二重規範

Measurement on a normed vector space

関数解析において、双対ノルムは、ノルム付きベクトル空間上で定義された連続 線形関数のサイズの尺度です。

意味

をノルムを持つノルム付きベクトル空間とし、をその連続双対空間とする。に属する連続線型関数の双対ノルムは、 ^[1]で定義される以下の同値な式のいずれかによって定義される非負の実数である。ここで、 と はそれぞれ上限 と下限 を表す。定数写像はベクトル空間の原点であり、常にノルムを持つ。とする と、上の唯一の線型関数は定数写像であり、さらに、最後の2行の集合は両方とも空となり、その結果、それらの上限はの正しい値ではなく に等しくなる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\|f\|&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|\leq 1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~:~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ for all }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1{\text{ or }}0~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ and }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ ${\displaystyle 0.}$

重要なのは、線型関数は一般には閉単位球上でノルムを達成することが保証されていないということ、つまり、 となるようなノルムのベクトルは存在しない可能性があるということである（もしそのようなベクトルが存在し、 であればは必然的に単位ノルムを持つ）。 RC ジェームズは1964 年にジェームズの定理を証明した。この定理によれば、バナッハ空間が反射的であるためには、すべての有界線型関数が閉単位球上でノルムを達成する必要がある。^[2] 特に、すべての非反射的バナッハ空間には、閉単位球上でノルムを達成しない何らかの有界線型関数が存在することになる。しかし、ビショップ・フェルプスの定理は、バナッハ空間の単位球面でノルムを達成する有界線型関数の集合が、連続双対空間のノルム稠密な部分集合であることを保証する。^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|:\|x\|\leq 1,x\in X\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|f\|=|fu|}$ ${\displaystyle f\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X^{*}}$

写像は上のノルムを定義する（以下の定理1と2を参照）。双対ノルムは、ノルム付きベクトル空間間の各（有界）線型写像に対して定義される作用素ノルムの特別な場合である。 （または）の基底体は完備なので、はバナッハ空間である。によって誘導される上の位相は、上の弱*位相よりも強いことがわかる。 ${\displaystyle f\mapsto \|f\|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

ノルム線型空間の二重双対

の二重双対（または第二双対）は、ノルムベクトル空間の双対である。自然な写像が存在する。実際、 の各 に対して、を定義する。 ${\displaystyle X^{**}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \varphi :X\to X^{**}}$ ${\displaystyle w^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle \varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).}$$

写像は線型、単射、距離保存である。^[5]特に、が完備（すなわちバナッハ空間）であれば、はの閉部分空間への等長写像となる。^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X^{**}}$

一般に、写像は射影的ではありません。例えば、 が実数直線上の有界関数からなるバナッハ空間で、上限ノルムを持つ場合、写像は射影的ではありません（空間を参照）。 が射影的である場合、 は反射的バナッハ空間と呼ばれます。 が射影的である場合、は反射的バナッハ空間 と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$

例

行列の双対ノルム

そのによって定義されるフロベニウスノルムは自己双対である。すなわち、その双対ノルムは $${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.}$

そのスペクトルノルム は、のときの誘導ノルムの特殊なケース行列の最大特異値特異値を表す 任意の行列に対してによって定義される核ノルムをその双対ノルムとして持ちます ^{[引用が必要]}。 ${\displaystyle p=2}$ $${\displaystyle \|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A),}$$ $${\displaystyle \|B\|'_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(B)}$

行列のSchattenノルムがSchatten ノルムと双対である場合。 ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$

有限次元空間

を のノルムとすると、関連する双対ノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{*},}$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|\leq 1\}.}$$

(これはノルムであることが示せます。) 双対ノルムは、の演算子ノルムをのノルム、 の絶対値を持つ行列として解釈すると解釈できます。 ${\displaystyle z^{\intercal },}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{|z^{\intercal }x|:\|x\|\leq 1\}.}$$

双対ノルムの定義から、すべてに対して成り立つ不等式が得られます。 [ 7 ^{] [8]}双対ノルムの双対は元のノルムです。すべてに対して成り立ちます（これは無限次元ベクトル空間では成立するとは限りません。） $${\displaystyle z^{\intercal }x=\|x\|\left(z^{\intercal }{\frac {x}{\|x\|}}\right)\leq \|x\|\|z\|_{*}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle \|x\|_{**}=\|x\|}$ ${\displaystyle x.}$

ユークリッドノルムの双対はユークリッドノルムである。 $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{2}\leq 1\}=\|z\|_{2}.}$$

（これはコーシー・シュワルツの不等式から導かれる。非ゼロの場合、が最大となるの値はである。） ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z^{\intercal }x}$ ${\displaystyle \|x\|_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\|z\|_{2}}}.}$

-ノルムの双対は-ノルムです。また、-ノルムの双対は-ノルムです。 ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{\infty }\leq 1\}=\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=\|z\|_{1},}$$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

