nベクトル

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nベクトル表現 (測地法線ベクトルまたは楕円体法線ベクトルとも呼ばれる) は、数学的計算やコンピュータアルゴリズムにおける水平位置表現として測地座標(緯度と経度)を置き換えるのに適した、3 つのパラメータを持つ非特異表現です。

幾何学的には、楕円体上の任意の位置におけるnベクトルは、その位置において楕円体に法線となる外向きの単位ベクトルです。地球上の水平位置を表すために、楕円体は基準楕円体であり、ベクトルは地球中心の地球固定座標系に分解されます。このベクトルは地球上のあらゆる位置で滑らかに振舞い、数学的に一対一の性質を持ちます。

より一般的には、この概念は、 k次元ユークリッド空間の厳密に凸な有界部分集合の境界上の位置を表す場合にも適用できます。ただし、その境界は微分可能多様体である必要があります。この一般的なケースでは、nベクトルはk 個のパラメータで構成されます。

一般的な特性

厳密に凸面の法線ベクトルは、表面の位置を一意に定義するために使用できます。nベクトルは、位置表現として使用される単位長さの外向きの法線ベクトルです。 ^[¹^]

ほとんどの用途において、地表は地球の基準楕円体であるため、 nベクトルは水平位置を表すために使用されます。したがって、図に示すように、 nベクトルと赤道面との間の角度は測地緯度に対応します。

表面の位置には自由度が2 つあるため、表面上の任意の位置を表すには 2 つのパラメータで十分です。基準楕円体では、緯度と経度がこの目的でよく使われるパラメータですが、すべての2 パラメータ表現と同様に、これらには特異点があります。これは、自由度が 3 つの方向と似ていますが、すべての3 パラメータ表現には特異点があります。^{[ 2 ]}どちらの場合も、特異点は追加のパラメータ、つまりnベクトル (3 つのパラメータ)を使用して水平位置を表し、単位四元数(4 つのパラメータ) を使用して方向を表すことによって回避されます。

nベクトルは1 対 1 の表現です。つまり、任意の表面位置は 1 つの固有のnベクトルに対応し、任意のnベクトルは 1 つの固有の表面位置に対応します。

ユークリッド3次元ベクトルであるため、位置計算には標準的な3次元ベクトル代数を用いることができるため、nベクトルはほとんどの水平位置計算に適しています。様々な表現の一般的な比較については、水平位置表現のページを参照してください。

緯度/経度をnベクトルに変換する

eと呼ばれるECEF座標系の定義に基づくと、緯度/経度からnベクトルへの移行は次のようにして実現できることは明らかです。

\mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{行列}\cos(\mathrm {緯度} )\cos(\mathrm {経度} )\\\cos(\mathrm {緯度} )\sin(\mathrm {経度} )\\\sin(\mathrm {緯度} )\\\end{行列}}\right]

上付き文字eは、 nベクトルが座標系eに分解されることを意味します（つまり、最初の要素はnベクトルのeのx軸へのスカラー射影であり、2番目の要素はeのy軸へのスカラー射影などです）。この式は球面地球モデルと楕円地球モデルの両方で正確であることに注意してください。

nベクトルを緯度/経度に変換する

nベクトルの 3 つの要素、、、から、緯度は次のように求められます。 $n_{x}^{e}$ $n_{y}^{e}$ $n_{z}^{e}$

\mathrm {緯度} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)

右端の式はコンピュータプログラムの実装に最適です。^{[ 1 ]}

経度は次の方法で調べます。

\mathrm {経度} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)

これらの式は、 atan2 ( y , x )の呼び出しを用いて実装する必要があります。経度の極特異性は、 atan2 (0,0) が未定義であることから明らかです。これらの式は、球面地球モデルと楕円体地球モデルの両方において正確であることに注意してください。 $\arctan(y/x)$

例1: 大圏距離

2つの水平位置（地球が球体であると仮定）間の大圏距離を求めるには、通常、緯度と経度を用います。この距離を表す式は3種類あり、1つ目はarccos、2つ目はarcsin、そして3つ目はarctanに基づいています。数値的不安定性を回避するために、これらの式は順に複雑になっており、求めるのは容易ではありません。また、緯度と経度に基づいているため、極の特異点が問題となる可能性があります。また、これらの式には緯度と経度の差も含まれており、± 180°子午線や極付近では、一般的に注意して使用する必要があります。

