有効ドメイン

数学の一分野である凸解析において、有効定義域は、拡張された実数直線上の値を取る関数に対して定義された関数の定義域の拡張である。 ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$

凸解析と変分解析では、通常、与えられた拡張実数値関数が最小化される点が求められ、そのような点は大域的最小値点と呼ばれます。この関数の有効定義域は、関数の値が に等しくない関数の定義域内のすべての点の集合として定義されます^[1]。このように定義されるのは、これらの点だけが、大域的最小値である可能性がわずかでも残っているためです。実際、これらの分野では、ある点で関数を に等しく設定して、その点を (最小化問題の) 潜在的な解としてさえ考慮しないようにするのが一般的な方法です [1]。関数^が値(もしあれば) を取る点は、最小化問題の受け入れ可能な解であると考えられるため、有効定義域に属します^[1]。その理由は、そのような点が解として受け入れられないのであれば、関数は既にその点で に設定されているはずだからです。 ${\displaystyle +\infty .}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

関数の最小点（ ）を求める必要があるが、の定義域が何らかのベクトル空間の適切な部分集合である場合、のすべての点をに設定することによってのすべての点に拡張することが技術的に有用な場合が多い。^[1]定義により、 のどの点もの有効定義域に属しておらず、 のすべての点への新しく定義された拡張の最小点を求めるのではなく、元の関数の最小点を求めるという要求と整合している。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x):=+\infty }$ ${\displaystyle x\in V\setminus X.}$ ${\displaystyle V\setminus X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle V.}$

問題が最大化問題である場合（これは明確に示される）、有効領域は関数の領域内で等しくないすべての点から構成される。 ${\displaystyle -\infty .}$

意味

が拡張実数直線上に値を持つ写像であり、その定義域がで表され（ただし、この仮定が必要な場合は、 はあるベクトル空間の部分集合であると仮定する）、の有効定義域は で表され、通常は集合^{[1] [2] [3]}で定義される。 ただし、が凹関数である場合、または の最大値（最小値ではなく）を求める場合は、の有効定義域は集合^{[2]となる。} ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)>-\infty \}.}$$

凸解析および変分解析では、明示的に示されていない限り、通常は であると仮定されます。 ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$

特徴づけ

が定義される正準射影を表すとしよう 。 の有効定義域は、正準射影によるのエピグラフの像に等しい。つまり、 ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \mathbb {R} \to X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (x,r)\mapsto x.}$ ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle \pi _{X}.}$

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\pi _{X}\left(\operatorname {epi} f\right)=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists }}y\in \mathbb {R} {\text{ such that }}(x,y)\in \operatorname {epi} f\right\}.}$^[4]

最大化問題の場合（ が凸ではなく凹である場合など）、有効領域はのハイポグラフの下の像に等しくなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi _{X}}$ ${\displaystyle f}$

プロパティ

関数が実数値である場合など、関数が値を取らない場合、その定義域と有効定義域は等しくなります。 ${\displaystyle +\infty ,}$

関数が真凸関数であるとは、関数が凸であり、関数の有効定義域が空でなく、任意の^[4]に対してであるときのみである。 ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>-\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$

参照

• 適切な凸関数
• エピグラフ（数学）  – グラフの上の領域
• ハイポグラフ（数学）  – グラフの下の領域

参考文献

1. Rockafellar & Wets 2009、1–28ページ。
2. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』（第3版）. Springer. p. 254. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0。
3. フォルマー、ハンス;アレクサンダー・シード（2004）。確率的ファイナンス: 離散時間での入門(第 2 版)。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 400.ISBN​ 978-3-11-018346-7。
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970].凸解析. プリンストン大学出版局, ニュージャージー州, プリンストン, p. 23. ISBN 978-0-691-01586-6。

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544。

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