Probability distribution
コーシー 分布は、 オーギュスタン＝ルイ・コーシー にちなんで名付けられた 連続確率分布 です 。特に 物理学者の間では、 ローレンツ分布 （ ヘンドリック・ローレンツ にちなんで）、 コーシー・ローレンツ分布 、 ローレンツ関数 、あるいは ブライト・ウィグナー分布 とも呼ばれています 。コーシー分布は、一様分布の角度で 射出する光線の x 切片の分布です。また、平均が0である 2つの独立した 正規分布する確率変数の 比 の分布でもあります 。 f ( x ; x 0 , γ ) {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )} ( x 0 , γ ) {\displaystyle (x_{0},\gamma )}
コーシー分布は、その 期待値 と 分散が定義されていないため（ただし、以下の「モーメント」の項を参照）、統計学において「 異常な 」分布の典型的な例としてしばしば用いられる。コーシー分布に は1以上の有限 モーメントは 存在せず、分数絶対モーメントのみが存在している。 [1] コーシー分布には モーメント生成関数は 存在しない。
数学 においては、 上半平面 における ラプラス方程式 の 基本解 である ポアソン核 と密接な関係がある 。
これは、解析的に表現できる確率密度関数を持つ 数少ない 安定した分布の 1 つであり、他の 2 つは 正規分布 と レヴィ分布 です。
定義 ここで最も重要な構成を示します。
回転対称性 線の前に立って、線に向かって均一に分布したランダムな角度でボールを蹴ると、ボールが線に当たる点の分布はコーシー分布になります。
例えば、 xy平面上の点を考え、その点を通る直線を一様（-軸との角度）にランダムに（-180°から0°の間で）選びます。この直線とx軸の交点は、位置 とスケールが であるコーシー分布に従います 。 ( x 0 , γ ) {\displaystyle (x_{0},\gamma )} x {\displaystyle x} x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma }
この定義は、標準コーシー分布からサンプルをサンプリングする簡単な方法を提供します。 を 一様分布からサンプリングすると、 標準コーシー分布から、 を用いて サンプルを生成することができます。 u {\displaystyle u} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} x {\displaystyle x}
x = tan ( π ( u − 1 2 ) ) {\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\tfrac {1}{2}})\right)} とが、 期待値が 0 で 分散 が 1 である2 つの独立した正規 分布の 確率変数 である
場合 、比は 標準のコーシー分布に従います。 U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} U / V {\displaystyle U/V}
より一般的には、 が 平面上の回転対称分布である場合、比は 標準のコーシー分布に従います。 ( U , V ) {\displaystyle (U,V)} U / V {\displaystyle U/V}
確率密度関数（PDF） コーシー分布は、次の 確率密度関数 （PDF） [1] [2]を持つ確率分布である。 f ( x ; x 0 , γ ) = 1 π γ [ 1 + ( x − x 0 γ ) 2 ] = 1 π [ γ ( x − x 0 ) 2 + γ 2 ] , {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}
ここで 、 は 分布のピークの位置を指定する 位置パラメータ 、 は半値幅（HWHM）を指定する スケールパラメータ、あるいは 半値全幅 （FWHM）です 。 は 四分位範囲の 半分に等しく、 確率誤差 と呼ばれることもあります 。 この関数は ローレンツ関数 とも呼ばれ、 [3] 新生デルタ関数 の例でもあり、 の極限で ディラックのデルタ関数 に近づきます 。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーは 1827年にこのような密度関数を 無限小 スケールパラメータで利用し、この ディラックのデルタ関数 を定義しました。 x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma } 2 γ {\displaystyle 2\gamma } γ {\displaystyle \gamma } γ → 0 {\displaystyle \gamma \to 0}
PDFのプロパティ コーシー PDF の最大値または振幅は で 、 に位置します 。 1 π γ {\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma }}} x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}}
PDFを複素パラメータで表現すると便利な場合がある。 ψ = x 0 + i γ {\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }
f ( x ; ψ ) = 1 π Im ( 1 x − ψ ) = 1 π Re ( − i x − ψ ) {\displaystyle f(x;\psi )={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Im}}\left({\frac {1}{x-\psi }}\right)={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Re}}\left({\frac {-i}{x-\psi }}\right)}
の特別な場合 、 確率密度関数 [4] [5]を持つ 標準コーシー分布 と呼ばれる。 x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π ( 1 + x 2 ) . {\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi \left(1+x^{2}\right)}}.}
物理学では、3パラメータのローレンツ関数がよく用いられます。 ここで 、はピークの高さです。ここで示される3パラメータのローレンツ関数は、一般には確率密度関数ではありません。なぜなら、次の特別な場合を除いて、積分値が1にならないからです。 f ( x ; x 0 , γ , I ) = I [ 1 + ( x − x 0 γ ) 2 ] = I [ γ 2 ( x − x 0 ) 2 + γ 2 ] , {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+{\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right]}}=I\left[{\frac {\gamma ^{2}}{{\left(x-x_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}}}\right],} I {\displaystyle I} I = 1 π γ . {\displaystyle I={\frac {1}{\pi \gamma }}.\!}