同じ問題をnベクトルを用いて解くのは、ベクトル代数を用いることができるため、より簡単です。arccosの式は内積から得られ、外積の大きさはarcsinの式を与えます。これら2つを組み合わせるとarctanの式が得られます。^[¹^]

{\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}

ここで、とは、 2つの位置aとbを表すnベクトルです。は角度差であり、大圏距離は地球の半径を乗じることで得られます。この式は、極および±180°子午線でも適用されます。 $\mathbf {n} _{a}$ $\mathbf {n} _{b}$ $\Delta \sigma$

追加の例

nベクトルは次のような一般的な計算にも適しています。

補間位置
平均/中心位置（複数の位置の中点）
加重平均位置（例：地理データポイント）
2つの道の交差点
クロストラック距離（クロストラックエラー）
線路沿いの距離
ユークリッド距離
三角測量位置
絶対位置プラスデルタ位置（デルタ位置は方位角と距離の場合があります）
絶対位置の違い
第一および第二（直接/逆）測地問題
北と東の方向を見つける
ベクトルの水平成分と垂直成分を求める

これらの計算式とコードは、以下の外部リンクまたは参考文献^{[ 1 ]}に記載されています。計算は長距離でも、また任意のグローバル位置でも同様に機能します。

参照

参考文献

^ ^a ^b ^c ^d Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」 (PDF) . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395– 417. Bibcode : 2010JNav...63..395G . doi : 10.1017/S0373463309990415 .
^ Stuelpnagel, John (1964). 「3次元回転群のパラメータ化について」. SIAM Review . 6 (4). Society for Industrial and Applied Mathematics: 422–430 . Bibcode : 1964SIAMR...6..422S . doi : 10.1137/1006093 . JSTOR 2027966 .

外部リンク

nベクトル表現 (測地法線ベクトルまたは楕円体法線ベクトルとも呼ばれる) は、数学的計算やコンピュータアルゴリズムにおける水平位置表現として測地座標(緯度と経度)を置き換えるのに適した、3 つのパラメータを持つ非特異表現です。

幾何学的には、楕円体上の任意の位置におけるnベクトルは、その位置において楕円体に法線となる外向きの単位ベクトルです。地球上の水平位置を表すために、楕円体は基準楕円体であり、ベクトルは地球中心の地球固定座標系に分解されます。このベクトルは地球上のあらゆる位置で滑らかに振舞い、数学的に一対一の性質を持ちます。

より一般的には、この概念は、 k次元ユークリッド空間の厳密に凸な有界部分集合の境界上の位置を表す場合にも適用できます。ただし、その境界は微分可能多様体である必要があります。この一般的なケースでは、nベクトルはk 個のパラメータで構成されます。

一般的な特性

厳密に凸面の法線ベクトルは、表面の位置を一意に定義するために使用できます。nベクトルは、位置表現として使用される単位長さの外向きの法線ベクトルです。 ^[1]

ほとんどの用途において、地表は地球の基準楕円体であるため、 nベクトルは水平位置を表すために使用されます。したがって、図に示すように、 nベクトルと赤道面との間の角度は測地緯度に対応します。

表面の位置は自由度が2つあるため、2つのパラメータで表面上の任意の位置を表すことができます。基準楕円体上では、緯度と経度がこの目的でよく使われるパラメータですが、2パラメータ表現の場合と同様に、特異点があります。これは、自由度が3つの方向の場合と似ていますが、3パラメータ表現の場合も特異点があります。^{[2]どちらの場合も、特異点はパラメータを追加することで回避されます。つまり、}水平位置を表すのにnベクトル（3パラメータ）を使用し、方向を表すのに単位四元数（4パラメータ）を使用します。

nベクトルは1 対 1 の表現です。つまり、任意の表面位置は 1 つの固有のnベクトルに対応し、任意のnベクトルは 1 つの固有の表面位置に対応します。

ユークリッド3次元ベクトルであるため、位置計算には標準的な3次元ベクトル代数を用いることができるため、nベクトルはほとんどの水平位置計算に適しています。様々な表現の一般的な比較については、水平位置表現のページを参照してください。

緯度/経度をn-ベクター

eと呼ばれるECEF座標系の定義に基づくと、緯度/経度からnベクトルへの移行は次のようにして実現できることは明らかです。

\mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{行列}\cos(\mathrm {緯度} )\cos(\mathrm {経度} )\\\cos(\mathrm {緯度} )\sin(\mathrm {経度} )\\\sin(\mathrm {緯度} )\\\end{行列}}\right]

