任意の元が^{[b]であることを意味するときである。任意の元が}最大元であるとは、任意の元が ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle j\leq m.}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle j\leq m.}$

最大元を持つ任意の順序付き集合は、同じ順序を持つ有向集合である。例えば、半集合において、元 のすべての下閉包、つまり が固定元である形のすべての部分集合は有向である。 ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P,}$

有向順序付き集合のすべての最大元は最大元である。実際、有向順序付き集合は、最大元と最大元（空である可能性もある）の集合が等しいという特徴を持つ。

サブセットの包含

部分集合包含関係は、その双対関係とともに、任意の集合族における半順序を定義する。空でない集合族が半順序（それぞれ、 ）に関して有向集合となる場合、かつその任意の2つの要素の積（それぞれ、和）が、3番目の要素を部分集合として含む場合（それぞれ、が の部分集合として含まれる場合）は、かつその場合に限る。記号において、集合族が（それぞれ、 ）に関して有向となる場合、かつその場合に限る。 ${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

すべてに対して、および（それぞれ、および）となるものが存在する。 ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\supseteq C}$ ${\displaystyle B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$

あるいは同等に、

すべてのに対して、 となるようなものが存在する（それぞれ、）。 ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

これらの半順序付けを用いて、有向集合の多くの重要な例を定義できる。例えば、定義により、プレフィルタまたはフィルタ基底は、半順序付けに関して有向集合であり、かつ空集合を含まない空でない集合族である（この条件は自明性を阻止する。そうでなければ、空集合はに関して最大​​元となるからである）。すべてのπ系 は、その要素の任意の 2 つの交差に関して閉じた空でない集合族であり、 に関して有向集合である。すべてのλ 系 はに関して有向集合である。すべてのフィルタ、位相、およびσ 代数は、 と の両方に関して有向集合である。 ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$

網の尾

定義によれば、ネットは有向集合からの関数であり、シーケンスは自然数からの関数である。すべてのシーケンスは、以下のものを付与することでネットになる。 ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

が有向集合からの任意のネットである場合、任意のインデックスに対して、集合はから始まるの末尾と呼ばれます。すべての末尾の族はに関する有向集合であり、実際、それはプレフィルタでもあります。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,\supseteq ;\,}$

近隣地域

が位相空間であり、が のすべての近傍の集合内の点である場合、 は、が含まれる場合に限り、 と書くことで有向集合に変換できます。および の場合、次のようになります 。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle U\leq U}$それ自体が含まれているからです。 ${\displaystyle U}$
• ならば、そして、そして、それは従って ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle V\leq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle V\supseteq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq W.}$ ${\displaystyle U\leq W.}$
• なぜなら、そして、両方と、そして、そして、 ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ ${\displaystyle U\supseteq U\cap V}$ ${\displaystyle V\supseteq U\cap V,}$ ${\displaystyle U\leq U\cap V}$ ${\displaystyle V\leq U\cap V.}$

有限部分集合

集合のすべての有限部分集合の集合はに関して有向である。なぜなら、任意の 2 つの集合の和がおよびにおけるの上限となるからである。この特定の有向集合は、一般化された数の - インデックス付き集合の級数の合計(またはより一般的には、位相ベクトル空間のベクトルなどのアーベル位相群の要素の合計)を、部分和のネットの極限として定義するために使用される。 ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}$ ${\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}$ ${\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}$$

論理

を形式理論とします。これは特定の性質を持つ文の集合です（詳細はこのテーマに関する記事をご覧ください）。例えば、は一階理論（ツェルメロ・フランケル集合論など）や、より単純な零階理論とすることができます。 順序付き集合は有向集合です。なぜなら、 および が論理積によって形成される文を表す場合、およびがに関連付けられたリンデンバウム・タルスキー代数である場合 、は半順序集合であり、これもまた有向集合だからです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$ ${\displaystyle A,B\in S}$ ${\displaystyle C:=A\wedge B}$ ${\displaystyle \,\wedge ,\,}$ ${\displaystyle A\Leftarrow C}$ ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ ${\displaystyle C\in S.}$ ${\displaystyle S/\sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}$

半格子との対比

結合半格子ではない有向集合の例

有向集合は、（結合）半格子よりも一般的な概念です。すべての結合半格子は有向集合です。2つの要素の結合または最小の上限が目的の要素だからです。 ただし、逆は成り立ちません。ビット順に並べられた有向集合{1000,0001,1101,1011,1111}を例に挙げましょう（例えば、成り立ちますが、最後のビットが1 > 0なので成り立ちません）。ここで、{1000,0001}には3つの上限がありますが、最小の上限はありません（図を参照）。（また、1111がない場合、集合は有向ではないことにも注意してください。） ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle 1000\leq 1011}$ ${\displaystyle 0001\leq 1000}$

有向部分集合

有向集合における順序関係は反対称である必要はないので、有向集合は必ずしも半順序とは限らない。しかし、有向集合という用語は、半順序集合の文脈でも頻繁に用いられる。この設定では、半順序集合の部分集合は、同じ半順序に従う有向集合である場合、有向部分集合と呼ばれる。言い換えれば、それは空集合ではなく、すべての要素のペアに上限がある。ここで、 の要素における順序関係はから継承される。このため、反射性や推移性は明示的に要求される必要はない。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

半集合の有向部分集合は下向きに閉じている必要はありません。半集合の部分集合が有向となるのは、その下向きの閉包がイデアルである場合に限ります。有向集合の定義は「上向き」の集合（すべての要素のペアに上限がある）ですが、すべての要素のペアに共通の下限がある下向きの集合を定義することもできます。半集合の部分集合が下向きとなるのは、その上向きの閉包がフィルターである場合に限ります。

有向部分集合は、有向完全半順序を研究する領域理論において用いられる。^[5]これらは、すべての上向き有向集合が最小上界を持つことが求められる半集合である。この文脈において、有向部分集合は収束列の一般化を再び提供する。^{[更なる説明が必要]}

参照

• 中心集合 – 順序理論
• フィルタリングされたカテゴリ
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 連結集合 – （半）順序理論における半集合に関する数学的概念
• ネット（数学）  – 点列の一般化

注記

1. 「すべての有限部分集合には上限がある」による同等の定義では、空集合には上限が存在する必要があるため、集合は自動的に空でないことが要求されます。 ${\displaystyle A}$
2. これは、 が半順序集合である場合に であることを意味します。 ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$

脚注

1. ケリー1975、65ページ。
2. ロバート・S・ボーデン (1988). 『微積分上級講座』 クーリエ社. p. 20. ISBN 978-0-486-15038-3。
3. アーレン・ブラウン、カール・ピアシー (1995). 『解析入門』 シュプリンガー. p. 13. ISBN 978-1-4612-0787-0。
4. ジークフリート・カール、セッポ・ヘイッキラ (2010). 『順序集合における不動点理論とその応用：微分・積分方程式からゲーム理論へ』 シュプリンガー p. 77. ISBN 978-1-4419-7585-0。
5. Gierzら 2003年、2ページ。

引用文献

• ケリー, ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153。
• Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, M.; Scott, DS (2003).連続格子と領域. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511542725. ISBN 9780511542725. OCLC  7334257218。

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