距離設定

幾何学 において、点の集合の距離集合とは、異なる点のペア間の距離の集合である。したがって、これは差集合、すなわち数の集合における距離（およびその否定）の集合の一般化と見ることができる。

幾何学におけるいくつかの問題と結果は距離集合に関するもので、通常は点の大きな集合は大きな距離集合を持たなければならないという原則に基づいています (「大きい」の定義はさまざまです)。

  • ファルコナー予想とは、 -次元空間においてハウスドルフ次元がより大きい点の集合に対して、対応する距離集合は非零のルベーグ測度を持つという主張である。部分的な結果は知られているものの、この予想は未だ証明されていない。[ 1 ]
  • エルデシュ＝ウラム問題は、ユークリッド平面上に、距離集合が有理数のみからなる稠密集合が存在するかどうかを問うものである。これもまた未解決である。[ 2 ]
  • フェルマーの2平方和定理は、 2次元整数格子の距離集合内の数を特徴付ける。つまり、素因数分解したときに、3 mod 4に合同な素数の奇数個が含まれない整数の平方根である。同様に、ルジャンドルの3平方定理は3次元整数格子の距離集合を特徴付け、ラグランジュの4平方定理は4次元以上の整数格子の距離集合を追加の制約なしの整数の平方根として特徴付ける。5次元以上の格子では、格子の非ゼロの上密度を持つすべての部分集合には、無限等差数列の平方を含む距離集合がある。[ 3 ]
  • エルデシュ・アニングの定理によれば、ユークリッド平面上の一直線上にない点の無限集合は、その距離集合に整数でない値を持つ。[ 4 ]
  • 正方格子の点の距離集合は線形以下の大きさを持つが、これは一般位置の点の距離集合が2乗の大きさを持つのとは対照的である。しかし、ラリー・ガスとネッツ・カッツによる2015年のエルデシュの個別距離問題の解によれば、ユークリッド平面上の任意の有限点集合の距離集合はわずかに線形以下であり、与えられた集合とほぼ同じ大きさである。[ 5 ]特に、有限点集合のみが有限距離集合を持つことができる。
  • ゴロム定規とは、直線上の点の有限集合であり、2つの点のペアの距離が同じになることはありません。ソフィー・ピカールは、2つのゴロム定規の距離集合が同じになることはないと主張しました。この主張は誤りですが、反例が1つだけあります。それは、距離集合を共有する6点のゴロム定規のペアです。[ 6 ]
  • 計量空間の正次元とは、距離集合が単一の要素のみを持つ点の集合の最大の大きさである。クズナー予想によれば、マンハッタン距離を持つ次元空間の正次元はちょうど であるが、これは未だ証明されていない。[ 7 ]
  • 2距離集合とは、互いに異なる距離の集合の濃度がちょうど2であるような点の集合である。2距離集合の例としては、正八面体の頂点の集合が挙げられる。2距離集合については、次元4におけるすべての2距離集合の分類など、様々な結果が得られている。[ 8 ]すべての2距離集合は二等辺集合、すなわちすべての三角形が二等辺三角形である集合である。逆の意味で、2つの垂直な部分空間に分解できないすべての二等辺集合は2距離集合である。[ 9 ]
  • 普遍弦定理は、任意の実関数に対して、関数の準位集合の距離集合が整数による除算に対して閉じていることを述べています。

距離セットはコンピュータビジョンにおける形状記述子としても利用されている。[ 10 ]

参照

参考文献

  1. ^ Arutyunyants, G.; Iosevich, A. (2004)、「ファルコナー予想、球面平均、離散類似」、Pach, János (編)、『幾何学グラフ理論に向けて』、Contemp. Math.、vol. 342、Amer. Math. Soc.、Providence、RI、pp.  15– 24、doi : 10.1090/conm/342/06127、ISBN 978-0-8218-3484-8、MR  2065249
  2. ^クリー、ビクター、ワゴン、スタン（1991年）「問題10 平面は稠密な有理集合を含むか？」『平面幾何学と数論における古くて新しい未解決問題』ドルチアーニ数学解説集、第11巻、ケンブリッジ大学出版局、  132～ 135頁、ISBN 978-0-88385-315-3。
  3. ^ Magyar, Ákos (2008)、「整数点の大きな集合の距離集合について」、Israel Journal of Mathematics、164 : 251–263、doi : 10.1007/s11856-008-0028-z、MR 2391148、S2CID 17629304  
  4. ^アニング、ノーマン・H.;エルデシュ、ポール(1945)、「積分距離」、アメリカ数学会報、51 (8): 598– 600、doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9。
  5. ^ Guth, Larry; Katz, Nets Hawk (2015)、「平面におけるエルデシュの個別距離問題について」、Annals of Mathematics、181 (1): 155– 190、arXiv : 1011.4105、doi : 10.4007/annals.2015.181.1.2、MR 3272924、S2CID 43051852  
  6. ^ Bekir, Ahmad; Golomb, Solomon W. (2007)、「S. Piccardの定理に対する反例は他にはない」、IEEE Transactions on Information Theory、53 (8): 2864– 2867、Bibcode : 2007ITIT...53.2864B、doi : 10.1109/TIT.2007.899468、MR 2400501、S2CID 16689687  
  7. ^クーレン、ジャック、ローラン、モニーク、シュライバー、アレクサンダー（2000年）「直線空間の正三角形の次元」、デザイン、コード、暗号化、21（1）：149–164、doi：10.1023/A：1008391712305、MR 1801196、S2CID 9391925  
  8. ^ Szöllösi, Ferenc (2018), 「次元4における2距離集合」、Akiyama, Jin ; Marcelo, Reginaldo M.; Ruiz, Mari-Jo P. ; Uno, Yushi (eds.), Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games - 21st Japanese Conference, JCDCGGG 2018, Quezon City, Philippines, September 1-3, 2018, Revised Selected Papers , Lecture Notes in Computer Science, vol. 13034, Springer, pp.  18– 27, arXiv : 1806.07861 , doi : 10.1007/978-3-030-90048-9_2 , ISBN 978-3-030-90047-2、MR  4390269
  9. ^ Blokhuis, A. (1983)、「第7章 二等辺点集合」、Few-Distance Sets（博士論文）、アイントホーフェン工科大学、pp.  46– 49、doi : 10.6100/IR53747、Zbl 0516.05017 
  10. ^ Grigorescu, C.; Petkov, N. (2003年10月)、「形状フィルタと形状認識のための距離セット」(PDF)、IEEE Transactions on Image Processing、12 (10): 1274– 1286、Bibcode : 2003ITIP...12.1274G、doi : 10.1109/tip.2003.816010、hdl : 11370/dd4f402f-91b0-47ae-94ec-29428a2d8fb9、PMID 18237892 
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