累積分布関数（CDF） コーシー分布は、次の 累積分布関数 (CDF) を持つ確率分布です。 F ( x ; x 0 , γ ) = 1 π arctan ( x − x 0 γ ) + 1 2 {\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}
コーシー分布の 分位関数 （ 逆累積 分布 関数）は です。
したがって、第 1 四分位数と第 3 四分位数は であり 、 四分位範囲 は です 。 Q ( p ; x 0 , γ ) = x 0 + γ tan [ π ( p − 1 2 ) ] . {\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].} ( x 0 − γ , x 0 + γ ) {\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )} 2 γ {\displaystyle 2\gamma }
標準分布の場合、累積分布関数は 逆正接関数 に簡略化されます。 arctan ( x ) {\displaystyle \arctan(x)} F ( x ; 0 , 1 ) = 1 π arctan ( x ) + 1 2 {\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}
その他の構造 標準的なコーシー分布は自由度1の スチューデントの t 分布 であり、スチューデントのt分布を構築する任意の方法で構築できます。 [6]
が正の対角成分を持つ正半正定値共分散行列 である 場合、 独立かつ同一分布 に従う任意のランダムベクトルと、 および （ カテゴリ分布 を定義する）と 独立であるような ランダム ベクトルに対して、 [7] が成り立つ。 Σ {\displaystyle \Sigma } p × p {\displaystyle p\times p} X , Y ∼ N ( 0 , Σ ) {\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )} p {\displaystyle p} w {\displaystyle w} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} w 1 + ⋯ + w p = 1 {\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1} w i ≥ 0 , i = 1 , … , p , {\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,} ∑ j = 1 p w j X j Y j ∼ C a u c h y ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {Cauchy} (0,1).}
プロパティ コーシー分布は、平均 、 分散 、高次 モーメント が定義されていない分布の例です 。その 最頻値 と 中央値 は明確に定義されており、どちらも に等しくなります 。 x 0 {\displaystyle x_{0}}
コーシー分布は 無限に割り切れる確率分布である。また、厳密に 安定な 分布でもある 。 [8]
コーシー分布に従う確率変数の族は、実係数を持つ 線形分数変換 に対して閉じている。 [9] これに関連して、 マカローのコーシー分布のパラメータ化 も参照のこと。
コーシー分布に従う確率変数の和 標準コーシー分布からの IID 標本の 場合、その 標本平均 も標準コーシー分布に従います。特に、平均は平均に収束しないため、標準コーシー分布は大数の法則に従いません。 X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} X ¯ = 1 n ∑ i X i {\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}
これは、PDF との繰り返し積分によって証明できますが、より簡便には、 標準コーシー分布の 特性関数 を使用することで証明できます (以下を参照)。これにより、 が得られ 、 標準コーシー分布も得られます。 φ X ( t ) = E [ e i X t ] = e − | t | . {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.} φ ∑ i X i ( t ) = e − n | t | {\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}} X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}}
より一般的には、が独立で、位置パラメータ とスケール を 持つコーシー分布で あり、が 実数である場合、 は位置 とスケール を持つコーシー分布です 。独立したコーシー分布の重み付き和には大数の法則は適用されないことがわかります。 X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} γ 1 , … , γ n {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}} a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} ∑ i a i X i {\textstyle \sum _{i}a_{i}X_{i}} ∑ i a i x i {\textstyle \sum _{i}a_{i}x_{i}} ∑ i | a i | γ i {\textstyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}
これは、中心極限定理 における有限分散の条件は 無視できないことを示しています。これはまた、すべての 安定分布 に特徴的な中心極限定理のより一般化されたバージョンの例でもあり、コーシー分布はその特別なケースです。
中心極限定理 が 有限だがゼロでない PDFを持つIIDサンプルである 場合、 分布はスケールを持つコーシー分布に収束します 。 [10] X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } ρ {\displaystyle \rho } lim c → ∞ 1 c ∫ − c c x 2 ρ ( x ) d x = 2 γ π {\textstyle \lim _{c\to \infty }{\frac {1}{c}}\int _{-c}^{c}x^{2}\rho (x)\,dx={\frac {2\gamma }{\pi }}} 1 n ∑ i = 1 n X i {\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} γ {\displaystyle \gamma }