上付き文字eは、 nベクトルが座標系eに分解されることを意味します（つまり、最初の要素はnベクトルのeのx軸へのスカラー射影であり、2番目の要素はeのy軸へのスカラー射影などです）。この式は球面地球モデルと楕円地球モデルの両方で正確であることに注意してください。

変換中n-ベクトルから緯度/経度

nベクトルの 3 つの要素、、、から、緯度は次のように求められます。 $n_{x}^{e}$ $n_{y}^{e}$ $n_{z}^{e}$

\mathrm {緯度} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)

右端の式はコンピュータプログラムの実装に最適です。^[1]

経度は次の方法で調べます。

\mathrm {経度} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)

これらの式は、 atan2 ( y , x )の呼び出しを用いて実装する必要があります。経度の極特異性は、 atan2 (0,0) が未定義であることから明らかです。これらの式は、球面地球モデルと楕円体地球モデルの両方において正確であることに注意してください。 $\arctan(y/x)$

例1: 大圏距離

2つの水平位置（地球が球体であると仮定）間の大圏距離を求めるには、通常、緯度と経度を用います。この距離を表す式は3種類あり、1つ目はarccos、2つ目はarcsin、そして3つ目はarctanに基づいています。数値的不安定性を回避するために、これらの式は順に複雑になっており、求めるのは容易ではありません。また、緯度と経度に基づいているため、極の特異点が問題となる可能性があります。また、これらの式には緯度と経度の差も含まれており、± 180°子午線や極付近では、一般的に注意して使用する必要があります。

同じ問題をnベクトルを用いて解くのは、ベクトル代数を用いることができるため、より簡単です。arccosの式は内積から得られ、外積の大きさはarcsinの式を与えます。これら2つを組み合わせるとarctanの式が得られます。^[1]

{\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}

ここで、とは、 2つの位置aとbを表すnベクトルです。は角度差であり、大圏距離は地球の半径を乗じることで得られます。この式は、極および±180°子午線でも適用されます。 $\mathbf {n} _{a}$ $\mathbf {n} _{b}$ $\Delta \sigma$

追加の例

nベクトルは次のような一般的な計算にも適しています。

補間位置
平均/中心位置（複数の位置の中点）
加重平均位置（例：地理データポイント）
2つの道の交差点
クロストラック距離（クロストラックエラー）
線路沿いの距離
ユークリッド距離
三角測量位置
絶対位置プラスデルタ位置（デルタ位置は方位角と距離の場合があります）
絶対位置の違い
第一および第二（直接/逆）測地問題
北と東の方向を見つける
ベクトルの水平成分と垂直成分を求める

これらの計算式とコードは、以下の外部リンクまたは参考文献^[1]で参照できます。計算は長距離でも、また任意のグローバル位置でも同様に機能します。

参照

参考文献

^ abcd Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」（PDF） . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395– 417. Bibcode :2010JNav...63..395G. doi :10.1017/S0373463309990415.
^ Stuelpnagel, John (1964). 「3次元回転群のパラメータ化について」. SIAM Review . 6 (4). Society for Industrial and Applied Mathematics: 422– 430. Bibcode :1964SIAMR...6..422S. doi :10.1137/1006093. JSTOR 2027966.

外部リンク

nベクトルを用いて10個の問題を解く
Python、C++、Java、C#、その他ほとんどの言語の GitHub 上の n ベクトルライブラリ

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[Gade-1] Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」 (PDF) . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395– 417. Bibcode : 2010JNav...63..395G . doi : 10.1017/S0373463309990415 .

[2] Stuelpnagel, John (1964). 「3次元回転群のパラメータ化について」. SIAM Review . 6 (4). Society for Industrial and Applied Mathematics: 422–430 . Bibcode : 1964SIAMR...6..422S . doi : 10.1137/1006093 . JSTOR 2027966 .

[Gade-1] Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」（PDF） . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395– 417. Bibcode :2010JNav...63..395G. doi :10.1017/S0373463309990415.

[2] Stuelpnagel, John (1964). 「3次元回転群のパラメータ化について」. SIAM Review . 6 (4). Society for Industrial and Applied Mathematics: 422– 430. Bibcode :1964SIAMR...6..422S. doi :10.1137/1006093. JSTOR 2027966.

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