アインシュタイン半径

Measurement of light ray bending from a gravitational lens

アインシュタイン半径はアインシュタインリングの半径であり、重力レンズ効果における像間の典型的な距離がアインシュタイン半径のオーダーであるため、一般に重力レンズ効果の特徴的な角度である。 ^[1]

導出

重力レンズの幾何学

以下のアインシュタイン半径の導出では、レンズ銀河Lの質量Mのすべてが銀河の中心に集中していると仮定します。

質点の場合、偏向角は計算可能であり、一般相対性理論の古典的なテストの一つである。小さな角度α ₁の場合、質点Mによる全偏向角は（シュワルツシルト計量を参照）次のように与えられる。

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

どこ

b _1は衝撃パラメータ（光線が質量中心に最も近づく距離）である。

Gは重力定数であり、

cは光の速度です。

小さな角度とラジアンで表された角度に対して、レンズLから距離 D _Lへの角度θ ₁での最接近点b _1はb ₁ = θ ₁ D _Lで与えられることに注目すると、曲げ角α ₁は次のように再表現できる。

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$.....（式1）

レンズなしで光源を見る角度（通常は観測できない）をθ _Sとし、レンズに対する光源の像の観測角度をθ ₁とすると、レンズ効果の幾何学（光源面内の距離を数える）から、距離D _{Sにおける角度}θ _{1の垂直距離は、2つの垂直距離}θ _S D _Sとα ₁ D _LSの合計に等しいことがわかります。これにより、レンズ方程式が得られます。

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

これを並べ替えると

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$.....（式2）

（式1）を（式2）と等しくして整理すると、

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

レンズのすぐ後ろの光源（θ _S = 0）の場合、質点のレンズ方程式はθ _{1の特性値を与え、これは}アインシュタイン角と呼ばれ、θ _{Eと表記される。} θ _{E が}ラジアンで表され、レンズ源が十分に遠い場合、アインシュタイン半径（ R _Eと表記）は次のように与えられる。

${\displaystyle R_{E}=\theta _{E}D_{\rm {L}}}$. ^[2]

θ _S = 0としてθ ₁について解くと、

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

質点のアインシュタイン角は、無次元レンズ変数を作成するための便利な線形スケールを提供します。アインシュタイン角を用いると、質点のレンズ方程式は次のようになります。

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

定数を代入すると

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

後者の形式では、質量は太陽質量( M _{☉ )}で表され、距離はギガパーセク (Gpc) で表されます。アインシュタイン半径は、通常、光源と観測者の中間にあるレンズの場合に最も顕著になります。

質量M _c ≈の高密度クラスターの場合 1ギガパーセク（1 Gpc）の距離では、この半径は100秒角ほどになる可能性がある（マクロレンズ効果と呼ばれる）。重力マイクロレンズ効果（質量が10 × 10 ¹⁵ M _{☉）の場合、}1  M _☉）銀河距離（例えばD ~3 kpc）の場合、典型的なアインシュタイン半径はミリ秒角のオーダーになります。したがって、現在の技術ではマイクロレンズ現象における個別の画像を観測することは不可能です。

同様に、レンズの下から観察者に到達する下側の光線については、

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

そして

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

そしてこうして

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

上記の議論は、点質点ではなく分布質量を持つレンズにも拡張できます。曲げ角αの異なる式を用いることで、像の位置θ _I ( θ _{S )を計算できます。小さな偏向の場合、このマッピングは1対1であり、観測位置の歪みで構成されますが、これは反転可能です。これは}弱いレンズ効果と呼ばれます。大きな偏向の場合、複数の像と非反転マッピングが存在する可能性があり、これは強いレンズ効果と呼ばれます。分布質量がアインシュタインリングを形成するためには、軸対称でなければならないことに注意してください。

参照

• 重力レンズ
• アインシュタインリング

参考文献

1. Drakeford, Jason; Corum, Jonathan; Overbye, Dennis (2015年3月5日). 「アインシュタインの望遠鏡 - ビデオ (02:32)」. The New York Times . 2015年12月27日閲覧。
2. 「サースフェー講演会：強い重力レンズ効果 - CSコチャネック」ned.ipac.caltech.edu . 2022年12月11日閲覧。

参考文献

• チョルソン、O (1924)。 「ユーバー・アイネ・モーグリッシェ・フォーム・フィクション・ドッペルスターネ」。天文学者。221 (20): 329–330。書誌コード:1924AN....221..329C。土井：10.1002/asna.19242212003。（リングを提案した最初の論文）
• アインシュタイン、アルバート(1936). 「重力場における光の偏向による恒星のレンズ作用」(PDF) . Science . 84 (2188): 506– 507. Bibcode :1936Sci....84..506E. doi :10.1126/science.84.2188.506. JSTOR  1663250. PMID  17769014. S2CID  38450435. 2018年4月29日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。（有名なアインシュタインリング論文）
• レン、ユルゲン、ティルマン・ザウアー、ジョン・スタッヘル(1997). 「重力レンズ効果の起源：アインシュタインの1936年サイエンス誌論文への追記」. Science . 275 (5297): 184– 186. Bibcode :1997Sci...275..184R. doi :10.1126/science.275.5297.184. PMID  8985006. S2CID  43449111.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Einstein_radius&oldid=1243090059"