特性関数 をコーシー分布に従う確率変数とする。 コーシー 分布の 特性関数は次のように与えられる。 X {\displaystyle X}
φ X ( t ) = E [ e i X t ] = ∫ − ∞ ∞ f ( x ; x 0 , γ ) e i x t d x = e i x 0 t − γ | t | . {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}
これは確率密度の フーリエ変換に 過ぎません。元の確率密度は、基本的に逆フーリエ変換を用いることで、特性関数を用いて表すことができます。
f ( x ; x 0 , γ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ X ( t ; x 0 , γ ) e − i x t d t {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}
分布のn次モーメントは、特性関数のn次導関数を で評価したものです 。 特性 関数 は原点で微分可能ではないことに注意してください 。 これ は、コーシー分布がゼロ次モーメントよりも高いモーメントを明確に定義できないという事実に対応しています。 t = 0 {\displaystyle t=0}
カルバック・ライブラー距離 2つのコーシー分布間のカルバック ・ライブラー分布は 次のような対称閉形式の式で表される： [11] K L ( p x 0 , 1 , γ 1 : p x 0 , 2 , γ 2 ) = log ( γ 1 + γ 2 ) 2 + ( x 0 , 1 − x 0 , 2 ) 2 4 γ 1 γ 2 . {\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {{\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)}^{2}+{\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)}^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}.}
2つのコーシー分布間のfダイバージェンス は 対称であり、カイ2乗ダイバージェンスの関数として表すことができます。 [12] 全変動 、 ジェンセン・シャノン・ダイバージェンス 、 ヘリンガー距離 など
の閉じた形式の表現が 利用可能です。
エントロピ コーシー分布のエントロピーは次のように与えられます。
H ( γ ) = − ∫ − ∞ ∞ f ( x ; x 0 , γ ) log ( f ( x ; x 0 , γ ) ) d x = log ( 4 π γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}
コーシー分布の分位関数 （分位密度関数） の導関数は次のようになります。
Q ′ ( p ; γ ) = γ π sec 2 [ π ( p − 1 2 ) ] . {\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \pi \,\sec ^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}
分布の微分 エントロピーは、 その分位密度によって定義することができる。 [13] 具体的には、
H ( γ ) = ∫ 0 1 log ( Q ′ ( p ; γ ) ) d p = log ( 4 π γ ) {\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}
コーシー分布は、 ランダム変数 に対する 最大エントロピー確率分布であり、 [14] X {\displaystyle X}
E [ log ( 1 + ( X − x 0 γ ) 2 ) ] = log 4 {\displaystyle \operatorname {E} \left[\log \left(1+{\left({\frac {X-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right)\right]=\log 4}
瞬間 コーシー分布は、明確に定義された（または「不定」な）モーメントを持たない分布として、初等確率の授業では説明的な反例としてよく使用されます。
サンプルの瞬間 標準コーシー分布からIID標本を抽出した場合 、その標本平均の列は となり 、これも標準コーシー分布に従います。したがって、いくつの項を抽出しても、標本平均は収束しません。 X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } S n = 1 n ∑ i = 1 n X i {\textstyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
同様に、標本分散 も収束しません。 V n = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − S n ) 2 {\textstyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{i}-S_{n}\right)}^{2}}
標本平均値の典型的な軌跡は、ゼロへの緩やかな収束が長く続く様子を描き、その間にゼロから大きく離れるジャンプが挟まれますが、決して大きく離れることはありません。標本分散の典型的な軌跡も同様ですが、ジャンプの蓄積が減衰よりも速く、無限大へと発散していきます。 の典型的な軌道は 、ゼロへの緩やかな収束が長く続くように見え、ゼロから大きく離れるジャンプが点在するが、決して大きく離れることはない。の典型的な軌道も 同様に見えるが、ジャンプの蓄積が減衰よりも速く、無限大へと発散する。図には、これら2種類の軌道が示されている。 S 1 , S 2 , . . . {\displaystyle S_{1},S_{2},...} V 1 , V 2 , . . . {\displaystyle V_{1},V_{2},...}
1次より低い標本のモーメントはゼロに収束します。2次より高い標本のモーメントは、標本の分散よりも速く無限大に発散します。
平均 確率分布が 密度関数 を持つ 場合 、平均は（存在する場合）次のように与えられる。 f ( x ) {\displaystyle f(x)}
∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.} 1
この両側 仮積分は、 2つの片側仮積分の和を計算することで評価できる。つまり、