より一般的には、ヘルダーの不等式は、 -ノルムの双対が-ノルムであることを示しており、ここで、は次を満たす。 ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}.}$

別の例として、 の- またはスペクトルノルムを考えてみましょう。関連する双対ノルムは となり、これは特異値の和となります。ここで、このノルムは ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sup\{\mathbf {tr} (Z^{\intercal }X):\|X\|_{2}\leq 1\},}$$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal }Z}}),}$$ ${\displaystyle r=\mathbf {rank} Z.}$核規範[^9]

L ^pとℓ^pスペース

pの場合、ベクトルの-ノルム（ -ノルムとも呼ばれる）は ${\displaystyle p\in [1,\infty ],}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}~:=~\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

を満たす場合、ノルムとノルムは互いに双対であり、ノルムとノルムについても同様である。ただし、は何らかの測度空間である。特に、ユークリッドノルムは自己双対である。 なぜなら、 の場合、双対ノルムは正定値であるからである。 ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle p=q=2.}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{\mathrm {T} }Qx}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {y^{\mathrm {T} }Q^{-1}y}}}$ ${\displaystyle Q}$

ノルムは、すべてのベクトルに対して、正準内積によって誘導される。この内積は、分極恒等式を用いてノルムで表現できる。これに基づいて、 ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ユークリッド内積はで定義されますが二乗可積分関数からなる測度空間に関連付けられた空間 について、この内積は となります。 と の連続双対空間のノルムは分極恒等式を満たすため、ヒルベルト空間でもあります。 $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

プロパティ

ノルムベクトル空間が与えられ 、^[10]をから へのすべての有界線型写像（または演算子）の集合とすると、に標準ノルムを与えることができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$

定理1 —とをノルム空間とする。各連続線型作用素にスカラーを代入すると、ノルム空間が定義され、ノルム空間が定義される。さらに、がバナッハ空間であるならば、バナッハ空間も^[11]である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y).}$

証拠

ノルム空間の部分集合が有界となるのは、それが単位球面の倍数に含まれる場合のみである。したがって、任意のがスカラーであるとき、 ${\displaystyle \|f\|<\infty }$ ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha \cdot fx}$ $${\displaystyle \|\alpha f\|=|\alpha |\|f\|.}$$ の三角不等式は、 ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|\left(f_{1}+f_{2}\right)x\|~&=~\|f_{1}x+f_{2}x\|\\&\leq ~\|f_{1}x\|+\|f_{2}x\|\\&\leq ~\left(\|f_{1}\|+\|f_{2}\|\right)\|x\|\\&\leq ~\|f_{1}\|+\|f_{2}\|\end{aligned}}}$$ を満たす任意の値に対して、この事実と定義を合わせると三角不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f+g\|\leq \|f\|+\|g\|.}$$ は非負実数の非空集合なので、は非負実数である。ならば、あるに対してとなり、したがって となる。これは がノルム空間であることを示す。[12] ${\displaystyle \{|f(x)|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle \|f\|=\sup \left\{|f(x)|:x\in X,\|x\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle fx_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle \left\|fx_{0}\right\|>0}$ ${\displaystyle \|f\|>0.}$ ${\displaystyle \left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)}$ が完全であると仮定し、が完全であることを示します。がコーシー列であるとすると、定義により、この事実と関係 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (L(X,Y),\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle L(X,Y),}$ ${\displaystyle \left\|f_{n}-f_{m}\right\|\to 0}$ ${\displaystyle n,m\to \infty .}$ $${\displaystyle \left\|f_{n}x-f_{m}x\right\|=\left\|\left(f_{n}-f_{m}\right)x\right\|\leq \left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|}$$ は、任意の に対してが の Cauchy 列であることを意味します。したがって、任意の に対して極限は に存在するので、この (必然的に一意の) 極限を で表すことにします。 ${\displaystyle \left(f_{n}x\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}x}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle fx,}$ $${\displaystyle fx~=~\lim _{n\to \infty }f_{n}x.}$$ が線形であることが示せる。 ならば、十分に大きい整数nとmに対して となる。したがって、十分に大きい整数 n と m に対して となる。これは、のノルム位相においてとなることを示している。これは、[13]の完全性を確立する。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|}$ $${\displaystyle \left\|fx-f_{m}x\right\|~\leq ~\varepsilon \|x\|}$$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle \|fx\|\leq \left(\left\|f_{m}\right\|+\varepsilon \right)\|x\|,}$ ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ ${\displaystyle \left\|f-f_{m}\right\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle f_{m}\to f}$ ${\displaystyle L(X,Y).}$ ${\displaystyle L(X,Y).}$

がスカラー場（つまりまたは）のとき、 はの双対空間である。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X.}$

定理2 —をノルム空間とし、定義により がスカラーである任意 の に対して、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ $${\displaystyle \left\|x^{*}\right\|~:=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x\in X{\text{ with }}\|x\|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle \langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)}$

1. ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R} }$バナッハ空間を作る規範である。 ^[14] ${\displaystyle X^{*}}$
2. が閉単位球体であるとき、任意のに対して、したがって、はノルムを持つ有界線形関数である。 ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|x\|~&=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x^{*}\in B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left|x^{*}(x)\right|~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1{\text{ with }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|x^{*}\|~=~\|x\|.}$
3. ${\displaystyle B^{*}}$は弱*コンパクトです。

証拠

ノルム空間の閉単位球を とすると、がスカラー体である とき、 となるので、(a)部分は定理1の系となる。[15] を固定する。が存在するが、任意の に対して となる。(b)は上記から導かれる。の開単位球はにおいて稠密であるため、 の定義は、任意の に対してとなることが、かつその場合に限って成り立つことを示している。(c) [16]の証明は、ここから直接導かれる。[17] ${\displaystyle B~=~\sup\{x\in X~:~\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)=X^{*}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle y^{*}\in B^{*}}$ $${\displaystyle \langle {x,y^{*}}\rangle =\|x\|.}$$ $${\displaystyle |\langle {x,x^{*}}\rangle |\leq \|x\|\|x^{*}\|\leq \|x\|}$$ ${\displaystyle x^{*}\in B^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|x^{*}\|}$ ${\displaystyle x^{*}\in B^{*}}$ ${\displaystyle |\langle {x,x^{*}}\rangle |\leq 1}$ ${\displaystyle x\in U}$

いつものように、は のノルムによって誘導される標準計量を表し、点から部分集合までの距離を で表す。 がノルム空間上の有界線形関数である場合、任意のベクトル^[18]に対して、 はの核を表す。 ${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle d(x,S)~:=~\inf _{s\in S}d(x,s)~=~\inf _{s\in S}\|x-s\|.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle |f(x)|=\|f\|\,d(x,\ker f),}$$ ${\displaystyle \ker f=\{k\in X:f(k)=0\}}$ ${\displaystyle f.}$

参照

• 凸共役 – ルジャンドル変換の一般化
• ヘルダーの不等式 – Lp空間における積分間の不等式
• Lp空間 – 有限次元pノルム空間を一般化する関数空間
• 演算子ノルム – 線形演算子の「大きさ」の尺度
• 分極恒等式 - 内積空間におけるノルムと内積の関係を表す式

注記

1. ルディン 1991, p. 87
2. ディーステル 1984年、6ページ。
3. ビショップ, エレット;フェルプス, RR (1961). 「すべてのバナッハ空間が部分反射的であることの証明」アメリカ数学会報. 67 : 97–98 . doi : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 . MR  0123174.
4. ロモノソフ、ビクター(2000). 「複素空間におけるビショップ・フェルプス定理の反例」.イスラエル数学ジャーナル. 115 : 25–28 . doi :10.1007/bf02810578. MR  1749671. S2CID  53646715.
5. Rudin 1991、セクション4.5、p.95
6. ルディン 1991, p. 95
7. ボイド & ヴァンデンバーグ 2004、p. 637
8. この不等式は、次の意味で厳密です。任意の に対して、不等式が等式とともに成立する が存在します。(同様に、任意の に対して、等式を与える が存在します。) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$
9. ボイド & ヴァンデンバーグ 2004、p. 637
10. それぞれはベクトル空間であり、関数の加算とスカラー乗算の通常の定義に従います。これは のベクトル空間構造にのみ依存し、 には依存しません。 ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
11. ルディン 1991, 92ページ
12. ルディン 1991, 93ページ
13. ルディン 1991, 93ページ
14. アリプランティスとボーダー 2006、p. 230
15. Rudin 1991, 定理3.3 系、p. 59
16. Rudin 1991, 定理3.15バナッハ–アラオグル定理アルゴリズム、p. 68
17. ルディン 1991, 94ページ
18. 橋本・中村・大治 1986年、p. 281.

参考文献

• アリプランティス, チャラランボス D.; ボーダー, キム C. (2006). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』（第3版）. シュプリンガー. ISBN 9783540326960。
• ボイド、スティーブン、ヴァンデンベルゲ、リーヴェン (2004).凸最適化.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521833783。
• ディーステル、ジョー (1984).バナッハ空間における数列と級数. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• 橋本和夫；中村元；おはる、しんのすけ（1986-01-01）。 「リースの補題と正規空間における直交性」(PDF)。広島数学雑誌。16 (2)。広島大学 - 数学科。土井：10.32917/hmj/1206130429。ISSN  0018-2079。
• コルモゴロフ, AN ;フォミン, SV (1957). 『関数理論と関数解析の要素』第1巻：距離空間とノルム空間. ロチェスター: グレイロック・プレス.
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

外部リンク

• Lieven Vandenbergeによる近位マッピングに関する注釈

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