∫ − ∞ a x f ( x ) d x + ∫ a ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx} 2
任意の実数に対して 。 a {\displaystyle a}
積分が存在するためには（たとえ無限大であっても）、この和の項のうち少なくとも1つは有限であるか、または両方の項が無限大で同じ符号を持つ必要があります。しかし、コーシー分布の場合、この和（ 2 ）の項は両方とも無限大で、符号が反対です。したがって（ 1 ）は未定義であり、平均も未定義です。 [15] 確率分布関数（PDF）の平均が未定義の場合、サンプルサイズに関わらず、実験データ点全体にわたって信頼できる平均を計算することはできません。
コーシー分布の平均の コーシー主値 は0であることに注意する 。一方、 積分を計算するとわかるように、関連する積分は0で は ない。これもまた、平均( 1 )が存在しないことを示す。 lim a → ∞ ∫ − a a x f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}xf(x)\,dx} lim a → ∞ ∫ − 2 a a x f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}xf(x)\,dx}
確率論における 期待値 に関する様々な結果、例えば 大数の強い法則 などはコーシー分布には当てはまらない。 [15]
小さな瞬間 の絶対モーメントは定義さ れる 。 p ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle p\in (-1,1)} X ∼ C a u c h y ( 0 , γ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )} E [ | X | p ] = γ p s e c ( π p / 2 ) . {\displaystyle \operatorname {E} [|X|^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec} (\pi p/2).}
より高い瞬間 コーシー分布には、いかなる次数の有限モーメントも存在しません。ただし、高次の 素モーメント の中には無限大の値を持つものも存在します。例えば、素モーメントの2次モーメントがそうです。
E [ X 2 ] ∝ ∫ − ∞ ∞ x 2 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ 1 − 1 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ d x − ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ d x − π = ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&\propto \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\pi =\infty .\end{aligned}}}
式を整理すると、第 2 モーメントは本質的に定数 (ここでは 1) の無限積分であることがわかります。これより高次の偶数乗の生のモーメントも無限大になります。ただし、奇数乗の生のモーメントは未定義であり、無限大の値で存在する場合とは明確に異なります。奇数乗の生のモーメントが未定義なのは、 積分の 2 つの半分が両方とも発散し、符号が反対であるため、その値が本質的に に等しいためです。第 1 の生のモーメントは平均ですが、これは奇数であるため存在しません (これについては上記の説明も参照してください)。これはつまり、 中心モーメント と 標準化モーメントは すべて平均に基づいているため、未定義であることを意味します。分散 (第 2 中心モーメント) も同様に存在しません (生の第 2 モーメントが値無限大で存在するにもかかわらず)。 ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty }
高次のモーメントの結果は、 ヘルダーの不等式 から得られます。これは、低次のモーメントが発散すると、高次のモーメント（またはモーメントの半分）も発散することを意味します。
切断分布のモーメント 標準的なコーシー分布を区間 [−10 100 , 10 100 ]に制限して定義される 切断分布 を考える 。このような切断分布はすべてのモーメントを持つ（そして中心極限定理はそこからの iid 観測に適用される）が、実用上はほとんどコーシー分布のように振舞う。 [16]
もし そうなら [17] X ∼ Cauchy ( x 0 , γ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )} k X + ℓ ∼ Cauchy ( x 0 k + ℓ , γ | k | ) {\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)} とが独立であれ ば 、 と X ∼ Cauchy ( x 0 , γ 0 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})} Y ∼ Cauchy ( x 1 , γ 1 ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})} X + Y ∼ Cauchy ( x 0 + x 1 , γ 0 + γ 1 ) {\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})} X − Y ∼ Cauchy ( x 0 − x 1 , γ 0 + γ 1 ) {\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})} もし そうなら X ∼ Cauchy ( 0 , γ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )} 1 X ∼ Cauchy ( 0 , 1 γ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})} McCullaghによるコーシー分布の媒介変数化 ： [18] コーシー分布を1つの複素パラメータ で表すと 、 は を意味すると定義します 。 のとき 、 次の式が成り立ちます。ただし 、、、 は 実数です。 ψ = x 0 + i γ {\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma } X ∼ Cauchy ( ψ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )} X ∼ Cauchy ( x 0 , | γ | ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)} X ∼ Cauchy ( ψ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )} a X + b c X + d ∼ Cauchy ( a ψ + b c ψ + d ) {\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} 上記と同じ規則を用いると、 次の場合： [18] ここで 、円コーシー分布 である 。 X ∼ Cauchy ( ψ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )} X − i X + i ∼ CCauchy ( ψ − i ψ + i ) {\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)} CCauchy {\displaystyle \operatorname {CCauchy} }
統計的推論
パラメータの推定 コーシー分布のパラメータは平均と分散に対応していないため、標本平均と標本分散を用いてコーシー分布のパラメータを推定しようとしても成功しない。 [19] 例えば、コーシー分布からサイズ n のiid標本を採取した場合、標本平均は次のように計算できる。
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
標本値は 中心値 を中心に集中しますが 、観測数が増えるにつれて、絶対値の大きい標本点に遭遇する確率が高くなるため、標本平均は変動が大きくなります。実際、標本平均の分布は観測値自体の分布と等しくなります。つまり、大きな標本の標本平均は、 標本から得られた単一の観測値と比べて の推定値として優れている（または劣っている）わけではありません。同様に、標本分散を計算すると、観測数が増えるにつれて値が大きくなります。 x i {\displaystyle x_{i}} x 0 {\displaystyle x_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}}
したがって、中心値 とスケーリングパラメータを推定するより堅牢な手段 が必要である。1つの簡単な方法は、標本の中央値を の推定値として取り、標本の 四分位範囲の 半分を の推定値として取る ことである。他にも、より正確で堅牢な方法が開発されている。 [20] [21] 例えば、標本 順序統計量 の中央24%の 切り捨て平均 は、標本中央値または標本全体の平均を使用するよりも効率的な の推定 値を生成する。 [22] [23]しかし、コーシー分布の 太い裾 のために 、標本の24%以上を使用すると推定値の効率は低下する。 [22] [23] x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma } x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma } x 0 {\displaystyle x_{0}}
もう一つの簡単な方法は、標本の
複素数値の 準算術平均 を考えることです。 を準算術平均の生成元とします。
の とき、 は複素数値の幾何平均 であり 、 のとき 、 は複素数値の調和平均 です 。
は 、コーシー分布のMcCullaghのパラメータ化 における位置パラメータと尺度パラメータの結合に対する閉形式の偏りのない強整合推定量です 。 [24] [25]
中心極限定理とバハドゥール効率は に対しても成り立ちます 。 θ n = f − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) ) , {\displaystyle \theta _{n}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right),} f {\displaystyle f} f ( x ) = log ( x + α ) , α ∈ H ¯ {\displaystyle f(x)=\log(x+\alpha ),\alpha \in {\overline {\mathbb {H} }}} θ n {\displaystyle \theta _{n}} ∏ i = 1 n ( x i + α ) 1 / n {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x_{i}+\alpha )^{1/n}} f ( x ) = 1 / ( x + α ) , α ∈ H {\displaystyle f(x)=1/(x+\alpha ),\alpha \in \mathbb {H} } θ n {\displaystyle \theta _{n}} ∑ i = 1 n x i / ( x i + α ) ∑ i = 1 n 1 / ( x i + α ) {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}/(x_{i}+\alpha )}{\sum _{i=1}^{n}1/(x_{i}+\alpha )}}} ( θ n ) n {\displaystyle (\theta _{n})_{n}} ( θ n ) n {\displaystyle (\theta _{n})_{n}}
最尤法は パラメータと を推定するためにも使用できる 。しかし、高次多項式の根を求める必要があり、局所的最大値を表す根が複数存在する可能性があるため、この方法は複雑になりがちである。 [26] また、最尤推定量は漸近的には効率的であるが、サンプル数が少ない場合には比較的効率が悪い。 [27] [28] サンプルサイズに対するコーシー分布の対数尤度関数は 次のようになる。 x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma } n {\displaystyle n}
ℓ ( x 1 , … , x n ∣ x 0 , γ ) = − n log ( γ π ) − ∑ i = 1 n log ( 1 + ( x i − x 0 γ ) 2 ) {\displaystyle \ell (x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}
= − n log ( π ) + n log ( γ ) − ∑ i = 1 n log ( γ 2 + ( x i − x 0 ) 2 ) . {\displaystyle \qquad \qquad =-n\log(\pi )+n\log(\gamma )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}\right).}
および に関して対数尤度関数を最大化し 、 1 次導関数を取ると、次の連立方程式が生成されます。 x 0 {\displaystyle x_{0}} γ {\displaystyle \gamma }
d ℓ d x 0 = − ∑ i = 1 n 2 ( x i − x 0 ) γ 2 + ( x i − x 0 ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d\ell }{dx_{0}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0} d ℓ d γ = n γ − ∑ i = 1 n 2 γ γ 2 + ( x i − x 0 ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d\ell }{d\gamma }}={\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}
ご了承ください
∑ i = 1 n ( x i − x 0 ) 2 γ 2 + ( x i − x 0 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}
は単調関数であり 、その解 は γ {\displaystyle \gamma } γ {\displaystyle \gamma }
min | x i − x 0 | ≤ γ ≤ max | x i − x 0 | . {\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}
についてのみ解くには 次数の多項式を解く必要があり 、 [26] についてのみ解くには 次数の多項式を解く必要があります 。したがって、1 つのパラメータについて解く場合でも、両方のパラメータを同時に解く場合でも、通常はコンピュータによる 数値 解が必要です。最尤推定の利点は漸近的な効率性です。 標本の中央値を使用して推定した場合の漸近的な効率は、 最尤推定値による推定の約 81% にすぎません。 [23] [29] 中央の 24% 順序統計量を使用した切り捨て標本平均の の推定値は、 最尤推定値の約 88% の漸近的な効率性です。 [23] ニュートン法 を使用して最尤推定値の解を求める場合 、中央の 24% 順序統計量は の初期解として使用できます 。 x 0 {\displaystyle x_{0}} 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} γ {\displaystyle \,\!\gamma } 2 n {\displaystyle 2n} x 0 {\displaystyle x_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}} x 0 {\displaystyle x_{0}}
位置 0 のコーシー変数の場合、 形状パラメータは 絶対値の中央値を使用して推定できます。 X ∼ C a u c h y ( 0 , γ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )} median ( | X | ) = γ {\displaystyle \operatorname {median} (|X|)=\gamma }
一般的な Cauchy ( 0 , 1 ) ∼ t ( d f = 1 ) {\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,} スチューデントの t 分布 Cauchy ( μ , σ ) ∼ t ( d f = 1 ) ( μ , σ ) {\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,} 非標準化スチューデントの t 分布 独立している 場合は X , Y ∼ N ( 0 , 1 ) X , Y {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y} X Y ∼ Cauchy ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,} もし そうなら X ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,} tan ( π ( X − 1 2 ) ) ∼ Cauchy ( 0 , 1 ) {\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,} もし そうなら X ∼ L o g - C a u c h y ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)} ln ( X ) ∼ Cauchy ( 0 , 1 ) {\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)} もし そうなら X ∼ Cauchy ( x 0 , γ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )} 1 X ∼ Cauchy ( x 0 x 0 2 + γ 2 , γ x 0 2 + γ 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)} コーシー分布は タイプ4の ピアソン分布の極限ケースである [ 要出典 ] コーシー分布は タイプ7の ピアソン分布の特殊なケースである 。[1] コーシー分布は 安定分布 です。つまり 、 であれば となります 。 X ∼ Stable ( 1 , 0 , γ , μ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )} X ∼ Cauchy ( μ , γ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )} コーシー分布は 双曲分布の特異極限である [ 要出典 ] 円上の値を取るラップ されたコーシー分布は 、コーシー分布を円でラップすることによって派生されます。 、 ならば 。半コーシー分布の場合、 と設定することで関係が成立し ます 。 X ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)} Z ∼ I n v e r s e - G a m m a ( 1 / 2 , s 2 / 2 ) {\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)} Y = μ + X Z ∼ Cauchy ( μ , s ) {\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)} X ∼ N ( 0 , 1 ) I { X ≥ 0 } {\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X\geq 0\}}
レヴィ尺度 コーシー分布は 指数1の 安定分布 です。このようなパラメータの安定分布の レヴィ・ヒンチン表現は 次のように与えられます 。 γ {\displaystyle \gamma } X ∼ Stable ( γ , 0 , 0 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}
E ( e i x X ) = exp ( ∫ R ( e i x y − 1 ) Π γ ( d y ) ) {\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}
どこ
Π γ ( d y ) = ( c 1 , γ 1 y 1 + γ 1 { y > 0 } + c 2 , γ 1 | y | 1 + γ 1 { y < 0 } ) d y {\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}
と 明示的に表すことができる。 [30] コーシー分布の 場合は、となる 。 c 1 , γ , c 2 , γ {\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }} γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} c 1 , γ = c 2 , γ {\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}
この最後の表現は、次の式の結果である。
π | x | = PV ∫ R ∖ { 0 } ( 1 − e i x y ) d y y 2 {\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \smallsetminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}
多変量コーシー分布 ランダム ベクトル は、その成分の線形結合がすべてコーシー分布に従うとき、多変量コーシー分布に従うという 。つまり、任意の定数ベクトルに対して 、ランダム変数は 単変量コーシー分布に従うべきである。 [31] 多変量コーシー分布の特性関数は次のように与えられる。 X = ( X 1 , … , X k ) T {\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}} Y = a 1 X 1 + ⋯ + a k X k {\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}} a ∈ R k {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}} Y = a T X {\displaystyle Y=a^{T}X}
φ X ( t ) = e i x 0 ( t ) − γ ( t ) , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}
ここで 、およびは 1次の 同次関数 と 1次の正同次関数 を持つ実関数である。 [31] より正式には： [31] x 0 ( t ) {\displaystyle x_{0}(t)} γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} x 0 ( t ) {\displaystyle x_{0}(t)} γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)}
x 0 ( a t ) = a x 0 ( t ) , γ ( a t ) = | a | γ ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}(at)&=ax_{0}(t),\\\gamma (at)&=|a|\gamma (t),\end{aligned}}}
すべてのために 。 t {\displaystyle t}
二変量コーシー分布の例は次のように表すことができます。 [32] この例では、と間の共分散が 0である にもかかわらず、 とが 統計的に独立して いないことに注意してください 。 [32] f ( x , y ; x 0 , y 0 , γ ) = 1 2 π γ ( ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + γ 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left(x-x_{0}\right)}^{2}+{\left(y-y_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
この式は複素変数についても書くことができます。複素コーシーの確率密度関数は次のようになります。
f ( z ; z 0 , γ ) = 1 2 π γ ( | z − z 0 | 2 + γ 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left|z-z_{0}\right|}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}
標準コーシー分布が自由度1のスチューデントt分布であるのと同様に、多次元コーシー密度は自由度1の 多変量スチューデント分布 です。自由度1の次元スチューデント分布の密度は、 以下の式で表されます。 k {\displaystyle k}
f ( x ; μ , Σ , k ) = Γ ( 1 + k 2 ) Γ ( 1 2 ) π k 2 | Σ | 1 2 [ 1 + ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ] 1 + k 2 . {\displaystyle f(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } ,k)={\frac {\Gamma {\left({\frac {1+k}{2}}\right)}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|\mathbf {\Sigma } \right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{\frac {1+k}{2}}}}.}
多次元コーシー分布の特性は、多変量スチューデント分布の特殊なケースになります。
発生と応用
一般的に CumFreqを用いて最大日降水量に累積コーシー分布を当てはめた。 分布の当てはめも参照 [33] 分光学 において、コーシー分布は、 スペクトル線 の形状を記述するものであり、スペクトル線は 均一な広がり を受ける 。均一な広がりとは、すべての原子がスペクトル線に含まれる周波数範囲で同じように相互作用することである。均一な広がりは多くのメカニズムによって引き起こされるが、最も顕著なのは 衝突広がりである 。 [34] 寿命広がりや自然広がり も、コーシー分布で表されるスペクトル線の形状を生じさせる。 コーシー分布またはその変換は、 指数関数的増加を扱う分野で応用されています。1958年のホワイト [35] の論文では、 方程式 の推定値の検定統計量が導出され 、最大尤度推定値が通常の最小二乗法を用いて求められ、統計量の標本分布がコーシー分布であることを示しました。 β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} x t + 1 = β x t + ε t + 1 , β > 1 {\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1} コーシー分布は、回転する物体の観測値の分布としてよく用いられます。この分布の古典的な例としては、カモメの灯台問題 [36] が挙げられます。また、上記のセクションでは、素粒子物理学におけるブライト・ウィグナー分布として言及されています。 水文学 において 、コーシー分布は年間最大日降水量や河川流量などの極端な事象に適用されます。青い図は、順位付けされた月間最大日降水量にコーシー分布を当てはめた例を示しており、 二項分布 に基づく90% 信頼区間も表示しています。降水量データは、 累積頻度分析 の一部として 位置をプロットする ことで表されています 。 ローレンツモデルによれば、複素 誘電率 の虚数部の表現はコーシー分布である。 計算金融 における ファットテールを モデル化するための追加の分布として、コーシー分布は ガウス分布 よりもはるかに大きな極端なリスクの確率を生成するVAR（ リスク値 ）をモデル化するために使用できます 。 [37]
相対論的ブライト・ウィグナー分布 原子核物理 学と 素粒子物理学 では、 共鳴 のエネルギープロファイルは 相対論的なブライト・ウィグナー分布 によって記述される が、コーシー分布は（非相対論的な）ブライト・ウィグナー分布である。 [ 要出典 ]
歴史 コーシー分布（下）の標本を用いて平均値と標準偏差を推定した場合、 正規分布 （上）の場合のように標本サイズが大きくなっても収束しません。下のグラフに見られるように、推定値には大きなジャンプが生じる可能性があります。（クリックして拡大） コーシー分布の密度関数の形を持つ関数は、1659年に フェルマー によって幾何学的に研究され、後に マリア・ガエターナ・アニェージが 1748年に微積分の教科書に例として含めたことから アニェージの魔女 として知られるようになった。その名前にもかかわらず、コーシー分布の特性の最初の明示的な分析は1824年にフランスの数学者 ポアソン によって発表され、コーシーがそれに関連付けられたのは1853年の学術的論争の際だけであった。 [38] ポアソンは、そのような分布に従う観測の平均をとると、 標準偏差は どの有限数にも収束しないことを指摘した。したがって、 ラプラスがそのような分布で 中心極限定理 を使用したの は、有限の平均と分散を仮定していたため不適切であった。それにもかかわらず、ポアソンは、この問題を重要視しなかった。これは、 この問題でコーシーと長い論争を繰り広げることになる ビエネメとは対照的である。
参照
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外部リンク
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa7448ba911130c1e33621f1859393d3f00af5c)
![{\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (p-{\tfrac {1}{2}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b28bd2a0c25cb1d212b29f0fc22baf6f84e3e0f)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2026aa2c40888a5189ad754d4bc21731a032575a)
![{\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+{\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right]}}=I\left[{\frac {\gamma ^{2}}{{\left(x-x_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1d4277880875698654fb0b1b7366159749d8cc)
![{\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c17241be79f1edbb111b82fc9a86ad55c9fd37)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57686177a5992b93dece0dba15fd1f64758dfb0d)
![{\displaystyle \varphi_{X}(t)=\operatorname{E}\left[e^{iXt}\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(x;x_{0},\gamma)e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a76888a502d3e9959365d896466e4dee540d17)
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![{\displaystyle \operatorname {E} [|X|^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec} (\pi p/2)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e2a867bc2b1f3c8c5fe805aa71577f466e948c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&\propto \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\pi =\infty .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b821427592463519bb2fe3f38a52f61183af76cd)
![{\displaystyle f(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } ,k)={\frac {\Gamma {\left({\frac {1+k}{2}}\right)}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|\mathbf {\Sigma } \right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{\frac {1+k}{2}}}}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49724193f6c5f83192f8907716bfbb37b3914bf3)
